Continuidad y derivabilidad

Función continua, discontinua y derivable. Teorema Bolzano. Extensión. Dominio. Intervalo. Discontinuidad. Máximos, mínimos. Rolle. Cauchy. Mac-Laurin

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Teoremas de continuidad

CONTINUIDAD

  • Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades:

  • x+4 % ex si x>0

    a) f(x) = %%%%%%%%% f) f(x) = % 1 ¡Error!Marcador no definido. 1¡Error!Marcador no definido. si x=0

    x2+3x-4 % 1+x+ % x2 si x<0

    3 1-x ¡Error!Marcador no definido. 2¡Error!Marcador no definido.

    b) f(x) = %%%%%% g) f(x) = %%%%%

    2+2¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.x 1-%x%

    1

    c) f(x) = %%%%%%%%% h) f(x) = ¡Error!Marcador no definido.% 2x si xQ¡Error!Marcador no definido.

    1-e¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.x ¡Error!Marcador no definido.% 3x di xI¡Error!Marcador no definido.

    1 e¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.x

    d) f(x) = %%%%%%% i) f(x) = %%%%%%%%%

    1-cos x 1+e¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.x

    sen x

    e) f(x) = x-E(x) j) f(x) = %%%%%%%

    %3x%

  • Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

  • ex _______ 1+x

    a) f(x) = %%%%%% - ¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.1+sen2x c) f(x) = Ln %%%%%

    1-¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.x 1-2x

    ___ _____

    b) f(x) = sen 1/x + ¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.1-x b) f(x) = ¡Error!Marcador no definido."¡Error!Marcador no definido.1-%x%

  • Estudiar la continuidad de las funciones

  • 2 - cos x (1+x)n-1

    a) f(x)= %%%%%%%%%%%%% en R b) f(x) = %%%%%%%%%% en x=0.

    4 + 3 sen x x

  • Calcular c para que la función Continuidad y derivabilidad
    sea continua en todo el eje real.

  • Determinar a y b para que la función Continuidad y derivabilidad
    sea continua en todo R.

  • La suma de los funciones discontinuas en un punto, ¿ es siempre discontinua en ese punto ?. Compruébalo con las funciones:

  • ¡Error!Marcador no definido. f(x) =¡Error!Marcador no definido. % 0 si x>0 ¡Error!Marcador no definido.g(x) =¡Error!Marcador no definido. % -1 si x>0

    % -1 si x"0 % 0 si x"0

  • La función Continuidad y derivabilidad
    tiene una discontinuidad evitable en x=2. Hállese m , n , y todas sus discontinuidades.

  • Hallar que valores deben tomar los números a y b, para que la función Continuidad y derivabilidad
    , tenga en los puntos de abcisas x=-1 y x=3, discontinuidades evitables.

  • La función Continuidad y derivabilidad
    no está definida en x = a. ¿ Qué valor ha de tener f(a) para que sea continua ?

  • Demostrar que Continuidad y derivabilidad
    es continua en x=0. ¿ Lo es en todo R ?

  • Dar un ejemplo de función que no sea continua en ningún punto pero que su valor absoluto si lo sea.

  • Extensión de f. Demostrar que si f:[a,b]--->R es continua en [a,b], entonces existe una función g:: R--->R que es continua en R y que verifica f(x)=g(x) en [a,b]. ¿ Se puede concluir lo mismo si se sustituye [a,b] por (a,b) ? ¿ Y si suponemos que f es acotada ?

  • Teoremas de continuidad ( Bolzano, signos,....)TEOREMAS DE CONTINUIDAD

  • Demostrar que la ecuación xn - a = 0 con a>0 y n"N, posee al menos una raíz real.

  • Explicar apoyándose en el teorema de Bolzano, porque una función polinomica de grado impar, tiene siempre al menos una raíz real.

  • Demostrar que la ecuación x3+x2-7x+1=0, tiene al menos una solución comprendida entre 0 y 1. Calcular dicha raíz con una cifra decimal exacta.

  • Demostrar que la ecuación x3-3x+1=0 posee al menos una raíz real y calcularla con dos cifras decimales exactas.

  • Empleando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación 2x4-14x2+14x1=0, tiene cuatro raíces reales.

  • Demostrar que la ecuación x + sen x = 1 posee al menos una raíz real.

  • Probar que la función f(x) = 2x2-cos x toma el valor 1.

  • Hállese la menor solución positiva de la ecuación tag x = x con dos cifras decimales exactas.

  • Probar que existe xR tal que cos x + Continuidad y derivabilidad
    = 42"sen x.

  • Demostrar que existe x"R tal que Continuidad y derivabilidad
    .

  • Probar que existe xR tal que 1 + senx + sen2x + sen3x = sen4x.

  • ¿ Es aplicable el teorema de Bolzano a Continuidad y derivabilidad
    en [0,1] ?

  • Probar que si f:R--->R, es una función continua que solo toma valores racionales, entonces es constante.

  • Demostrar que si una función es continua en el intervalo [a,b] y f(x)=0 para xQ, entonces f(x)=0 para x" [a,b].

  • Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo [a,b], tales que f(a) < g(a) y f(b) > g(b). Probar que en estas condiciones, existe c[a,b] tal que f(c) = g(c). Interpretar geométricamente.

  • Demostrar que si f : [0,1] ----> [0,1] es continua y la función g(x), continua en [0,1], es tal que g(0) = 0 y g(1) = 1, entonces existe c[0,1] tal que f(c) = g(c). Interpretar gráficamente.

  • Sea f : [0,1]---->[0,1] continua, demostrar que existe c"[0,1] tal que f(c)=c. Idem f(c)=1-c.

  • OTROS PROBLEMAS

  • Representar gráficamente la función f(x) definida en el intervalo [-2,2]

  • f(x) = -x para -2 " x < 0

    f(0) = 0

    f(x) = 1 - x para 0 < x " 2

  • Hallar el campo de definición de las siguientes funciones reales de variable real definidas por las siguientes fórmulas :

  • a) Continuidad y derivabilidad
    b) Continuidad y derivabilidad

    c) Continuidad y derivabilidad
    d) Continuidad y derivabilidad

    e) Continuidad y derivabilidad
    f)Continuidad y derivabilidad

    g) Continuidad y derivabilidad

  • Estudiar la continuidad de :

  • 1 - (1 + x)4 x

    f(x) = %%%%%%%%%%%%%% g(x) = %%%%%

    x %x%

  • Estudiar la discontinuidad de la función :

  • x - 1

    f(x) = %%%%%%%% para x = 1

    x4 - 1

  • Estudiar la continuidad de la función : f(x) = |x - 2 | en x = 2

  • Estudiar para qué valores de x es discontinua la función :

  • 2x + 1

    f(x) = %%%%%%%%%%%%%

    x2 - 4x + 3

  • Estudiar la continuidad de las siguientes funciones :

  • x2 - 4

    a) f(x) = E(x) b) f(x) = %%%%%%%%%

    %x - 2%

    2x2 - x - 3 2x2 -6x + 4

    c) f(x) = %%%%%%%%%%%%% d) f(x) = %%%%%%%%%%%%%

    4x2 - x - 5 3x2 - 5x - 2

  • Hallar m para que la siguiente función sea continua en x = 0 .

  • Continuidad y derivabilidad

    Teoremas sobre derivabilidad

  • Dadas las funciones f(x) = x + 1, g(x) = x"sen x, h(x) = | x |, estudia su derivabilidad en el origen.

  • Dada la función f: R---->R definida por f(x) = (x - 1) | x - 1 | , estudia si es continua y si tiene deriv­ada en x= 0 y en x = 1. Estudia también cuántas derivadas sucesivas admite en x = 0 y en x = 1.

  • Estudiar la derivabilidad de : f(x) = x " |x - 2 | g(x) = e| x | .

  • Estudiar la continuidad y derivabilidad de las fun­ciones f y g de R en R definidas de la forma :

  • Continuidad y derivabilidad
    g(x) = x " | x |

  • Calcula las derivadas de las funciones:

  • Continuidad y derivabilidad

  • Hallar los máximos y mínimos locales de la función Continuidad y derivabilidad

  • Hallar los máximos y mínimos de la función :

  • Continuidad y derivabilidad

  • Hallar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento de Continuidad y derivabilidad

  • a)Dominio y asíntotas de la función Continuidad y derivabilidad

  • b) Crecimiento y concavidad de la función : f(x) = x2" e -x

  • Se considera la función f(x) = x " | x + 2 | en el intervalo [-3,1]. Se pide:

  • a) Estudiar la continuidad y derivabilidad

    b) Determinar los máximos y los mínimos locales y absolutos

    c) ¿ Posee f algún punto de tangente horizontal ? ¿ Tiene esto algo que ver con el teorema de Rolle ?

  • Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva Continuidad y derivabilidad
    en el punto (2,3).

  • Encontrar un punto del intervalo [0,1] donde la tangente a la curva y = 1 + x + x2 es paralela al eje de abcisas.

  • ¿ Se puede aplicar el teorema de Rolle a f(x) = x2 " |x - 1 | en [-1,1] ? Determina, en caso afirmativo, los puntos vaticinados en dicho teorema. ¿ Existe en el intervalo (-1,1) algún punto con tangente horizontal ?

  • Considérese la ecuación ex = 1 + x, y la función f(x) = ex - 1 - x

  • a) Hallar los números reales c que cumplen f'(c)=0.

    b) Hallar f(0). Después, usando el apartado a) y el teorema de Rolle, razónese que ningún numero positivo k es solución de la ecuación dada.

    c) Idem que ningún numero negativo es solución. ¿ Cuales son las soluciones de dicha ecuación ?

  • Obtener un número "c" que cumpla las condiciones del teorema de Cauchy en el intervalo [2,3] para las funciones f(x) = x2 + x + 1, g(x) = x2 - x + 1.

  • Dada la parábola de ecuación y = x2, halla las coordenadas de un punto de la curva cuya tangente en él sea paralela a la cuerda de extremos (1,1) y (2,4). ¿ Tiene esto algo que ver con algún teorema conocido ?

  • ¿ Se puede aplicar el teorema del valor medio a la función Continuidad y derivabilidad
    en el intervalo [1,2] ?

  • En caso afirmativo, determina qué puntos cumplen los requisitos de dicho teorema.

  • Probar que no existe ningún valor real de "m" para el que la función : f(x) = x3 + x + m pueda tener dos raíces reales distintas en el intervalo [0,1].

  • Sea f:(a,b)----->R derivable. Supongamos que f'(x)=0 tiene k soluciones, ¿ qué se puede decir sobre el numero de soluciones de la ecuación f(x)=0.

  • a) Probar que el polinomio x17+x15+x13+1 solo tiene una raíz.

    b) Probar que la ecuación log x + x2 = 0 tiene una única solución.

    c) Determinar el numero de soluciones de la ecuación 3 log x - x = 0.

    d) Determinar el numero de raíces reales del polinomio x5 - 5x - 1.

    e) ¿ Para que valores de a tiene la ecuación x3 - 3x + a = 0 una solución en el intervalo (-1,1) ?

  • La función Continuidad y derivabilidad
    cumple que f(-2) = f(1). Comprobar que para ningún numero c se cumple que f'(c)= 0. ¿Cómo se explica este hecho contrario al teorema de Rolle?

  • Dada la función f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4), hállense tres intervalos I1, I2, I3 tales que cada uno de ellos contenga una raíz de la ecuación f'(x)=0.

  • Idem para la función f(x) = x4-6x3+11x2-6x.

  • Demostrar que 1/9< Continuidad y derivabilidad
    < 1/8. Calcular Continuidad y derivabilidad
    con dos decimales exactos.

  • Razonar si puede aplicarse el teorema del valor medio a la función

  • Continuidad y derivabilidad
    en el intervalo [-2,0], hallando, en caso afirmativo, los puntos referidos.

  • Probar que Continuidad y derivabilidad
    cumple las hipótesis del teorema del v. m. en [0,2]. Calcula el valor de c.

  • Hallar el ángulo con que la curva y = Lx corta al eje OX.

  • Demostrar que la ecuación f'(x) = 0 posee dos raíces reales distintas, siendo f(x) = x"(x2 - 9), sin calcular la derivada.

  • Sea f(x) = 2 + x3(x - 2)2. Prueba que la ecuación f'(x) = 0 posee al menos una raíz en el intervalo (0,2) sin calcular la derivada.

  • ¿ Dónde se encuentra el error en la siguiente aplicación de la Regla de L'Hopital ?

  • Continuidad y derivabilidad

  • Aplicación del teorema de L'Hopital. (LIMITES.COL) Calculo de limites por L'Hopital

  • Otros problemas

  • Estudiar el campo de existencia, asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, y concavidad de la función y =L( x2 - 3x + 2 ). Represéntala.

  • Hallar la derivada n-ésima de la función y = (1 + ex)2.

  • Obtener el desarrollo de Mac-Laurin de f(x) = e2x. (COU I)

  • Obtener el desarrollo de Mac-Laurin de la función f(x) = ex+1. (COU I)

  • Vídeos relacionados