Análisis y Cálculo

1. TEORÍA DE CONJUNTOS

CONCEPTO DE PERTENENCIA: "ð"

Sea el conjunto A = ða, bð

ð a ð A

ð b ð A ð c ð A

CONCEPTO DE SUBCONJUNTO: "ð"

A ð B ð ð x ð A ð x ð B, ð x ð

ð ð A, ð A

A ð A, ð A

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto Vacío: ð = ð ð

ððð ð ð ð ð0ð

Conjunto Universo: "U"

Es aquel formado por todos los elementos involucrados en el problema.

Conjunto Potencia: "P(A)"

Es el formado por todos los subconjuntos del conjunto A.

ð P(A) = 2n ; n : nº de elmentos de A.

OPERACIONES

UNIÓN: A ð B = ðx / x ð A ð x ð Bð

INTERSECCIÓN: A ð B = ðx / x ð A ð x ð Bð

A ð B ð A ð B = A

A ð B = ð ð A y B son disjuntos.

DIFERENCIA: A - B = ðx / x ð A ð x ð Bð

COMPLEMENTO: Ac = ðx / x ð A ð x ð Uð

(A ð Ac) = U

(A ð Ac) = ð

ð c = U ; Uc = ð ; Ac = U - A

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

DIAGRAMA DE CONJUNTOS

IN: Naturales Q*: Irracionales

INo: Cardinales IR: Reales

Z: Enteros I: Imaginarios

Q: Racionales C: Complejos

IN ð INo ð Z ð Q ð IR ð C

Q ð Q* = ð ; Q ð Q* = IR

IR ð I = ð ; IR ð I = C

Dado un conjunto A, se define Ac como complemento de A al conjunto de elmentos del universo que no pertenece a A.

NÚMEROS ENTEROS

CONJUNTO Z

Z = Zð ð ð0ð ð Z+

CONSECUTIVIDAD NUMÉRICA

PARIDAD E IMPARIDAD

Números Pares:

Son de la forma: 2n; n ð Z

Números Impares:

Son de la forma: 2n - 1; n ð Z

Números Primos:

Un número p > 1 se llama primo si es divisible sólo por 1 y por p. Algunos primos conocidos:

2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 -...- 1234567891-

NOTA: El cero no se define como par ni como impar. El 1 no es primo.

PRIORIDAD DE OPERACIONES

1º Potencias

2º Multiplicación y/o división

3º Suma y/o resta

Calcular el M.C.M. entre 6, 9 y 12.

Se realizan divisiones sucesivas por los factores primos hasta lograr un 1 en cada columna.

ð M.C.M. = 2 ð 2 ð 3 ð 3 = 36

Se realizan divisiones sucesivas por sólo los factores primos que dividan a todos los números. Esto se realiza sucesivamente hasta lograr en las columnas números primos entre sí.

Primos entre sí.

ð M.C.D. = 2 ð 3 = 6

NÚMEROS RACIONALES

DEFINICIÓN

Q = ðx =
/ a ð b ð Z, b ð 0ð

a : numerador

b : denominador

x : cuociente

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

Amplificación:

Simplificación:

- Comparación de 2 fracciones

- Igualación de denominadores (2 o más fracciones)

Sean las siguientes fracciones:

M.C.M. entre 7, 14 y 56 es 56; luego, amplificando tenemos:

OPERATORIA CON FRACCIONES

Suma y Resta:

Multiplicación:

División:

Decimal Finito:

Decimal Periódico:

Decimal Semiperiódico:

POTENCIAS

DEFINICIÓN

PROPIEDADES Y EJEMPLOS

POTENCIAS DE 10

APLICACIÓN DE LAS POTENCIAS DE 10

SIGNO DE UNA POTENCIA

n

PAR POSITIVO

IMPAR SIGNO DE a

Ejemplo : -22 = -2 ð 2 = -4 ; (-2)2 = (-2) ð (-2) = 4

RAÍCES

DEFINICIÓN

PROPIEDADES

ÁLGEBRA

TÉRMINO ALGEBRAICO

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Clasificación:

i. Monomio: 3x2 b

ii. Polinomio:

• Binomio : 3x2 b + 2a

• Trinomio: 3x2 b + 2a - 2xb

Suma y Resta:

3x + (8x - 5xy) = 3x + 8x - 5xy = 11x - 5xy

Multiplicación:

Productos Notables:

i. Cuadrado de binomio:

ii. Suma por diferencia:

iii. Binomio por binomio:

iv. Cubo de binomio:

v. Cuadrado de trinomio:

(x+y+z)2 =x2 + y2 +z2 +2xy+2xz+2yz

Factorización:

i. Sacar factor común:

ii. Por agrupación:

iii. Binomio por binomio:

iv. Suma y diferencia de cubos:

División:

Determinación del M.C.D. y M.C.M.

Entre términos algebraicos.

i. M.C.D.: Equivale el factor común con su menor exponente.

i. M.C.M.: Menor término que los contiene a todos. Todos los factores con su mayor exponente.

Entre expresiones algebraicas.

Aquí es recomendable factorizar previamente las expresiones.

I. M.C.D.:

ii. M.C.M.:

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

ECUACIONES

Como ejemplo, se resolverá

SISTEMAS DE ECUACIONES

Métodos de resolución:

• Eliminación por Reducción

• Eliminación por Sustitución

Método de eliminación por reducción Ejemplo

OBSERVACIÓN

Dado el sistema :

Si a ð e - b ð d ð 0, entonces tiene una solución.

Si a ð e - b ð d = 0, entonces NO tiene solución o tiene infinita soluciones.

Método de eliminación Ejemplo

por sustitución:

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón : Relación (división entre dos cantidades homogéneas.

Proporción : Igualdad de dos razones.

SERIE DE RAZONES

PROPORCIÓN DIRECTA

X es directamente proporcional a Y si:

PROPORCIÓN INVERSA

X es inversamente proporcional a Y si:

PORCENTAJES

El porcentaje es siempre una proporción directa,

TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO

El a % de T es:

RELACIÓN PORCENTUAL DE DOS NÚMEROS

¿Qué % es a de T?

CÁLCULO DEL TOTAL, CONOCIDO EL PORCENTAJE

¿De qué número, a es el b%?

PORCENTAJES SUCESIVOS

El p% del q% de A es x

PORCENTAJES ESPECIALES

PROBLEMAS DE PLANTEO

CONDUCTAS

• Comprensión del problema.

• Preparación de un plan: organizarlos datos, diagramas, buscar un patrón, plantear una ecuación.

• Resolución del plan.

• Verificación de la respuesta.

• Un método alternativo (trabajar hacia atrás).

CONTENIDOS

• Traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático.

• Plantear una ecuación.

ENUNCIADOS MÁS FRECUENTES

El duplo (doble) : 2x

El triple : 3x

El cuádruplo : 4x

El cuadrado : x2

El consecutivo : x + 1 (x ð Z)

El anterior : x - 1 (x ð Z)

Tres números consecutivos:

(n - 1) ; n; (n + 1)

Tres pares consecutivos:

(2n - 2) ; 2n; (2n + 2)

Tres impares consecutivos:

(2n - 1) ; (2n + 1) ; (2n + 3)