VECTOR es todo segmento orientado. El segmento orientado [a, b], de la figura es un vector; a indica el origen y b el extremo del segmento orientado.

A los vectores los denotamos con letras que indican su origen y su extremo, o también mediante una letra latina minúscula. Ejemplo;

• En la figura, podemos leer: Vector o también

vector a. Vector o también vector b.

ELEMENTO DE UN VECTOR en todo vector siempre podemos distinguir:

La Dirección, esta viene dada por la dirección de la recta que lo contiene. Ejemplo:

• la dirección del vector b esta dada por la dirección de la recta R. En este caso la dirección es horizontal.

• Los vectores a y b tienen igual dirección, ya que las rectas que lo contienen son paralelas.

• Los vectores c y d tienen diferentes direcciones.

El Sentido, viene dado por la orientación de la flecha. Ejemplos:

• En la figura, los vectores a y b tienen los

sentidos que indican sus flechas, estos sentidos

son diferentes.

• En la figura, los vectores c y d tienen igual sentidos.

• En esta figura los vectores m y n tienen

sentidos opuestos.

Modulo, esta dado por la longitud del segmento orientado que define al vector. El modulo de un vector a lo denotaremos así: |a|

• En la figura, la longitud del vector v es 4cm., y la longitud del vector u es 2cm., luego: |v|=4 y |u|=2

El Punto de Aplicación, lo determina el punto donde comienza el vector.

RELACION DE EQUIPOLENCIA EN EL CONJUNTO DE LOS VECTORES DEL PLANO Los vectores son equipolentes cuando tienen igual dirección, igual sentido e igual modulo.

• En la figura, los vectores x e y son equipolentes, ya que cumplen con la definición de equipolencia.

• En la figura a y b son equipolentes, pero a y c no son equipolentes |a| " |c|

• Los vectores a, b, c, d, son equipolentes ya que todos tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo modulo.

PROPIEDADES QUE CUMPLEN LA RELACION DE EQUIPOLENCIA

Propiedad Reflexiva: es todo vector del plano que tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que si mismo. Luego: para todo vector del plano a se cumple que: a R a.

Propiedad Simétrica: siendo a y b vectores cualesquiera del plano, observa que: si a tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que b, entonces b tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que a. Es decir; a r b ! b R a.

Propiedad Transitiva: siendo a, b, c, vectores cualesquiera del plano, si a tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que b y a su vez b tiene igual dirección, igual sentido e igual modulo que c, entonces a y c tienen igual dirección, igual sentido e igual modulo. Es decir, a R b " b R c ! a R c.

De estas tres propiedades se deduce que; la relación de equipolencia es una relación de “equivalencia”.

VECTOR LIBRE está formado por un vector del plano y todos los vectores que sean paralelos a el y que tengan su mismo sentido y modulo.

PROPIEDAD DE LA ADICION DE VECTORES

Asociativa: consideremos tres vectores cualesquiera a, b, c, de V2 , queremos efectuar la suma de ellos. Dicha suma la podemos determinar de dos manera;

Una Manera Otra Manera

Efectuamos a + b Efectuamos b + a

Le sumamos c a a + b Le sumamos b + c a a

Conclusión: (a + b) + c = a + (b + c)

De esta manera se observa que los vectores obtenidos son equipolentes, es decir:

(a + b) + c = a + (b + c)

Luego, podemos concluir que la adición de vectores es asociativa.

Elemento Neutro: o vector nulo se debe a que su modulo es cero. Si el origen coincide con el extremo, la longitud del segmento orientado será igual a cero, el segmento se reduce a un punto y en realidad no puede hablarse con propiedad de un vector. En este caso la dirección y el sentido no están determinados.

El vector libre nulo será entonces la clase formada por todos los vectores que tienen modulo cero. Los elementos del vector libre nulo corresponden a puntos del plano. Al vector libre nulo, lo representamos por cero 0. ejemplo:

• Los puntos a, b, c, d, son algunos elementos del vector libre nulo.

Por todo lo dicho se deduce fácilmente que si a es un vector cualquiera de v2, entonces:

a + 0 = 0 + a = a

Elemento Simétrico: tiene igual dirección, igual modulo, pero de sentidos contrarios. Para efectuar la adición de a y b, copiamos un vector b' equipolente con b que tenga su origen en el extremo del vector a.

• El vector suma de a y b es el vector nulo puesto que el origen del vector coincide con el extremo de b' (o sea que el vector suma se reduce a un punto),

Luego; a + b = 0

A los vectores a y b los llamaremos “vectores opuestos”. Diremos que a es el vector opuesto a b, y que b es el vector opuesto al vector a. Para indicar el opuesto del vector a escribimos: -a.

Ejemplo: * El vector u es el opuesto del vector v, es decir: u = - v. Se cumple que: v + (- v) = 0

* El vector x es el opuesto del vector y , es decir: x = - y. Se cumple que: x + (- y) = 0

Conmutatividad: sean a y b dos elementos de V2.

Vamos a determinar los vectores: a + b = b + a

1) 2)

Podemos verificar que los vectores obtenidos a + b y b + a son equipolentes, luego:

a + b = b + a

Como esto lo hemos hecho para dos vectores arbitrarios de V2, podemos generalizar diciendo que la adición de vectores en V2 es “conmutativa”.

Luego, como (V2, +) es un grupo y la adición es conmutativa, podemos afirmar que,

(V2, +) es un grupo conmutativo o grupo abeliano.

SUSTRACCIÓN DE VECTORES dado los vectores m y n, llamaremos vector diferencia al vector que se obtiene sumándole a m el opuesto de s. Lo notaremos así:

Aquí se observa como construimos el opuesto de s (o sea, -s) con origen en el extremo del vector m y luego efectuamos la suma de m y -s; es decir:

M + (-s) = m - s

Ejemplo:

A - b y b - a

1) 2) 3)

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR por un numero real. Tiene la misma dirección y sentido, pero su modulo es dos veces mayor del mismo. Es decir,

|b| = 2 |a|

En este caso decimos que el vector b lo hemos obtenido multiplicando el vector a por el numero 2, es decir: b = 2a

De igual manera podemos comprobar que los vectores c y d.

Tienen la misma dirección, sentidos opuestos y el modulo de d es dos veces el modulo de c, es decir: |d| = 2 |c|

En este cas decimos que el vector d lo hemos obtenido multiplicando el vector c por el numero -2, es decir: d = 2c

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL

La multiplicación de un vector por numero real es distributiva con respecto a la adición de vectores en V2.

Dados los vectores a y b de V2

Vamos a determinar los vectores 2(a + b) y 2a + 2b

1) 2)

Podemos comprobar fácilmente que los vectores obtenidos: 2(a + b) y 2ª + 2b, son equipolentes; por lo tanto podemos escribir: 2(a + b) = 2a + 2b

EL ESPACIO VECTORIAL V2

La adición de vectores libres y la multiplicación de un numero real por un vector verifica las siguientes propiedades:

P1	(x + y) + z = x + (y + z)	" x, y, z " V2
P2	x + 0 = 0 + x = x	" x " V2
P3	x + (-x) = (-x)+ x = 0	" x " V2
P4	x + y = y + x	" x, y " V2
P5	 (x + y) = x + y	"  " R y " x, y " V2
P6	( + ) x =	" ,  " R y " x " V2
P7	 (x) = () x	" ,  " R " x " V2
P8	1 . x = x . 1 = x	" x " V2

Decimos entonces que los conjuntos V2, con la adición y la multiplicación por un numero real, tiene una estructura de espacio vectorial real.

Ejemplo: si  es un numero real, determina el vector  - 0

 - 0 =  (x - y) ya que x - x = 0

=  [x + (x)] ya que x - x = x + (-x)

=  x +  (-x) por la propiedad P5

=  x -  x ya que  (-x) = - x

= 0 por la propiedad P3

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Si x, e y son vectores de V2 y ,  dos números reales, la expresión  x + y es también un vector de V2. ejemplo:

• sean x e y dos vectores de V2; entonces: 2x + 3y, 5x + y, 0x + 0y, 4x + 6y ... son combinaciones lineales de los vectores x e y.

De una forma general, si se tienen los vectores x, y, z, u, la expresión  x y + z + u es una combinación lineal de los vectores x, y, z, u.

La expresión x + y + z es una combinación lineal de los vectores x, y, z.

La expresión x es una combinación lineal del vector x.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

a) Dos o mas vectores son linealmente dependiente si uno cualquiera de ellos es combinación lineal de los restantes.

b) Si dos vectores no nulo tienen diferentes direcciones, entonces son linealmente independientes.

Ejemplo a:

Para determinar dos vectores linealmente dependientes, basta con tomar una pareja de vectores que tengan igual dirección. Observemos x, y, z, de la figura:

• los vectores x e y son lineal mente dependientes

• los vectores x y z son lineal mente dependientes

• los vectores y, z son lineal mente dependientes.

Ejemplo b:

Dado los vectores x e y de la figura, si |x| =2 y |y| = 4, vamos a determinar:

• |y| + (-2) |x|

• y - 2 x.

• Encontrar un numero real  tal que y = x

Solución:

a) |y| + (-2) |x| = 4 + (-2) 2 = 4 - 4 = 0

b)

c) no es posible encontrar un numero real  tal que verifique la igualdad y = x ya que x e y no tienen la misma dirección.

Entonces dichos vectores son linealmente independientes.

COORDENADAS DE UN VECTOR

Para establecer una bisección entre el conjunto V2 de los vectores libres y planos real R2, a cada elemento x de V2 se le hace corresponder un único par (x1, x2) " R2, y recíprocamente a cada par (x1, x2) le corresponde un único elemento x de V2.

Sea x un elemento arbitrario de V2, y tomemos un sistema de coordenadas en un plano:

• Podemos tomar como representante del vector libre x otro vector perteneciente a esa clase de equipolencia y que tenga su origen en 0; a ese vector lo llamaremos el representante canónico del vector x.

• Al vector x lo vamos hacer corresponder como imagen el par de números reales que constituyen las coordenadas del punto extremo de su representante canónico.

En este caso de la figura, el vector x tiene como imagen el par (3, 4); es deci:

Al par (3, 4) lo llamaremos coordenadas del vector x.

La aplicación que todo elemento x de V2 le hace corresponder las coordenadas del punto extremo de su representante canónico, es biyectiva.

En vista de que todo vector libre x tiene asociado un par de números reales (x, y) que son sus coordenadas respecto a un sistema dado podemos identificar el vector x con sus coordenadas y escribir: x = (x1, x2).

X

Y

a

b

c

c

d

a

b

a

a

b

a

b

c

a

c

b

c

a

b

a

b

a

a + b

b + c

b

c

(a + b) + c

A + b

c

a + (b + c)

a

b + c

b

d

c

a

b'

.

x

y

x

y

X

(3, 4)

(3, 4)

Y - 2x

- 2x

Y

Y

X

b

a

a

b

a + b

b + a

a

b

m

s

s

-s

m - s

m

b

a

a

a

b

b

a

b

c

d

a

b

a

b

a + b

2 (a + b)

2a + 2b

2b

2a

b

a

x

y

x

y

z