LA TRANSFORMADA DE FOURIER APLICADA A TELEDETECCIÓN.

La transformada de Fourier es una de las herramientas matemáticas de más uso en el campo del tratamiento de imágenes, aunque como sabemos es también empleada en infinidad de aplicaciones con diferentes usos.

IDEA INTUITIVA DE LA TRANFORMADA DE FOURIER

Introducción:

Toda señal puede representarse mediante su espectro en el dominio de las frecuencias. En el caso de una imagen, existe un paralelismo absoluto entre la misma y su espectro de frecuencias espaciales. La frecuencia espacial, también llamada red sinusoidal, se define como la distribución espacial de iluminaciones, que sigue una ley sinusoidal, caracterizada por su amplitud, fase, frecuencia y orientación.
No hay que olvidar que la transformada de Fourier no es sino un modelo matemático para describir un fenómeno físico. Una simple lente óptica, sin necesidad de complejos cálculos, forma en el plano imagen de una fuente puntual (espacialmente coherente) la transformada de Fourier de la distribución de amplitudes complejas en la pupila de salida de la lente. Cuando la fuente está en el infinito, la transformada se forma en el plano focal imagen.

Así, es sencillo proyectar la transformada de Foutier de una diapositiva anteponiendo ésta a la lente, iluminando ambas con una luz espacialmente coherente (como, por ejemplo, un láser expandido).
Recordando las expresiones básicas de la transformación por Fourier de señales unidimensionales continuas, tenemos que, siendo f(x) dicha señal, su transformada, F{ f(x) }, se define como:

donde ð es la variable en el espacio transformado, o la frecuencia.

Dada F{ f(x) }, puede calcularse el valor de f(x) calculando su transformada inversa de Fourier como:

La transformada de Fourier de una señal presenta, en general, parte real y parte imaginaria y, podremos expresarla de cualquiera de las siguientes maneras:

donde |F(u)| representa el módulo del espectro de Fourier, y ð (u) el ángulo de fase.
La transformada de Fourier puede ampliarse con suma facilidad al caso de una función continua de dos variables, f (x, y). Si dicha función es integrable, puede asegurarse la existencia de F(u,r) (con u, v las variables en el dominio de la secuencia), dada por:

mientras que la transformada inversa viene dada por la siguiente expresión:

Al igual que en el caso unidimensional, puede, de nuevo, calcularse el módulo y la fase en cada punto de la transformada, que vienen dados por:

donde R e I representan, respectivamente, las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier.

Supongamos ahora que, como sucede con las imágenes digitales, partimos de una señal bidimensional discretizada, en lugar de continua. En este caso, la formulación anterior se rehace utilizando sumatorios en lugar de integrales, y la expresión asociada a la transformada de Fourier bidimensional queda:

con M, N las dimensiones en x e y de la imagen. La transformada inversa, por su parte, se calcula como:

2.- Uso de la transformada de Fourier en teledetección

Podríamos decir que se puede estudiar el uso de la Transformada de Fourier como representación alternativa de una imagen o señal, y también para la resolución de sistemas de ecuaciones. En concreto se emplea en la resolución de ecuaciones lineales que llevan asociadas matrices circulantes.

Aparte del filtrado convencional, la transformada de Fourier constituye una herramienta con aplicaciones en campos muy diversos, entre los que podemos citar con respecto a l tema que nos ocupa los siguientes.

1.- Técnicas de ecualización en el tratamiento de imágenes

Un factor intrigante de las formas de ondas complejas, es el hecho de que se componen de ondas simples. De acuerdo con el Teorema de Fourier cada onda compleja periódica es una serie (familia) de ondas sinusoidales simples e incluye muchos armónicos. Es término armónico describe las relaciones entre las ondas, donde cada una tiene frecuencias que son múltiplos de la onda dominante (la amplitud más fuerte). Es segundo armónico tiene dos veces la frecuencia de la onda fundamenteal y el tercer armónico tiene tres veces la frecuencia fundamental.

El teorema de Fourier predice que una onda compleja puede reducirse a una serie de ondas simples. Lo contrario también es cierto: una serie de ondas simples pueden combinarse para dar una onda compleja.

Esta es la utilidad práctica del Teorema de Fourier. Hay efectos especiales que solo se consiguen manipulando el sonido que cae dentro de un estrecho rango de frecuencias. Por ejemplo un micrófono barato puede distorsionarse excesivamente la señal a 10 kHz, pero encambio funcionar razonablemente bien con un ancho de banda más bajo.

Mediante la técnica denominada ecualización que manipula la forma de la respuesta en frecuencia de una señal, es posible reducir la intensidad de las frecuencias en torno a 10 kHz para crear una señal que suena como si se hubiera grabado con un micro mucho mejor y con un ancho de banda más bajo. Esta manipulación se puede llevar a cabo en un PC mediante un algorítmo conocido como FFT (Transformada Rápida de Fourier).

Este ejemplo específico de ecualización también se puede realizar mediante un sistema analógico de circuitería de audio con tan solo un bajo coste. Sin embargo, ecualizaciones más complejas, así como efectos especiales (tales como cambiar la velocidad de reproducción de una voz sin cambiar el tono de la persona), no son fáciles de llevar a cabo con circuitos analógicos.

La técnica FFT también es la base de la mayoría de los programas de reconocimiento de la voz y un lugar común en la aplicaciones tanto comerciales como