LOS VECTORES EN EL ESPACIO

1.- El conjunto

• La representación gráfica de
  es el conjunto de puntos del espacio tridimensional.

• El orden en que se escriben los elementos de cada terna es fundamental. Diremos que x es la primera coordenada, y es la segunda y z es la tercera coordenada.

• Dos ternas de números reales son iguales si lo son coordenada a coordenada.

Operaciones en

• Suma: (x, y, z)+(x´, y´, z´)=(x+x´, y+y´, z+z´)

• Producto por escalar: k·(x, y, z)=(k·x, k·y, k·z)

Ej.: Encuentra los valores de x , y , z para que se verifique la igualdad siguiente:

(-8, -19, 7)=x·(3, -1, 5)+y·(-2, 1, 0)+z·(2, 7, 1)

2.- Vectores en el espacio

• Un vector fijo es un segmento orientado. Lo representaremos por
  o AB, donde A es el punto origen y B es el punto extremo (final).

• Características de un vector

Las características de un vector son: módulo, dirección y sentido.

• El módulo del vector
  es su longitud. Lo representaremos por /
  /.

• La dirección de
  es la de la recta que los contiene. Si dos vectores tienen la misma dirección, son paralelos.

• El sentido del vector
  es el que va del origen al extremo.

• Equipolencia de vectores

Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Gráficamente, dos vectores son equipolentes si al unir sus orígenes y sus extremos, respectivamente, se obtiene un paralelogramo.

• Vectores libres

Un vector libre es un vector fijo y todos los que son equipolentes con él. Cada vector fijo perteneciente a un vector libre es un representante del mismo.

Un vector libre lo representaremos por
.

Al conjunto de todos los vectores libres del espacio lo designaremos por V3.

Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre al módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de sus representantes.

El vector libre nulo lo representaremos por
. Tiene módulo 0, carece de dirección y sentido.

• Propiedad fundamental de los vectores libres

Si
es un vector libre del espacio y P es un punto cualquiera del espacio, existe un único representante de este vector que tiene su origen en el punto P.

A partir de ahora, para referirnos a los vectores libres, diremos simplemente vectores.

3.- Operaciones con vectores (a partir de ahora, los vectores libres los nombraremos por letras minúsculas en negrita cursiva)

• Suma y resta de vectores: Dados dos vectores u y v, se llama suma al vector que, gráficamente, se obtiene de la siguiente forma:

Se toma un representante de cada uno de forma que el extremo del primero coincida con el origen del segundo (esto siempre es posible, en virtud de la propiedad fundamental); se une el origen del primero con el extremo del segundo, resultando el vector suma u+v. también se pueden sumar siguiendo la ley del paralelogramo.

La resta de dos vectores es la suma del primero con el opuesto del segundo, como queda ilustrado en el dibujo anterior.

El vector opuesto de v es el que tiene su mismo módulo, misma dirección y sentido contrario.

• Producto de un número real por un vector

Dados un vector a, no nulo, y un número real k, se llama producto ka al vector que tiene los siguientes elementos:

• Módulo: /ka/=/k/·/a/

• Dirección: la del vector a.

• Sentido: el mismo que a, si k>0, y el sentido contrario si k<0.

Ej.: En la siguiente figura aparecen algunos productos:

4.- Dependencia e independencia lineal

• Combinación lineal

Un vector v es combinación lineal de los vectores u1 , u2 , …., un si existen números reales a1 , a2 , …..an , no todos nulos, tales que :

v=a1u1+a2u2+……+anun

Ej.: El vector v es combinación lineal de los vectores x , y , z.

• Dependencia lineal de vectores

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos se puede poner en combinación lineal de los restantes. En caso contrario diremos que los vectores son linealmente dependientes.

Propiedades

• Sistemas de generadores

Un sistema de generadores de V3 es un conjunto de vectores tal que cualquier vector perteneciente a dicho espacio se puede poner en combinación lineal de ellos.

Un sistema de generadores de V3 es cualquier conjunto de vectores que contenga tres linealmente independientes.

• Bases de V3

Una base de V3 es un conjunto de vectores linealmente independientes y que forman sistema de generadores.

Todas las bases de V3 tienen el mismo número de vectores. Dicho número es tres; po ello, decimos que la dimensión de V3 es tres.

• Coordenadas de un vector

Sea B={u1 , u2 , u3} una base de V3 y v un vector cualquiera de V3. Como B es un sistema de generadores, v se puede expresar como combinación lineal de los elementos de B, es decir, existen números reales x , y , z tales que v=xu1+yu2+zu3.

A la terna de números reales (x , y , z) se le llama coordenadas de v respecto a la base B.

Las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas.

De todas las bases de V3 las más sencilla y, por tanto, la más usual, es la formada por tres vectores unitarios (módulo 1) y perpendiculares dos a dos. Esta se llama base canónica. La designaremos por B={i , j , k}

Evidentemente, en dicha base se verifican las siguientes igualdades:

i= 1i+0j+0k

j= 0i+1j+0k

k= 0i+0j+1k

Por tanto, las coordenadas de los vectores de la base son:

i= (1 , 0 , 0) j= (0 , 1 , 0) k= (0 , 0 , 1)

En adelante, y mientras no se indique lo contrario, nos referiremos a coordenadas de un vector respecto de la base canónica.

Las operaciones con vectores de V3 que vienen dados por sus coordenadas coinciden con las operaciones definidas en
, tanto en la suma como en el producto por un número real.

Ej.: Dados los vectores u= (1 , 2 , 0) ; v= (3 , 2 , -1) ; w= (0 , -2 , 3). Estudia su dependencia lineal.

Para realizar este ejercicio, ten en cuenta la primera propiedad de la página 2 y la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales resultante.

• Interpretación geométrica de la dependencia lineal de vectores

Dos vectores son linealmente dependientes si están en la misma recta, es decir, si sus coordenadas son proporcionales.

Ej.: Estudia la dependencia o independencia lineal de los pares de vectores siguientes:

Tres vectores son linealmente dependientes si están en el mismo plano, en este caso, el determinante formado por sus coordenadas es nulo. Si los tres vectores no son coplanarios, son linealmente independientes y el determinante es distinto de cero.

Ej.: Estudia la dependencia lineal de los tres vectores siguientes:

u= (4 , 3 , 1) ; v= (2 , 1 , 0) ; w= (5 , 2 , 6)

Cuatro o más vectores en el espacio son siempre linealmente dependientes.

5.- Producto escalar

Dados dos vectores
, se llama producto escalar de los mismos al siguiente número real:

• Interpretación geométrica

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Por definición de coseno se tiene:

Eliminando el denominador y sustituyendo en la definición de producto escalar se tiene el resultado:

• Propiedades del producto escalar

• 
  (trivial)

• Propiedad conmutativa. Es evidente, ya que el coseno de un ángulo es igual al de su opuesto.

• 
  , siendo k un número real.

• Distributiva respecto de la suma de vectores:
  

• Expresión analítica del producto escalar

Sea
una base ortogonal de
y
dos vectores cualesquiera cuyas componentes respecto de la base son:


Aplicando las propiedades del producto escalar , y teniendo en cuenta que los vectores de la base son perpendiculares dos a dos, tendremos que:




Si consideramos las componentes del vector respecto de la base canónica, tendremos que:




Ej: Halla la proyección del vector


• Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores

• Desigualdad triangular


(la demostración gráfica de esta propiedad es trivial.

• Desigualdad de Schwarz







• Ortogonalidad de vectores

Ej1: Encuentra un vector perpendicular a

Ej2:

6.- Producto vectorial de vectores

El producto vectorial de dos vectores
es otro vector
, que se define de la siguiente forma:

• Si
  son linealmente independientes,
  es un vector con las siguientes características:

Módulo:

Dirección: Perpendicular a ambos vectores


Sentido: El de avance de un sacacorchos que gira de
por el camino más corto.




• Si los vectores son linealmente dependientes o uno de los dos es nulo, el producto vectorial es el vector nulo.

• Interpretación geométrica del producto vectorial




La demostración de la propiedad es inmediata teniendo en cuenta la figura.

• Propiedades del producto vectorial

• Expresión analítica del producto vectorial

Ejercicios

• Calcula el producto vectorial de los vectores
  . Comprueba que el producto es perpendicular a cada uno de los factores.

• Halla un vector perpendicular a
  

• Halla el área del paralelogramo formado sobre los vectores
  

7.- Producto mixto de tres vectores

Se llama producto mixto de los vectores
al número que se obtiene de la siguiente forma:




• Interpretación geométrica del producto mixto




• Expresión analítica del producto mixto




• Propiedades del producto mixto

Dado que la forma de calcular el producto mixto de tres vectores es la resolución de un determinante de orden tres, de las propiedades de los determinantes se pueden derivar algunas propiedades del producto mixto, como:

• Si permutamos dos vectores, el producto cambia de signo.

• Si multiplicamos uno de los vectores por un número, el producto mixto queda multiplicado por dicho número.

• Si uno de los vectores se descompone en una combinación lineal de otros, el producto mixto se puede descomponer en tantos sumandos como indique dicha combinación lineal.

• El producto mixto de tres vectores es cero sii los vectores son linealmente dependientes.

Ejercicios

• Halla el volumen del paralelepípedo definido por los vectores:
  

• Halla el valor de x para que los vectores
  sean coplanarios.

• Calcular x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, -1)

• De los vectores
  sabemos que son ortogonales y que
  . Halla
  

• Calcula el ángulo que forman los vectores
  sabiendo que
  

• Halla un vector
  de la misma dirección que
  y tal que forme con
  un paralelogramo de área igual a
  

• Halla un vector
  coplanario con
  y ortogonal a
  

• Determina k para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes:
  

• ¿Para que valores de a el conjunto de vectores
  es una base?

• Comprueba que el vector
  no es unitario y calcula las componentes de un vector unitario de la misma dirección que él.

• Halla un vector perpendicular a
  y que sea unitario.

• Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por:
  

• Dados los vectores
  , ¿qué relación deben cumplir a y b para que
  sea ortogonal al vector
  ?

• Calcula las componentes de un vector
  que sea ortogonal a
  y tal que
  

• a) Obtén
  para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes:
  

b) Para
, expresa el vector
como combinación lineal de los anteriores.

• Demostrar vectorialmente que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

• Demostrar vectorialmente que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

• Sean
  dos vectores tales que
  , con
  . Calcula los módulos de la suma y de la diferencia de ambos vectores.

• Sean
  dos vectores tales que
  . Calcula el producto escalar
  

• Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios. Demuestra que se verifica:
  

• ¿puede ser el módulo de la suma de dos vectores de módulos 10 y 5 mayor que 15? ¿y menor que 4?

• Demuestra que el producto mixto
  , cualesquiera que sea los vectores
  

• ¿Puede haber dos vectores
  tales que
  ?

• De los vectores
  sabemos que cumplen
  , siendo
  . Halla el ángulo formado por
  

• Demuestra, aplicando el resultado obtenido en el ejercicio 20, que las tres alturas de un triángulo concurren en un punto.

Vectores en el espacio 1

Ley del paralelogramo

Teniendo en cuenta la figura de la izquierda así como la interpretación geométrica del producto escalar, se llega a la conclusión de que el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores .