Derivación de una función

Análisis. Cálculo diferencial. Derivadas, derivación. Derivabilidad en un punto. Tangente a una curva. Operaciones con funciones. Regla de la cadena

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INTRO. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

Name=2; HotwordStyle=BookDefault; La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

DERIV. DE UNA FUNC. EN UN PUNTO

Derivación de una función
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0 )) y (x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Derivación de una función

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Derivación de una función

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, tg ðh tiende a tg ð, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así:

Derivación de una función

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

Derivación de una función

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al Derivación de una función

f'(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Derivación de una función

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Significado de la derivada

Puesto que

Derivación de una función

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).

Ejercicio: cálculo de la derivada de una función en un punto

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

ð Se pide el valor de f''(1) (en este caso, x0 = 1).

Derivación de una función

Derivación de una función

Por tanto, f'(1) = 3.

ð Calcular la derivada de la función f(x) = Derivación de una función
en el punto 2.

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función
(conjugado del numerador)

Derivación de una función

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Derivación de una función

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.

Resolución:

Derivación de una función

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

ð La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

ð La pendiente de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f'(2), luego la ecuación de la recta es de la forma y - 4 = f'(2) (x - 2).

Derivación de una función

La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2) → y - 4 = 4x - 8 →

4x - y - 4 = 0.

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

a) Derivabilidad en x1 = 1.

Se han de considerar dos casos:

ð Si h > 0, 1 + h > 1 y en este caso f(x) = x. Por tanto:

Derivación de una función

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.

Derivación de una función

Derivación de una función

Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función f(x) no es derivable en x = 1.

b) Derivabilidad en x = 0.

En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.

Derivación de una función

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abcisas).

ð Estudiar la derivabilidad de la función f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Name=5; HotwordStyle=BookDefault;

Derivación de una función

Derivación de una función

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho punto.

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð ¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?

Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».

Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f'(x0 ).

Derivación de una función
Name=6; HotwordStyle=BookDefault; Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0 )), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.

Derivación de una función
Name=7; HotwordStyle=BookDefault; Los puntos A, B, C, D y E de la gráfica de la ilustración son puntos angulosos: la curva cambia bruscamente de dirección en ellos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos.

No es difícil, consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso, infinitos puntos.

Derivación de una función
Name=8; HotwordStyle=BookDefault; 2. La idea que hasta ahora se tenía de tangente a una curva como la recta que posee un único punto común con ella no es nada apropiada. Si esto fuese así la curva de la fig. 1 no tendría tangente en el punto P, mientras que la curva de la fig. 2 contaría con infinitas tangentes en Q.

Tangente a una curva en un punto

El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.

Demostración:

Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que

Derivación de una función

o lo que es equivalente, que

Derivación de una función

Pero

Derivación de una función

Derivación de una función

de donde, por ser f(x) derivable,

Derivación de una función

Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.

Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

CÁLCULO DE DERIVADAS ( I )

Derivación de una función
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Derivación de una función

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivación de una función

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,

Derivación de una función

Derivación de una función

lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivación de una función

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Derivación de una función

Derivación de una función

Se ha demostrado que

(k · f(x))' = k · f'(x)

Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivación de una función

Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Tomando límites cuando h → 0,

Derivación de una función

Derivación de una función

sumandos tiende a cero (su límite es cero).

Se concluye que

Derivación de una función

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1.

Resolución:

f'(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x

f'(- 1) = 2 · (- 1) = - 2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f'(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g'(x) = - sen x

Las demostraciones son complejas y se pasan por alto.

Derivación de una función
Derivación de una función

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y

x < 0:

a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

Derivación de una función

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Derivación de una función

Por tanto, si x > 0

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Derivación de una función

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b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Derivación de una función

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivación de una función

Derivación de una función

Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

Derivación de una función

Derivación de una función

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y se toman logaritmos neperianos:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Luego:

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Derivación de una función

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es

(ex )' = ex · ln e = ex · 1 = ex

Derivación de una función

Derivación de una función

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

Derivación de una función

ð Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ðð→ R,

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

ð Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ðð→ R,

(f · g) (x) = f(x) · g(x)

Derivación de una función

siempre que g(x) ð 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

Derivada de una diferencia de funciones

f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'

Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:

[- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)

En consecuencia,

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x

Resolución:

Derivación de una función

ð Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -ð/3.

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivada de un producto de funciones

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Derivación de una función

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

Derivación de una función

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

Derivación de una función

Derivación de una función

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

CÁLCULO DE DERIVADAS ( II )

Derivada de un cociente de funciones

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Derivación de una función

Derivación de una función

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:

Derivación de una función

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

Derivación de una función

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

Derivación de una función

Derivación de una función

En definitiva,

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivada de la función tg x

Derivación de una función

si f(x) = sen x, f'(x) = cos x

si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Derivación de una función

Derivación de una función

Por tanto,

Derivación de una función

Derivada de la función sec x

Derivación de una función

Si f(x) = 1, f'(x) = 0

Si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

Derivación de una función

(sec x)' = sec x · tg x

Derivada de la función cosec x

Derivación de una función

Si f(x) = 1, f'(x) = 0

Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

Por la derivada de un cociente,

Derivación de una función

(cosec x)' = - cosec x · cotg x

Derivada de la función cotg x

Derivación de una función

Si f(x) = cos x, f'(x) = - sen x

Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Por tanto,

Derivación de una función

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivación de una función

Resolución:

ð Llamando f(x) = x cos x - 2, f'(x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante)

ð Si g(x) = x2, g'(x) = 2 x

Derivación de una función

Derivación de una función

Resolución:

ð Si f(x) = x tg x - cos x, f'(x) = 1 · tg x + x(1 + tg2x) - (- sen x) =

= tg x + x(1 + tg2x) + sen x

Derivación de una función

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como Derivación de una función
, para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

Derivación de una función

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

Derivación de una función

entonces la función compuesta

Derivación de una función

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Derivación de una función

Ejemplo: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.

Resolución:

ð La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.

Derivación de una función

Derivación de una función

ð Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2

Derivación de una función

ð Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

ð De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,

Derivación de una función

Derivación de una función

ð Por la regla de la cadena,

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m

Derivación de una función

aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

Derivación de una función

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.

Resolución:

ð Si u = x2 + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

ð f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Derivación de una función

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

ð Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

Derivación de una función

ð Se aplica la regla de la cadena:

Derivación de una función

ð Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

ð u = sen x; u' = cos x

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,

f'(x) = (au )' = u' · au · ln a

g'(x) = (eu )' = u' · eu

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

Resolución:

ð Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x

f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

Derivación de una función
Derivación de una función

Derivación de una función
Derivación de una función

Derivación de una función
Derivación de una función

Derivación de una función
Derivación de una función

Derivación de una función
Derivación de una función

Derivación de una función
Derivación de una función

Ejercicio: cálcular la derivada

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

ð Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

ð Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)

Resolución:

ð u = x2 - 1; u' = 2x

ð g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)

ð Calcular la derivada de h(x) = sen3x2

Resolución:

ð Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3.

ð Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'

Llamando v = x2; u = sen v.

u' = v' · cos v = 2x · cos x2

ð Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 =

= 6x · sen2x2 · cos x2

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

Derivada de la función inversa

Si una función y = f(x) admite una función inversa - 1 y la función f(x) es derivable en un punto x0, entonces la función - 1 es derivable en el punto f(x0).

En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser la función inversa de xn:

Derivación de una función

Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función xm/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

Derivación de una función

Derivación de una función

Sea u = x1/n; elevando a n, un = x.

Derivando ambos miembros se observa que

Derivación de una función

Despejando u',

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Sea f(x) = xm/n

Se eleva a n, f(x)n = xm

Se deriva:

Derivación de una función

Pero f(x)n - 1 = (xm/n )n - 1

Derivación de una función

Derivación de una función

Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la función x, se obtienen las siguientes derivadas:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena.

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

ð Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2.

Si u = x2 + sen x, u' = 2x + cos x

ð Obsérvese que en este caso n = 2

Derivación de una función

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS

Derivación de una función

Derivación de una función

distintos en [- 1, 1].

Derivación de una función

la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arc sen x.

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

x ðð→ f (x) = sen x ðð→ f-1 [f (x)] = f-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x

Derivada de la función arc sen x

Si y = arc sen x = f- 1(x), aplicando f, f(y) = f(f- 1(x)) = x, es decir, sen y = x.

Derivación de una función

De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y

Derivación de una función

Derivación de una función
Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivada de la función arc cos x

Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc cos x.

De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivada de la función arc tg x

La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x.

y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivada de la función arc cotg x

La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x.

Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivada de la función arc sec x

Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arc sec x.

y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1)

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivada de la función arc cosec x

Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,

y = arc cosec x, x = cosec y

Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

REGL. CADENA TRIG. INVERSAS

Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x, u(x), en lugar de la función x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Ejercicio: cálculo de derivadas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Derivación de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Derivación de una función
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.

Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Derivación de una función

Derivación de una función

Diferencial de una función en un punto

Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,

dy = df(x) = f'(x) · h

Propiedades de la diferencial

Primera propiedad:

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad:

Al ser dy = f ' (xh = Derivación de una función
, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

Tercera propiedad:

Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y Derivación de una función

Cuarta propiedad:

Derivación de una función

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a

Derivación de una función

Derivación de una función

cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Ejercicio: cálculos aproximados utilizando la diferencial

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.

Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre Derivación de una función

Resolución:

Derivación de una función

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

ð Diferenciando la expresión s = 5t2 + t,

ds = (10t + 1) · dt

Derivación de una función

ð Sustituyendo en la expresión de ds,

Derivación de una función

ð En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

Derivación de una función

Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm

ð Calcular 3,052.

Resolución:

Derivación de una función

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2.

Diferenciando esta función, dy = 2x dx.

Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy.

En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05

dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30

Por tanto, aproximadamente, 3,052 = 9 + 0,30 = 9,30.

Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas!

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