17/10/96

Bibliografía: “Mecánica Vectorial para Ingenieros” Beer & Johnston.

“Mecánica Analítica para Ingenieros” Seely & Ensien.

“Problemas de Mécanica” A. Griet.

-- TEMARIO --

Tema 1 Estática

Introducción.

Generalidades.

Equilibrio en un punto.

Clasificaciones.

El primer principio de la liberación.

Tema 2 El Sólido Rígido

En el espacio.

En el plano.

Estudio de los vinculos externos.

Distintos tipos de enlaces.

Tema 3 Estática de los sistemas de sólidos

Tipos de acciones.

Equilibrio interno.

Diagramas de esfuerzos y deformaciones.

Solicitaciones de una sección.

Formas optimas de trabajo de las secciones.

Simetría y asimetría.

Vigas hiperestáticas.

Tema 4 Analisis de las estructuras

Estructuras planas de nudos articulados.

Estudios de estructuras complejas.

Esfuerzos en barras inclinadas y montantes.

Métodos de los nudos.

Estabilidad de las estructuras.

Tema 5 Trabajos virtuales

Principio de los trabajos virtuales y sus distintas aplicaciones.

Trabajo de una acción en un desplazamiento.

16/10/96

TEMA I “ LA ESTÁTICA”

1) La Estática.-

Es la parte de la mecánica que trata del estudio del sistema de equilibrio de los sistemas materiales.

Estado de equilibrio.-

Es aquella configurarión del cuerpo por la que bajo la acción de un sistema de las fuerzas permanece invariable en el transcurso del tiempo.

Def. Estática: Es la ciecia que estudia las leyes que deben satisfacer los conjuntos de fuerzas para que al actuar sobre un sistema de cuerpos, no modifíque los parámetros que fijan su posición.

Las leyes de la estática sólo se dan en los sistemas de fuerza inerciales, por lo que la estática esta muy acotada.

Un cuerpo sólo está en equilibrio estático, en aquel sistema inercial, en el que los parámetros que fijan su configuración permanecen invariables en el transcurso del tiempo.

2) Enlaces.-

Concepto: Se define por enlace, vinculo o ligadura, a toda limitación al movimiento libre de los puntos de un sistema material. Es un concepto abstracto y no real introducido para la resolución de problemas matemáticos.

3) Clasificación de enlaces.-

1)Dependientes o no del tiempo:

3.1.1) y = f(x) => independiente del tiempo. (Pto. En una curva)

3.1.2) y = f(x,t) => dependiente del tiempo. (Curva movil)

2)Unilaterales o bilaterales:

2.1) Unilaterales, es el que se expresa mediante una desiguandad.

X2+Y2+Z2 " L2

2.2) Bilaterales, son los que se pueden expresar mediante una ecuación o igualdad: X2+Y2+Z2 = L2

ejemplo: Una biela

2.2.1) Holónomos, es aquel enlace expresado en acción de términos finítos.

2.2.2) Heterónomos, es aquel enlace, bilateral expresado por ecuaciones diferenciales no integrables.

Ejemplo: Una bola de billar.

4) Grados de libertad de un sistema.-

La configuración de un sistema material queda determinada si conocemos en cada instante las coordenadas de los puntos Pi del sistema. Si el sistema esta sujeto a vínculos holónomos, las coordenadas de los puntos no serían independientes entre sí, sino que estarían relaccionadas por ecuaciones de la forma:

 (x1y1z1, x2y2z2, … , xnynzn )

…

h (x1y1z1, x2y2z2, … , xnynzn )

El número de coordenadasnecesarias para conocer la configuración del sistema será: 3n-h

h+1 (x1y1z1, x2y2z2, … , xnynzn ) = q1

…

3n-h (x1y1z1, x2y2z2, … , xnynzn ) = q3n-h

Despejando las 3n incognitas, nos quedarán 3n-h parámetros elegidos arbitrariamente que son las llamadas coordenadas libres o lagrangianas. Sus dimensiones son desde, la longitud, ...

Def.: Grados de libertad de un sistema es el número de coordenadas libres que fijan la configuración del mismo.

Los sistemas mecánicos se clasifican por los grados de libertad:

Punto libre ! 3 grados de libertad

Punto libre vinculado a un plano ! 2 grados de libertad

Punto obligado a estar en 3 superficies ! 0 grados de libertad

Punto obligado a una curva ! 1 grado de libertad

Los sistemas más importantes para la estática son los que tienen grados de libertad positivos.

Mecanismos con grados de libertad < 0

Estáticamente determinado con grados de libertad = 0 (a estas se les llama isoetáticas)

Hiper estáticas con grados de libertad > 0 , y vincular superabundantes.

17/10/96

Ley del principio de liberación.-

“Todo sistema material lo supondremos libre de vinculos añadiendo a las fuerzas activas las fuerzas de acción vincular”. Estas últimas sustituyen a los vínculos.

Caracteristicas de acción vicular.-

Toda fuerza de reacción vincular debe realizar la misma función, en cualquier instante, que el vínculo al que va a sustituir.

Las fuerza de reacción vincular no producen desplazamientos, tan sólo impide el movimiento cuando este no es compatible con los vínculos.

El módulo de las fuerzas de reacción vincular es ilimitado, siendo función de las fuerzas activas.

La dirección y el sentido de las fuerzas de reacción vincular son normales a la superficie. Si el vinculo es un punto, la dirección pasa por el punto.

TEMAII LA ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

Sólido Rígido.-

Es un sistema de puntos materiales tal que las distancias mutuas entre dos puntos cualesquiera permanecen invariables en el fenómeno físico.

Su configuración vendrá determinada por sus parámetros independientes. Esto implica que su grado de libertad será:

c.d.q.< øx øy øz > ángulos < , ,  >

Todas las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido se comportarán como vectores deslizantes.

Un prisma que tiene por base un triángulo equilátero, está sometido a: un par de fuerzas de eje vertical ascendente de módulo øøMø, el conjunto øf1,øf2, øf3, cuya dirección y sentido es la vertical descendente que pasa por los puntos A, B, C; al conjunto øf4,øf5, øf6, situadas sobre las caras laterales del prisma y cuyas rectas de ación forman ángulos de 60º con la horizontal. Determinar los módulos del conjunto fi suponiendo que el sólido esta en equilibrio.

1º) Tomamos momentos en AÁ.

-øøf6ø h cos 60 + øøMø= 0 ! f4 = ((4/3) (øøMø/a))

siendo h = (a "3 )/2 ! altura

øøf5 ø h cos 60 + øøMø= 0 ! f5 = ((4/3) (øøMø/a))

Momentos respecto a AB:

-øøf3 øh + øøf4 øh sen 60 = 0 øøf3 ø=øøf4 øsen 60 = ((2øøM ø)/ (3a))

Momentos respecto a BC y CA:

øøf1 ø=((2øøM ø)/ (3a))

øøf2 ø=((2øøM ø)/ (3a))

------------------------ o ------------------------

Estudio de los vínculos externos.-

Los enlaces más importantes son:

1) Apoyo móvil sobre un plano, este tipo de enlaces impide la penetración del sólido dentro del plano de apoyo y siempre tendrá un punto que estará sobre la superficie del plano.

Esta en el plano Z = 0 y quedará determinado conociendo su punto de apoyo más los tres ángulos , , .

Su grado de libertad es 5.

"øFi + " øi = 0

"øMi + " øMj = 0

Tomando momento respecto al punto de apoyo

øF + ø = 0

øM = 0

øF = resultante de las fuerzas exteriores

øM = Momento resultante respecto a P

Si proyectamos las ecuaciones sobre los ejes tenemos:

x = 0 Mx = 0 Las cinco ecuaciones de las reacciones que

y = 0 My = 0 quedan son:

z +  = 0 Mz = 0 x = 0; y = 0; Mx = 0; My = 0 Mz = 0

Las primeras fijan las coordenadas (x, y) del punto y las otras tres nos fijan el giro alrededor de los ejes.

La ecuación que determina la ecuación vincular será, en este ejemplo, z +  = 0. Este vinculo sólo transmite y soporta acciones normales a la superficie de apoyo.

Se representará de las siguientes formas:

) La bola.

) La zapata (como apoyo).

) El apoyo (puro).

) La bola encorsetada.

  



1 2 3 4

2º) Apoyo móvil sobre un eje.-

Impide cualquier movimiento de translación perpendicular al eje y obliga a un punto del sólido a permanecer en el mismo. Permite traslaciones y giros. Su grado de libertad es 4, las coordenadas de P y los tres ángulos.

Z

P



Y

X

Tomando momentos respecto del origen:

x +  = 0 Mx = 0 Las dos primeras son las ecuaciones de

y +  = 0 My = 0 reacción y las otras son de equilibrio.

z = 0 Mz = 0

Soporta y transmite acciones normales al eje.

3º) Articulación esférica.- 

Este tipo de ligadura impide cualquier traslación del sólido. Siempre tendrá un punto fijo y permitirá los giros del sólido alrededor de cualquier eje que pase por el punto fijo. Su grado de libertad es 3, los tres ángulos (, , ).

Tomando momentos en la articulación obtendremos las siguientes ecuaciones:

x +  = 0 Mx = 0 Este vinculo transmite y soporta todas

y +  = 0 My = 0 las acciones que pasan por el punto fijo.

z +  = 0 Mz = 0

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4º) Cojinete.-

Es un tipo de enlace que impide las traslaciones perpendiculares al eje y los giros que no coincidan con el mismo. La configuración de un sólido que pueda girar y deslizar sobre el eje OZ, queda determinada por la distancia de un punto fijo del eje a otro punto fijo del sólido y por el ángulo A que un plano solidario al sólido que pasa por el eje y otro .

El sólido queda sujeto a este tipo de vinculo tiene 2 grados de libertad.

"øFi + " øi = 0 + 1x + 2x = 0 = 0

"øMi + " øMi = 0 + 1y + 2y = 0

Mx - 1y a1 - 2y a2 = 0 ; My + 1y a1 + 2x a2 = 0

Las condiciones de equilibrio serán: Z=0, Mz=0; este vinculo transmite y soporta fuerzas y momentos de ejes perpendiculares al eje del momento.

5º) Bisagra .-

Es una articulación cilíndrica representada por el siguiente esquema:

Z

2

h

1

X 

Este enlace impide los movimientos de traslación del sólido más los de rotación alrededor de otro eje que no sea el de la articulación.

La configuración del sólido con un eje fijo Z, queda determinada por el ángulo 

que es el grado de libertad.

øF + ø1 + ø2 = 0 + 1x + 2x = 0

+ 1y + 2y = 0

øM + øi øj øk + 1z + 2z = 0

o o h Mx - h 2y = 0

2x 2y 2z My - h 2x = 0

Mz = 0

La condición de equilibrio de una articulación cilíndrica es Mz = 0 y las incógnitas son 1x , 2x , 1y , 2y.

6º) Empotramiento .-

Mediante él se impide cualquier desplazamiento lineal o angular del sólido. Fija por si sólo y determina la configuración de su equilibrio.

Mx + M´x = 0 + Rx = 0

My + M´y = 0 + Ry = 0

Mz + M´z = 0 + Rz = 0

El sistema de fuerzas que sustituye al empotramiento estará formado por una fuerzaøR que pasará por el centro de gravedad y por un par de fuerzas que pase por su centro de gravedad. El empotramiento soporta y transmite todas las fuerzas a las que se le someta.

7º) Bielas o barras articuladas en dos extremos .-

Este enlace impide la translación del cuerpo en la dirección del eje de la barra y obligará a un punto del sólido a moverse en una esfera siendo el radio de esta longitud la de la biela. Es un apoyo móvil sobre una esfera.

La configuración del móvil queda determinada por la posición del punto A en la esfera así como los ángulos , , .

+  ("f/ "x) = 0 + 2x = 0

+  ("f/ "x) = 0 + 2y = 0

+  ("f/ "x) = 0 + 2z = 0

x2 + y2 + z2 = L2

Las coordenadas x, y, z, fijan la posición del punto A y  sirve para calcular la relación vincular.

R = -2 (xøi + yøj + zøk)

Junto a esas condiciones debemos añadir:

Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0

Principio de fragmentación.

El principio de fragmentación establece que si en un sistema de puntos materiales se efectúa una división, entonces cada una de las partes estará en equilibrio por deparado. El estudio estático de un sistema sólido queda reducido al estudio estático por separado de cada una de las partes constituyentes del sistema. El estudio se inicia estableciendo las 6 Ecuaciones de la Estática.

las 3 correspondientes a "øFi = 0

las 3 correspondientes a "øMi = 0

Para un primer sólido, considerando que "øFi está formado por las fuerzas activas y vinculares previamente dichas, más las fuerzas exteriores. Esto se repetirá tantas veces como sea necesario para agotar los sólidos que forman el sistema.

Reglas prácticas para el principio de fragmentación .-

Se sustituyen las 6 ecuaciones del conjunto (llamadas ecuaciones de equilibrio interno) por las 6 ecuaciones de equilibrio del sistema total (llamadas ecuaciones de equilibrio externo). La ventaja de las ecuaciones de equilibrio externo es que no tienen incógnitas de reacciones internas.

Se toma como sentido de las reacciones el que se quiera, teniendo presente que si la reacción sale negativa entonces el sentido será contrario al tomado.

Las ecuaciones de los momentos serán tomados en el punto donde concurran más reacciones posibles.

Todo lo dicho para un sistema de sólidos en el espacio es válido para un sistema de sólidos en el plano, salvo que las ecuaciones en vez de 6 son 3.

Platabandas 0

Perfil HEB

18/11/96

Formas optimas de trabajo de una sección.-

Tenemos que procurar que a igualdad de áreas vallamos a inercias más altas, esto implica tensiones más bajas y menores riesgos en las estructuras.

Flexión

IPN ó IPE

Alma Cortante

Bien a flexión

Ala

Mal a flexión HEB

Los materiales son muy importantes porque hay que procurar que se comporten bien a compresión y a tracción. También habrá que considerar el material a emplear dependiendo de la función que tenga que soportar, si una flexión (IPN) o una compresión (HEB).

El hormigón, se comporta bien a compresión pero para que sea aceptable a tracción deberá estar armado.

El acero se comporta casi idealmente :

1

h1 1 2 h2 2

eje neutro M _ = _ ! _ = _

h2 h1 h2 h1 1

Lo interesante es que 1 sea igual a la tensión máxima admisible a compresión. Y la 2 sea igual a la tensión máxima admisible a tracción.

La relación h2/h1 en el caso del acero es igual a 1, mientras en el hormigón que no resiste tracciones, la T sería la sección lógica.

Para optimizar un perfil no es necesario que sea simétrico pero si ha de tener su centro de masas en la mitad de la sección.

• Distribución y nomenclatura de algunas partes de una estructura :

Nº 1 Jácena Nº 2

Nervio de borde

Vigueta

Nº 4 Nº 3 Bovedilla

mallazo unidireccional

Deformación en flexión pura.-

d d ! giro relativo de las secciones

O

A´ A B B´

Escrito a mano

E depende de la naturaleza del material e I de la geometría de la pieza.

E I = factor de rigidez a flexión (Kp/cm2)

Estructuras simétricas.-

Son aquellas estructuras que son simétricas de carga, vínculo, forma y propiedades elásticas.

Para representarlas bastará representar sólo la mitad y multiplicar el resultado por dos.

F

P P

q q

El diagrama de fuerzas axiles será simétrico y el de flectores también. Sin embargo el diagrama de cortantes será asimétrico al igual que la deformación.

En las secciones o rebanadas coincidentes con el eje de simetría, el cortante es nulo, no hay giro ni tampoco corrimiento en la perpendicular del eje.

Las barras coincidentes con el eje de simetría sólo trabajan a axiles.

Estructuras asimétricas.-

Por definición la Estructura Asimétrica, es aquella que lo es de vínculo y

Pero lo es a demás la que es asimétrica de cargas.

• La ley de axiles serán asimétricas.

• La ley de cortantes será simétrica.

• La ley de flectores será asimétrica.

• La deformación será asimétrica.

• En las secciones coincidentes con el eje no hay flectores ni axiles y los corrimientos en la dirección del eje son nulos.

Nudo rígido.-

Es aquel donde confluyen barras empotradas entre sí que tienen el mismo corrimiento y el mismo giro. No es lo mismo que decir que no hay giro. Lo que no hay es giro relativo entre las barras.

Vigas hiperestáticas.-

Son aquellas en el que el número de incógnitas que aparecen por causa de los vínculos o enlaces es superior al número de ecuaciones que planteamos por estática.

Para resolver el problema hiperestático tendremos que recurrir a las condiciones de deformación o bien de enlaces hasta tener un número de ecuaciones igual al de incógnitas.

1ºGL 3ºGL 1ºGL

Brochal

21/11/96

Comparación entre vigas estáticas y las hiperestáticas.-

Ventajas de las vigas hiperestáticas :

• Tiene mayores vínculos.

• Da más seguridad.

• Si surgen patologías en la estructura en las vigas hiperestáticas nos da más tiempo para actuar.

• La sección de la viga es menor, por lo que son más, pero al tener que darle más vínculos, al final sale más cara.

• Tiene mejor deformación.

• Al estar más unida a la estructura es más monolítica formando más parte del todo.

Inconvenientes :

• El cálculo es más laborioso.

• Los efectos de la temperatura en las vigas hiperestáticas hay que tomarlos muy en cuenta ya que la temperatura donde más afecta es en los vínculos produciendo más tensiones.

• Se crean problemas de asientos diferenciales (mov. del edificio con el terreno).

Isoestática Hiperestática

P

P

L

m = P L2/8 L

TEMAIII ESTÁTICA DE LOS SISTEMAS DE SÓLIDOS

Estabilidad de los sistemas .-

Si llamamos N al número de grados de libertad de un sistema de sólidos pueden darse los siguientes casos:

N>0. Los vínculos son insuficientes para impedir todos los movimientos del sistema, siendo necesario añadir tantas ecuaciones como grados de libertad tenga en sistema para definir el equilibrio, ya que cualquiera de los grados de libertad anteriores producirá desplazamiento. El conjunto de ecuaciones de la estática estará constituido por N ecuaciones de equilibrio más tantas ecuaciones de reacción vincular como incógnitas existan. Este caso es típico de mecanismos por ser inestable.

N=0. Los vínculos son los estrictamente necesarios para impedir los movimientos del sistema. El número de ecuaciones de la estática será igual al número de incógnitas, con lo que la solución del sistema será única. Este caso es el que caracteriza a las estructuras isoestáticas, por lo que es estable.

Los vínculos son superabundantes, más que los estrictamente necesarios para impedir cualquier movimiento del sistema sólido. El número de ecuaciones de la estática es menor que el número de incógnitas de reacción vincular, con lo cual el sistema es indeterminado. Este caso es el conocido por hiperestático siendo superestable.

Determinación práctica de los grados de libertad de un sistema .-

El número de grados de libertad de un sistema de sólidos los determinaremos, teniendo en cuenta los siguientes puntos:

Aplicaremos el principio de liberación del sistema sustituyendo los vínculos por fuerzas viculares.

Se determinará el número de incógnitas de reacción vincular y se llamará “I”. Para el cálculo de I hay que tener en cuenta lo que sigue:

Si estamos en el espacio:

• Biela ! 1 incógnita de reacción vincular.

• Apoyo móvil sobre un eje ! 2 incógnitas de reacción vincular.

• Articulación esférica ! 3 incógnitas de reacción vincular.

• Cojinete ! 4 incógnitas de reacción vincular.

• Empotramiento ! 6 incógnitas de reacción vincular.

• Bisagra! 5 incógnitas de reacción vincular.

Si estamos en el plano:

• Apoyo simple o una biela ! 1 incógnita de reacción vincular.

• Articulación y el apoyo móvil ! 2 incógnitas de reacción vincular.

• Empotramiento y soldadura ! 3 incógnitas de reacción vincular.

3. Para el cálculo de las ecuaciones tendremos que hallar el número de ecuaciones independientes que la estática nos permita y las representaremos por E.

En el espacio cada cuerpo del sistema da origen a 6 ecuaciones independientes más la que aporte cada vinculo interno.

En el plano cada cuerpo del sistema da origen a 3 ecuaciones independientes más la que aporte cada vinculo interno.

El número de Grados de libertad estará proporcionado por:

N = E - I

Ejercicio:

El Empotramiento proporciona 3E

2 I = 3+2 E = 3

N = 3 - 5 = -2 ! Hiperestática de º = 2

	C1	Total
I	5	5
E	3	3

3

Ejercicio del examen de Junio del 95 :

C1 C2 M Total

M I 4 4 8

E 3 3 2 8

N = E - I

C1 C2

2

	C1	C2	M	Total
I	5	5		10
E	3	3	2	8

3 3 N = E - I = -2! Hiperestática de grado 2

M1 M2 M3

3 C2 C3

C1 C5 C4

3 1 2

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C1

C2

C3

C4

C5

M1

M2

M3

Enviado por:	Vicente Campano
Idioma:	castellano
País:	España