APLICACIONES LINEALES

• CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Sean (U,+,·), (V,+',·') Kev. Entonces se dice que una aplicación
es un HOMORFISMO ENTRE ESPACIOS VECTORIALES (o aplicación lineal) si se verifica que:

1)"u1,u2"U ! f(u1+u2)=f(u1)+'f(u2)

2)"u"U, ""K ! f(u)= ·'f(u)

OBSERVACIÓN:

Si
es una aplicación lineal, entonces:

Por tanto

De forma análoga a lo ya estudiado se introducen las nociones de mono, epi, endo, iso y

Se definen también el nucleo y la imagen:

Sea
una aplicación lineal

• EJEMPLOS BÁSICOS:

Si, pues se cumplen ambas condiciones

No, pues

No, pues

Si, pues cumple ambas condiciones.

• CONCEPTOS BÁSICOS:

PROPOSICIÓN: Sea
una aplicación lineal, entonces se verifica que:

1)Ker(f) es un Sev de U

2)Im(f) es un Sev de V

Demostración:

1)

2)

TEOREMA: Sean U y V Kev finito dimensionales, y
homomorfismo. Entonces:

1)f es monomorfismo ! Ker(f)={
}! dim(Ker(f))=0

2)f es epimorfismo ! Im(f)=V ! dim(Im(f))=dim(V)

3)La primer afirmación también es valida para espacios infinitos.

TEOREMA: Sea
una aplicación lineal. Entonces: dim(U)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

Demostración:

Supongamos dim(U)=n, y dim(Ker(f))=r (r"n) La afirmación entonces equivale a: ¿dim(Im(f))=n-r?

Sea BKer(f)={u1,...,ur}una base de Ker(f). Por ser base de un subespacio de U, puedo añadir vectores hasta tener una base de U. Nos queda: B={u1,...,ur,ur+1,...,un}. Veamos que la imagen de Bc={ur+1,...,un} es una base de Im(f). Si lo es es, dim(Im(f))=n-r, que es lo que buscamos.

Dichos vectores son linealmente independientes, luego:

COROLARIOS:

1)Si {u1,...,un} es una base de U, entonces {f(u1),...,f(un)} es un SG de la imagen.

2)Sean U y V Kev, dim(U)=dim(V)<+", y sea
una aplicación lineal. Entonces:

f es isomorfismo!f es epimorfismo!f es monomorfismo.

3)Sean U y V Kev finito dimensionales. Entonces U es isómorfo a V! dim(U)=dim(V)

Demostración:

2)Solo hace falta demostrar la segunda, pues la primera es inmediata a partir de aquella.

f es epimorfismo ! dim(Im(f))=Dim(V)

f es momorfismo ! dim(Ker(f))=0

Como dim(U)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(V) ! dim(Ker(f))=0

3)

Sea
y
bases de U y V respectivamente. Consideremos la aplicación:

Dicha aplicación es un isomorfismo, pues
. Luego U y V son isomorfos.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL: Para representar un homomorfismo necesitare dos bases(llegada y salida). Lo representaremos por medio de una matriz:

Sea
un homorfismo

dim(U)=n<+"

dim(V)=m<+"

B={u1,...,un}Base de U

B'={v1,...,vm}Base de V

¿Cómo puedo saber las coordenadas de f(u) en B', sabiendo las de u en B?

Sean x1,..,xn las coordenadas de u"U en B

Sean y1,..,ym las coordenadas de f(u)"V en B'

f(u1) "V ! Sean a11,...a1m las coordenadas de f(u1) en B'

f(un) "V ! Sean an1,...anm las coordenadas de f(un) en B'

f(u1)=a11v1+...+a1mvm

f(un)=an1v1+...+anmvm

Por ser B' una base sus vectores son linealmente independientes:

Ecuaciones del Homomorfismo f respecto a las bases B y B'

Matriz del Homomorfismo f respecto a las bases B y B'

Dicha matriz se representa por Y=M(f,B,B')X

OBSERVACIÓN:

1)Se calcula de usando las coordenadas en B' de la imagen de los vectores de B.

2)Se usa multiplicándola por la matriz columna de las coordenadas del vector en B

3)Si
(es un endomorfismo) simplificamos, y usamos la misma base a la salida y a la llegada. Se representa por M(f,B)

4)Las ecuaciones implícitas del Ker(f) están incluidas en la colección de ecuaciones dada por Y=M(f,B,B')X

Ejemplo:

1)Veamos que es un homomorfismo:

2) Calculemos la matriz de f respecto a las bases canónicas:

3) Calculemos la matriz de f respecto a las bases dadas:

4) Sea u=(3,2,1) Calcular f(u) utilizando 2) y 3)

APLICACIÓN(Cambio de base): Supongamos que U es un Kev finito dimensional. Por ello existen bases. Sea B={u1,...,un} y B'={v1,...,vn} bases de U. Sean (x1,...,xn), (y1,...,yn) las coordenadas de un vector u en B y B' respectivamente. ¿Cómo puedo hallar Y a partir de X?

Tomamos el homomorfismo identidad

Se verifica que :

A `A' se le llama Matriz del cambio de Base de B a B'. Se representa A=M(B,B')

OBSERVACIÓN:

1)La matriz A se determina de la siguiente manera:

2)Se utiliza multiplicándola por la derecha por el vector columna de los coeficientes de u en la base B.

3) A es cuadrada e invertible

M(B',B)=M(B,B')-1

Ejemplo:

1)La matriz A es:

PROPOSICIÓN: Supongamos que U es un Kev finito dimensional. Sea BU={u1,...,un} una base de U. Entonces {f(u1),...,f(un)} es un SG de f(U)

Demostración:

APLICACIÓN(Cambio de base en un hom.): Sea
un homomorfismo, y sean B1y B2 base de U, y B1' y B2' bases de V. Tomemos las representaciones matriciales del homomorfismo dadas por B1, B1' y por B2 y B2'. Vamos a intentar hallar alguna relación entre una matriz y la otra:

Tomamos un vector u"U.

Si trabajamos con
. Sean X las coordenadas de u en B1, e Y las coordenadas de f(u) en B1'

Si trabajamos con
. Sean
las coordenadas de u en B2, e
las coordenadas de f(u) en B2'

Vamos a relacionar X,
,Y e
.

Sea

Sea

Como Q es invertible por se una matriz cambio de base

La matriz X se puede cancelar porque al ser una matriz vector de variables tambien es valida para x=(1,0,...,0) , X=(0,1,0,...,0),....,X=(0,...,0,1), con lo que las matrices son iguales columna a columna.

La expresión general del cambio es :

OBSERVACIÓN: Si
es un endomorfismo, y B1 y B2 base de U

o bien

DEFINICIÓN: Dos matrices A y B"Mnxn(K) son semejantes si existe una matriz P"Mnxn(K) tal que det(P)"0 y A=P-1BP.

TEOREMA: Todas las representaciones matriciales de un mismo endomorfismo son semejantes. Véase formula anterior

Ejemplo:

1)Hallar la representación matricial de f en las bases canónicas.

La matriz está formada por la imagen de los vectores de la base fuente.

2) Calcular la representación matricial de f en las bases
de
y
de

Hallamos la matriz que nos lleva de
a
. La multiplicamos por la matriz del homomorfismo en las bases canónicas, y después por la que nos lleva de
a

Todo cambio de base que muere en la canónica son los propios vectores de la base inicial.

Ya la hemos caculado

La única diferencia entre
y
es que el orden de sus vectores es el contrario.

3)Ecuaciones y dimensiones del Ker(f) y de Im(f):

Trabajando con la representación matricial B

OBSERVACIÓN: Si
es un endomorfismo, y U es un Kev finito dimensional, entonces f es un automorfismo si y solo si

Demostración: Sea
una base de U

automorfismo
B se transforma en una base de U
Los transformados de B son linealmente independientes

es base de

es automorfismo

DEFINICIÓN: Sean U y V dos Kev, entonces se consideran los conjuntos:

Además se consideran tambien las operaciones

Es facil de demostrar que ambas son aplicaciones lineales.

Entonces se verifica que
y
son Kev.

TEOREMA: Si
y
, entonces
es isomorfo a

Demostración:

Fijadas dos bases B y B' de U y V respectivamente, el isomorfismo es:

COROLARIO:

1)Si
entonces End(U) es isomorfo a

2)

3)

IDEA INTUITIVA: Vamos a crear un diccionario entre homomorfismos y matrices, y entre endomorfismos y matrices

Ahora la pregunta es : ¿Quién es AB?¿y A2?

Y si
entonces

OBSERVACIÓN: De forma análoga a como se hizo en grupos y anillos se introduce el concepto de Kev cociente, el teorema de Isomorfía y la descomposición canónica de un homorfismo.

8