TEORIA DE JUEGOS

Introducción:

La Teoría de Juegos es una aproximación interdisciplinaria para estudiar el comportamiento humano en el cual los resultados dependen de la interacción de estrategias de dos o más jugadores. Dicha teoría da una importante ayuda para entender las reacciones de distintos agentes económicos dentro de un mercado, por ejemplo, quienes tratan de maximizar sus pagos o “payoffs” individuales.

Se pueden identificar cuatro tipos de juegos en el contexto general: juegos estáticos de información completa; juegos estáticos de información incompleta; juegos dinámicos de información completa; y juegos dinámicos de información incompleta. Trabajaremos sólo con juegos estáticos de información completa, dado que la función de ganancias de cada jugador (la función que determina la ganancia de cada jugador a partir de la combinación de acciones elegidas por los demás jugadores) es conocida por los jugadores.

Sobre la base de trabajar en un esquema de juego estático de información completa, es posible encontrar estrategias dominadas, o sea, estrategias que siempre serán peores que otras, independiente del escenario en estudio. Fundamentalmente, para poder eliminar las estrategias dominadas dentro de un juego de estrategias, es necesario que todos los jugadores se comporten en forma racional y que este hecho sea de público conocimiento. Esto sirve para simplificar el espacio de estrategias posibles en el juego.

A continuación abordamos el equilibrio de Nash, un concepto de solución que da lugar a predicciones mucho más precisas en una clase de juegos muy amplia. Es fácil demostrar que este equilibrio es un concepto de solución más poderoso que la eliminación iterativa de las estrategias estrictamente dominadas, en el sentido de que las estrategias de los jugadores en un equilibrio de Nash siempre sobreviven a la eliminación iterativa, cosa que no ocurre a la inversa.

El equilibrio de Nash se define como aquel resultado de un juego en el cual ninguno de los jugadores puede mejorar su beneficio modificando unilateralmente la estrategia elegida. Un juego puede tener cero, uno o más equilibrios de Nash.

Si se define un juego como G = {S1,…., Sn; u1,….,un} en donde Si es el set de estrategias posibles para el jugador i, y si denota una estrategia perteneciente a Si . Por otro lado, se tiene u1, que indica la función de beneficio dado el set de estrategias elegidas. Por lo tanto, el conjunto de estrategias (s1*,…., sn*) es un equilibrio de Nash si para cada jugador i, Si* es la mejor respuesta a las estrategias tomadas por los otros n-1 jugadores (s1*,…. si-1*, si+1*, …., sn*) , cumpliéndose que:

ui(s1*,…., si-1*, si* , si+1*, …., sn*) ui(s1*,…. si-1*, si, si+1*, …., sn*)

Para obtener este equilibrio de Nash para todas las estrategias posibles de si en Si se debe resolver:

Max ui (s1*,…. si-1*, si, si+1*, …., sn*)

si  Si

Modelo de duopolio de Bertrand

Consideramos un modelo diferente de la relación que puede existir entre dos duopolistas, basado en la sugerencia de Bertrand (1883) de que, de hecho, las empresas eligen precios, y no cantidades como en el modelo de Cournot. Es importante observar que el este modelo constituye un juego diferente al modelo de Cournot: los espacios de estrategias son diferentes, las funciones de ganancias son diferentes y (como se verá) el comportamiento de los equilibrios de Nash en los modelos es diferentes.

En el modelo de Bertrand el concepto de equilibrio utilizado es el equilibrio de Nash definido anteriormente.

El concepto de este modelo se basa en que disminuir un poco los precios permitiría captar un mayor mercado, y por lo tanto, se obtendrían mayores beneficios suponiendo que ambas firmas tendrán iguales producciones a igual precio.

Planteo del Modelo

La solución no cooperativa con 2 vendedores Bertrand en el mercado es el precio y producción de competencia perfecta. Este modelo predice que se alcanza el resultado de competencia cuando pasamos de 1 a 2 vendedores.

≥

• Juego Un periodo.

• Jugadores Dos firmas idénticas.

• Estrategias.
  Firma 1 fija p1.
  Firma 2 fija p2.

• Curva de Demanda:
  p = a - bq

• Costos Marginales.
  C(q) = cq constantes

• Los productos son homogéneos o idénticos

• Los consumidores van a la firma con el menor precio