ÍNDICE:

• Gráfica de la función y=cosx 4

• Gráfica de la función y=3cosx 5

• Gráfica de la función y=1/3 cosx 6

• Gráfica de la función y=-2cosx 7

• Investigación de las gráficas del tipo y=Acosx. 8

• Gráfica e la función y=cos3x 9

• Gráfica de la función y=cos(1/3)x 10

• Gráfica de la función y=cos(-2)x 11

• Investigación de las gráficas de tipo y=cosBx 12

• Gráfica de la función y=cos(x+3) 13

• Gráfica de la función y=cos(x+1/3) 14

• Gráfica de la función y=cos(x-2) 15

• Investigación de la gráfica del tipoy=cos(x+C) 16

• Gráficas de las funciones:

y=3cos2(x+2) 17

y=1/3cos3(x-1) 17

y=-2cos1/2(x+) 18

• Explicación de la forma de la gráfica y=AcosB(x+C) 18

• Soluciones del tipo AcosB(x+C)=0 20

• Gráfica de la función y=cosx +3 23

• Gráfica de la función y=cosx +1/3 24

• Gráfica de la función y=cosx -2 25

• Gráficas de las funciones

• y=1/3 cos3(x-1)+2 26

y=-2cos1/2(x+)-/2 26

• Explicación de la forma y posición de la gráfica y=AcosB(x+C)+D 27

• Observa la gráfica de la función y = cos x

Dominio ! R

Recorrido ! [-1,1]

Periódica de recorrido !2

• Representa y compara las gráficas de:

y = 3cosx

Dominio ! R

Recorrido ! [-3,3]

Periódica de recorrido ! 2

La gráfica y = 3cosx se dilata sobre el eje de las ordenadas. La periódica de recorrido es la misma: 2 que en la gráfica de la función y = cosx.

• Representa también:

y= 1/3 cosx

Dominio ! R

Recorrido ! [-1/3,1/3]

Periódica de recorrido ! 2

La gráfica se contrae en el eje de las ordenadas si la comparamos con la gráfica de la función y =cos x. La periódica de recorrido es la misma, el eje de las abscisas no sufre variaciones.

• Representar la gráfica:

y= -2cos x

Dominio ! R

Recorrido ! [-2,2]

Periódica de recorrido ! 2

La gráfica se dilata en el eje de las ordenadas con respecto a la gráfica de la función y=cos x. Se produce una simetría del eje x con respecto a dicha gráfica. Esto se debe a que hemos multiplicado al cos x por un número entero negativo.

• Investiga las gráficas del tipo y = A cosx y explica cómo varía la forma de la gráfica a medida que varía el valor de A.

Según la investigación realizada anteriormente con las funciones:

y = 3cosx

y = 1/3 cosx

y = -2cosx

con respecto a la función y = cosx podemos explicar cómo varía la forma de la gráfica dependiendo del valor de A.

• Si A >1 la gráfica se dilata verticalmente. La periódica del recorrido no varía. Continúa siendo 2 como en la gráfica de la función y = cosx.

• Si 1>A>0 la gráfica se contrae verticalmente. La periódica del recorrido no varía. Continúa siendo 2 como en la gráfica de la función y = cosx.

• Si A=0 no existe ninguna gráfica ya que y = 0cosx ! y = 0.

• Si A = -1 la gráfica es simétrica de eje x a la gráfica de la función y = cosx.

• Si A < -1 la gráfica se dilata verticalmente siendo simétrica de eje x a la gráfica de la función y = cosx.

De esto deducimos:

• Si A " R+ -{[0,1]}, la gráfica se dilata verticalmente. El dominio siempre es R y la periódica del recorrido 2. El recorrido de la gráfica depende del valor de A. En el eje de las y la función se encuentra en A.

• Si A " R- - {[-1,0)}, la gráfica se dilata verticalmente. El dominio siempre es R y la periódica del recorrido 2. La gráfica es simétrica del eje x con respecto a la gráfica de la función y = cosx. El recorrido de la gráfica depende del valor de A. En el eje de las y la función se encuentra en A.

• Investiga las gráficas del tipo y = cosBx:

y= cos3x

Dominio ! R

Recorrido ! [1,-1]

Periódica de recorrido ! 2/3

La gráfica de la función y = cos3x se contrae en el eje de las ordenadas. El recorrido es el mismo que en la gráfica de la función y = cosx . Lo que ha variado en esta gráfica es la periódica de recorrido. En este caso se repite antes.

• Representa la gráfica:

y= cos(1/3)x

Dominio ! R

Recorrido ! [1,-1]

Periódica de recorrido ! 6

En la gráfica de la función y = cos(1/3)x comprobamos de nuevo que lo que varía con respecto a la gráfica de y = cos x es la periódica de recorrido. En este caso, es de 6.

• Representa la gráfica:

y= cos(-2)x

Dominio ! R

Recorrido ! [1,-1]

Periódica de recorrido ! 

En esta gráfica, si la comparamos también con la gráfica de la función y = cosx lo único que varía es la periódica del recorrido. En este caso es de  radianes.

• Explica cómo varía la forma de la gráfica a medida que varía el valor de B:

Según la investigación realizada anteriormente con las funciones:

y = cos3x

y = cos(1/3)x

y = cos (-2)x

con respecto a la función y = cosx podemos explicar cómo varía la forma de la gráfica a medida que varía el valor de B.

• Las gráficas de las funciones siempre tienen el mismo dominio.

• Las gráficas de las funciones siempre tiene el mismo recorrido.

• La periódica del recorrido depende de:

• Si B = -1 la gráfica es la mima que la de la función y=cosx

• Si B > 1 ó B <-1 la gráfica se contrae horizontalmente.

• Si 1 > B > -1 la gráfica se dilata horizontalmente.

• Investiga las gráficas del tipo y = cos (x+C)

y= cos(x+3)

Dominio ! R

Recorrido ! [1,-1]

Periódica de recorrido ! 2

En este caso, la gráfica de la función y = cos (x+3) es igual que la gráfica

y= cosx con respecto al dominio, recorrido y periódica de recorrido. La diferencia en este caso es que la gráfica se traslada en el eje de las abscisas  radianes.

• Representa la gráfica:

y= cos(x+1/3)

Dominio ! R

Recorrido ! [1,-1]

Periódica de recorrido ! 2

En la gráfica anterior el dominio, el recorrido y la periódica de recorrido permanecen iguales que en la gráfica de la función y=cosx. Sin embargo, en este caso se ha producido una traslación en el eje de las abscisas.

• Representa la gráfica:

y=cos(x-2)

Dominio ! R

Recorrido ! [1,-1]

Periódica de recorrido ! 2

En la gráfica de la función y=cos(x-2) se ha producido también una traslación en el eje de las abscisas. En este caso el dominio, el recorrido y la periódica de recorrido tampoco han variado.

• Explica cómo varía la forma de la gráfica y=cos(x+C) a mediada que varía el valor de C:

Según la investigación realizada anteriormente con las ecuaciones:

y= cos(x+C)

y= cos(x+1/3)

y= cos(x-2)

con respecto a la función y=cosx podemos explicar cómo varía la forma de la gráfica a medida que varía el valor de C.

• El dominio de la gráfica permanece igual, es el mismo que el dominio de la gráfica de la función y=cosx.

• El recorrido tampoco varía. Continua en el intervalo [1,-1].

• La periódica de recorrido es 2, la misma en todas las gráficas del tipo y=cos(x+C)

• En la gráfica se producen traslaciones horizontales con respecto al eje de las x dependiendo del valor de C.

• Usa los resultados anteriores para obtener las gráficas de las funciones:

y= 3cos2(x+2)

y= 1/3cos3(x-1)

y= -2cos1/2(x+)

Las predicciones son acertadas, las gráficas han confirmado todas las afirmaciones anteriores.

• Si y=AcosB(x+C), explica como se puede predecir la forma y posición de la gráfica para distintos valores de A,B,C.

A estudia el recorrido de la función y éste depende de A.

• Si A >1 la gráfica se dilata verticalmente.

• Si 1>A>0 la gráfica se contrae verticalmente.

• Si A=0 no existe ninguna gráfica ya que y = 0cosx ! y = 0.

• Si A = -1 la gráfica es simétrica de eje x a la gráfica de la función y = cosx.

• Si A < -1 la gráfica se dilata verticalmente siendo simétrica de eje x a la gráfica de la función y = cosx.

B estudia la periódica de recorrido y ésta depende de B.

• Si B = -1 la gráfica es la misma que la de la función y=cosx

• Si B > 1 ó B <-1 la gráfica se contrae horizontalmente.

• Si 1 > B > -1 la gráfica se dilata horizontalmente.

C varía las traslaciones que se puedan realizar en la gráfica:

• En la gráfica se producen traslaciones horizontales con respecto al eje de las x dependiendo del valor de C. Pueden ser:

• Hacia la derecha.

• Hacia la izquierda.

• ¿Qué podemos decir de las soluciones de las ecuaciones del tipo: A.cosB(x+C)=0?

Si AcosB(x+C)= 0 implica podemos decir que las gráficas que se obtengan de estas expresiones serán líneas rectas paralelas al eje de las y, o que se encuentren en este.

Utilizamos las siguientes gráficas para explicar mejor la función.

3cos(1/3(x-2))=0

0cos(1/3(x-2))=0

3cos0(x-2)=0

3cos(1/3(x))=0

3cos2(1/3(x))=0

De las gráficas del tipo AcosB(x+C)=0 podemos deducir que obtenemos siempre una línea recta al representar su gráfica. La línea es paralela al eje de las y.

• Si A,B y C son distintos de 0 se aprecian varias líneas paralelas al eje de las y.

• Si A = 0 se aprecian varias líneas paralelas al eje de las y como en el caso anterior.

• Si B = 0 se aprecia una única línea paralela al eje de las y.

• Si C y B son iguales que 0 se perciben dos líneas paralelas al eje de las y.

• Si C = 0 se aprecia una línea justo en el eje y.

• Investiga las gráficas de la familia y = cosx + D.

y=cosx+3

Dominio ! R

Recorrido ! [2,4]

Periódica de recorrido ! 2

En la gráfica y=cosx +3 el dominio y la periódica de recorrido son iguales que en la gráfica de la función y=cos x. En cambio el recorrido ha cambiado. En este caso, la gráfica es exactamente la misma pero se ha trasladado verticalmente. Es como si el eje de coordenadas se hubiera trasladado en el eje de las ordenadas hacia el 2.

• Representa la gráfica:

y=cosx +1/3

Dominio ! R

Recorrido ! [2/3,-2/3]

Periódica de recorrido ! 2

En la gráfica y=cosx +1/3 el dominio y la periódica de recorrido son iguales que en la gráfica de la función y=cos x. En cambio el recorrido ha cambiado. En este caso, la gráfica es exactamente la misma que la de y=cosx nada más que el origen de coordenadas se encuentra en D, como en el caso anterior.

• Representa la gráfica:

y=cosx-2

Dominio ! R

Recorrido ! [-1,-3]

Periódica de recorrido!2

Como en los dos casos anteriores, en la función y=cosx-2 la gráfica es exactamente igual que la del coseno excepto porque se produce una traslación haciendo que D sea el eje de coordenadas.

• Usa los resultados anteriores anteriores para obtener para obtener las gráficas de las funciones:

y=(1/3)cosx3(x-1)+2

y=2cos(1/2(x+))-/2

• Si y=AcosB(x-C)+D, explica cómo se puede predecir la forma y posición de la gráfica para distintos valores de A, B,C y D.

A estudia el recorrido de la función y éste depende de A.

• Si A >1 la gráfica se dilata verticalmente.

• Si 1>A>0 la gráfica se contrae verticalmente.

• Si A=0 no existe ninguna gráfica ya que y = 0cosx ! y = 0.

• Si A = -1 la gráfica es simétrica de eje x a la gráfica de la función y = cosx.

• Si A < -1 la gráfica se dilata verticalmente siendo simétrica de eje x a la gráfica de la función y = cosx.

B estudia la periódica de recorrido y ésta depende de B.

• Si B = -1 la gráfica es la misma que la de la función y=cosx

• Si B > 1 ó B <-1 la gráfica se contrae horizontalmente.

• Si 1 > B > -1 la gráfica se dilata horizontalmente.

C varía las traslaciones que se puedan realizar en la gráfica:

• En la gráfica se producen traslaciones horizontales con respecto al eje de las x dependiendo del valor de C. Pueden ser:

• Hacia la derecha.

• Hacia la izquierda.

D varía las traslaciones de la gráfica sobre el eje de las ordenadas.

• Traslada la gráfica verticalmente hacia arriba o hacia abajo sobre el eje de las ordenadas.

Con una combinación de las cuatro letras A, b, C y D podemos obtener cualquier gráfica.

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