Introducción

El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].

Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.

Razones trigonométricas

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:

Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.

Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.

Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

Teorema de Pitágoras:

"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa encontrar el valor numérico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:

Con lo poco que hemos estudiado hasta ahora, estamos capacitados para resolver triángulos rectángulos cuando nos dan el valor de uno de sus ángulos y el de uno de los lados

Convenios en los triángulos

En un triángulo rectángulo existe siempre un ángulo recto (90º) recibiendo el lado opuesto al ángulo recto el nombre de hipotenusa y los otros lados el nombre de catetos. De una forma general, se suele usar una notación que es nombrar los ángulos con las mayúsculas A, B y C y reservan las mismas letras minúsculas a, b y c para los lados opuestos a cada ángulo. De forma general se suele reservar la letra C para el ángulo recto y por tanto c sería la hipotenusa.  Esta al menos es la notación que nosotros usaremos.

En cualquier triángulo rectángulo se tienen que cumplir las relaciones trigonométricas, y así se cumple:

a = c*sen A  = c*cos B      (b = c*sen B = c*cos A)        a= b*tan A = b/tan B     (b= a*tan B = a/tan A) etc.

y además se cumplirá el conocido Teorema de Pitágoras:     a2 + b2 = c2   

Teorema del Seno

Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los ángulos. Esta relación es conocida como teorema del seno.

En el triángulo AC´C se verifica de donde

h c = b × sen(A)

Análogamente en el triángulo BC´C y obtenemos

h c = a × sen (B)

Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen (B) = b × sen(A) expresión equivalente a

Igualmente podemos considerar los triángulos rectángulos AA´C y ABAá al trazar la altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos

De las expresiones obtenidas podemos deducir que

expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma.

El teorema es válido para cualquier tipo de triángulo.

En el triángulo obtusángulo de la figura si consideramos la altura h c relativa al vértice C, en el triángulo rectángulo AC´C resulta h c = b × sen(A) y en el triángulo rectángulo BC´C

sen() = sen(180 - B) = sen(B) = h c/a

de donde h c = a × sen (B).
Igualando ambas expresiones obtenemos

Si consideramos la altura h a o bien h b y razonando de forma análoga obtenemos nuevamente la expresión del teorema.

Teorema del coseno

El teorema del coseno dice que «el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

Plano cartesiano