TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

EJEMPLO 1 Obtención de las transpuestas de tres matrices Encuentre las transpuestas de las matrices

Solución Al intercambiar los renglones y las columnas de cada matriz se obtiene

Observe, por ejemplo, que 4 es la componente del renglón 2 y la columna de 3 de C mientras que 4 es la componente en el renglón 3 y la columna 2 de . Esto es, el elemento 2,3 de C 4es el elemento 3,2 de .

EJEMPLO 2 Cuatro matrices simétricas las siguientes cuatro matrices son simétricas:

Otra manera de escribir el producto escalar

Sean dos vectores columna con n componentes. Entonces, de la

ecuación (1) en la página 62,

Ahora bien, a es una matiz de n x 1 de manera que a' es una matriz de 1 x n y

Entonces a'b es una matriz (o escalar) de 1 x 1, y por la definición de la multiplicación de matriz.

Así, si a y b son vectores columna de n componentes, entonces

(6)

La formula (6) será útil más adelante en este libro.

MATRICES ELEMENTALES Y MATRICES INVERSAS

Sea A una matriz de m x n. entonces, como se verá enseguida, se puede realizar operaciones elementales con renglones en A multiplicando A por la izquierda por una matriz adecuada. Las operaciones elementales con reglones son:

Multiplicar el renglón i por un número c diferente de cero.

Sumar un múltiplo del renglón i al renglón j.

Permutar (intercambiar) los renglones i y j.

Notación. Una matriz elemental se denota por , o por o por según la forma en la que se obtuvo de I. en este caso es la matriz obtenida al intercambiar los renglones i y j de I.

EJEMPLO 1 Tres Matrices Elementales Obtenga tres matrices elementales de 3 x 3.

La prueba del siguiente teorema se deja como ejercicio (vea los problemas de 54 al 56)

EJEMPLO 2 Operaciones elementales mediante la multiplicación por matrices elementales.

Sea Realice las siguientes operaciones elementales con los renglones de A multiplicando A por la izquierda por ua matriz elemental adecuada.

Multiplique el segundo renglón por 5.

Multiplique el primer renglón por -3 y súmelo al tercer renglón.

Permute el segundo y tercer renglones.

Solución Como A es una matriz de 3 x 4, cada matriz elemental E debe ser de 3 x 3, ya que E debe ser cuadrada y multiplica a A por la izquierda. Se usan aquí los resultados del ejemplo 1.

Considere los siguientes tres productos, con :

(1)

(2)

(3)

Las ecuaciones (1), (2) y (3) sugieren que toda matriz elemental es invertible y que su inversa es el mismo tipo (tabla 1.4). Estos hechos se deducen a partir del teorema 1. Es evidente que si se realizan las operaciones seguida de sobre la matriz A, la matriz A no cambia. También, seguida de y la permuta de los mismos dos renglones dos veces deja la matriz A sin cambio. Se tiene

(4)

(5)

(6)

La ecuación (6) indica que

Resumiendo los resultados:

Matriz Elemental Tipo E	Efecto de multiplicar A por la izquierda por E	Representación simbólica de las operaciones elementales	Al multiplicar por la izquierda, hace los siguiente	Representación Simbólica de la operación inversa
Multiplicación	Multiplicar el renglón i de A por		Multiplicar el renglón de i de A por
Suma	Multiplica el renglón i de A por c y lo suma al renglón j		Multiplica el renglón de i de A por -c y los suma al renglón j
Permutación	Permuta los renglones i y j de A		Permuta los renglones i y j de A

Nota: el inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspección: no es necesario hacer cálculos.

EJEMPLO 3 Cómo escribir una matriz invertible como el producto de matrices elementales Demuestre que la matriz es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales.

Solución ya se ha trabajado con esta matriz< en ele ejemplo 1.3.3 en la pagina 7. para resolver el problema se reduce A a I y se registran las operaciones elementales por renglones. En el ejemplo 1.8.6 en la página 106 se redujo A a I usando las siguientes operaciones:

se obtuvo comenzando con I y aplicando estas nueve operaiones elementales. Así, es el producto de nueve matrices elementales:

Entonces producto de las inversas de las nueve matrices en orden opuesto:

X

Se puede usar el teorema 3 para extender el teorema de resumen, cuya última versión se dio en la página 111.

Nota. está debajo de la diagonal principal se

EJEMPLO 4 Dos matrices triangulares superiores y dos matrices triangulares inferiores Las matrices U y V son triangulares superiores mientras que las matrices L y M son triangulares inferiores:

EJEMPLO 5 Cómo escribir una matriz como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior Escriba la matriz

Como el producto de matrices elementales una matriz triangular superior .

Solución se reduce A por los renglones para obtener la forma escalonada por renglones:

Después, al trabajar hacia atrás, se ve que

En los problemas del 1 al 3 encuentre la matriz elemental E tal que

En los problemas del 4 al 6 encuentre la inversa de la matriz elemental dada.

En los problemas del 7 al 13 demuestre que cada matriz es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales.

Sea donde escriba A como un producto de tres matrices elementales y concluya que A es invertible.

Sea donde . Escriba A como un producto de seis matrices elementales y concluya que A es invertible.

Sea A una matriz triangular superior de n x n. pruebe que si toda componente en la diagonal de A es diferente de cero, entonces A es invertible. [sugerencia: vea los problemas 11 y 12].

En los problemas 14 y 15 escriba cada matriz cuadrada como un producto de matrices elementales y de una matriz triangular superior.

DEINICION 1 Transpuesta Sea una matriz de m x n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe , es la matirz de m x n obtendra al intercambiar los renglones por las columnas de A. de manera breve, se puede escribir en otras palabras,

Si entonces (1)

Simplemente se coloca el renglón i de A con la columna de i de y la columna de j de A como el renglón de j de.

TEOREMA Suponga que es una matriz de n x m y es una matriz de m x p. Entonces

(1)

(2)

Si A y B son de n x m , entonces (3)

Si A es invertible, entonces es invertible y (5)

Demostración

Estro sigue directamente de la definición transpuesta:

Primero, se observa que AB es una matriz de n x m, de manera que es de p x n . También, es de p x m y A' es de m x n, de manera que B'A' es de p x n. Así ambas matrices en la ecuación (3) tiene el mismo tamaño. Ahora el elemento ij de AB es y éste es el elemento ji de . Sean Entonces el elemento ij, , de C es y el elemento ij, de D es Así el elemento ji, de elemento ji de . Esto complementa la demostración de la parte ii.

Esta parte se deja como ejercicio (vea el problema 11).

Sea Entonces de manera que, el inciso ii), Y Por Lo tanto, A' es invertible y B' es inverso de A'; es decir,

DEFINICIÓN 2 Matriz Simétrica La matriz (cuadrada) A de n x n se llama simétrica si Es decir, las columnas de A son también los renglones de A.

DEFINICION 1 Matriz Elemental Una matriz (cuadrada) de n x n se llama una matriz elemental si se puede obtener a través de una matriz identidad, de n x n mediante una sola operación elemental con renglones.

Matriz obtenida

Multiplicando el segundo

Renglón de I por 5

Matriz obtenida multiplicando el primer renglón de I por -3 y sumándolo al tercer renglón.

Matriz obtenida

Permutando el segundo y tercer renglones de I.

Toda matriz de permutación elemental es su propia inversa.

TEOREMA 2 Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es una matriz del mismo tipo.

TEOREMA 3 Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.

Demostración Sea donde cada es una matriz elemental. Por el teorema 2, cada es invertible. Más aún, por el teorema 1.8.3, pagina 100. A es invertible y

Inversamente, suponga que A es invertible. De acuerdo con el teorema 1.8.6 (teorema de resumen), A es equivalente por renglones a la matriz identidad. Esto significa que Ase puede reducir a I mediante un número finito de operaciones elementales. Por el teorema 1 cada operación de este tipo se logra multiplicando A por la izquierda por una matriz elemental y por lo tanto, existen matrices elementales

TEOREMA 4 Teorema de resumen (punto de vista 3) Sea A una matriz de n x m. entonces las siguientes siete afirmaciones son equivalentes. Esto es, cada una implica a las otras seis (de manea que si una afirmación es cierta, todas son ciertas, y si una es falsa, todas son falsas).

A es invertible.

La única solución al sistema homogéneo es la solución trivial

El sistema tiene una solución única para cada vector n-vector b.

A es el equivalente por renglones a la matriz identidad de n x n, es decir, forma escalonada reducida por renglones de A es

A se puede escribir como el producto de matrices elementales.

La forma escalonada por renglones de A tienen n pivotes.

(por ahora, tá definido sólo se A es una matriz de 2 x 2).

DEFINICION 2 Matriz triangular superior y matriz triangular inferior Una matriz cuadrada se llama triangular superior (inferior) si todas las componentes abajo (arriba) de la diagonal principal son cero.

TEOREMA 5 Sea A una matriz cuadrada. Entonces A se puede escribir como un producto de matrices elementales y una matriz triangular superior U. en el producto, las matrices elementales están a la izquierda y la matriz triangular superior a la derecha.

Demostración la eliminación de gaussiana paras resolver el sistema da como resultado una matriz triangular superior. Para ver esto, observe que la eliminación gaussiana terminara cuando la matriz esté en forma escalonada por renglones, y la forma escalonada por renglones de una matriz cuadrada es escalonada superior. Se denota por a la forma escalonada por renglones de A. Entonces A se reduce a U mediante una serie de operaciones elementales por renglón, cada una de las cuales se puede obtener multiplicando por una matriz elemental. Así,

y

Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental, se ha escrito A como el producto de matrices elementales y U.