SESION # 1

TALLER INTEGRADOR I

*PRESENTACIÓN

EL PROFESOR HARA SU PRESENTACIÓN PERSONAL FRENTE AL GRUPO INDICANDO SUS ESTUDIOS, CARRERA , EXPERIENCIA LABORAL Y/O DOCENCIA ASI COMO EL LUGAR Y HORARIO DE LOCALIZACIÓN DENTRO DE FIME.

*CRITERIOS DE EVALUACIÓN

EL PROFESOR MENCIONARA AL GRUPO LOS CRITERIOS DE ENVALUACION ACORDADOS POR LA ACADEMIA, ESTOS ESTAN DESCRITOS EN LA PAG. 2.

LA CALIFICACIÓN DEL PERIODO ORDINARIO, SERA DE ACUERDO A LOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN ADICIONALMENTE EL ALUMNO DEBERA DE ENTREGAR EN UNA CARPETA CON MICAS EL SIGUIENTE CONTENIDO:

**TODAS LAS SESIONES RESUELTAS DEL DIA CORRESPONDIENTE INCLUYENDO : DESCRIPCIÓN DE LA SESION, MARCO TEORICO , CONCLUSIONES.

**LA PORTADA INICIAL DEBERA CONTENER LOS DATOS DE CADA ALUMNO DEL EQUIPO.

*EXPLICACIÓN DE CÓMO SE LLEVARA ACABO EL TALLER.

LAS SESIONES SE REALIZARAN Y RESOLVERAN ENEL SALON DE CLASES.

LAS SESIONES NO SON EXTRACLASES ( NO SE LLEVARAN DE TARE).

SE FORMARAN EQUIPOS DE TRABAJO PARA LA SOLUCION DE SESIONES.

*EXPLICACIÓN DEL CONTENIDO DEBERA TENER PREPARACIÓN DEL TEMA ( MARCO TEORICO).

EL MARCO TEORICO DEBERA CONTENER ESCRITO LO REALACIONADO CON EL TEMA DE LA SESION.

*EL PROFESOR INDICARA EL MATERIAL ( EN CASO DE QUE LO REQUIERAN ) PARA LA SIGUIENTE SESION.

SESION #2

ÁLGEBRA ELEMENTAL

Un conjunto es uno de los conceptos útiles y fundamentales de matemáticas. Esta palabra se usa cotidianamente en frases como “un conjunto de platos”, “un conjunto de juego de argolla”, “un conjunto de materiales para dibujar” y en otras expresiones en las que se hace referencia a una colección de objetos. Entonces un conjunto se define como una colección de objetos bien definidos llamados elementos.

Cada conjunto se designa por la letra S y se establece el criterio que define a un elemento de S.

-S es un equipo de fútbol de la Universidad. El criterio que determina el pertenecer al equipo es la lista de los jugadores seleccionados por el entrenador.

-S es el rebaño de borregos en el pastizal “las gardenias”. Si un animal es un borrego y esta en el pastizal, mencionado es un elemento del conjunto.

-S es el conjunto de números naturales menores que 7 y divisibles entre 2. la descripción del conjunto establece el criterio. Los números 2, 4 y 6 son los elementos de S ya que cada uno de ellos es divisible entre 2 y es menor que 7.

Dos conjuntos son iguales si todo elemento de cada conjunto es un elemento del otro. Para satisfacer la igualdad no es necesario que los elementos que los conjuntos tengan el mismo orden por ejemplo:

(s, t, a, r) = (r, a, t, s) = (t, a, r, s)

en los conjuntos A = (a, b, c, d, e) y B = (a, c, e) cada elemento de B es un elemento de A.

Esto ejemplifica la siguiente definición:

Si cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A, entonces B es un subconjunto de A. Mas aun si cada elemento de B es un elemento de A, pero hay elementos en A que no son elementos de B, entonces B es un subconjunto propio de A.

SESION # 2

APLICACIONES DE ÁLGEBRA ELEMENTAL

1.- UNA CAJA MIDE 5CM DE ALTURA, Y DE ANCHO 5CM MAS QUE DE LARGO. SU VOLUMEN ES 1500CM³, CALCULAR LA LOGITUD Y LA ANCHURA?

V=1500 cm³ A.a.L=V

A= 5cm (5)(5+x)(x)=1500

.a=5 + x =20 x² + 25x-1500=0

L= X-15 5(x² + 5x-300)=0

(x-15)(x+20)=0

longitud ancho

x=15 x=20

(5cm)(5cm+15cm)(15cm)= 1500cm³

2.- EL LARGO DE UN RECTÁNGULO ES DE 55CM. SI X REPRESENTA SU ANCHO, ¿ PARA QUE VALORES DE X SU PERÍMETRO ES IGUAL A 270CM.?

p=2b+2h

270=2(55)+2(x)

270=110 + 2x

55 CM 270-110=2x

160=x

2

x=80 cm

(todos los valores del 81 en adelante)

3.- DETERMINE EL VALOR DE 2 NUMEROS CUYA SUMA ES 32 Y SU PRODUCTO 255.

(32-x)(x)=255 15 +17 = 32

32x-x²=255 15 * 17 = 32

y=x²+32x-255

(x-17)(x-15)

x=17 x=15

SESION #3

APLICACIONES DE ECUACIONES Y FUNCIONES

Una ecuación es un instrumento muy poderoso en matemáticas y es esencial en el desarrollo y comprensión de problemas en Física, Ingeniería, Ciencias Biológicas y Sociales.

Considerando proposiciones como las siguientes:

5 + x = 9

x es un numero entero entre 2 y 6

x es un color en la bandera de México

Ninguna de estas proposiciones es verdadera tal como están expuestas. Sin embargo, la primera es verdadera si x se sustituye por 4, la segunda es cierta si x se sustituye por un elemento de (3, 4, 5) y la tercera es verdadera si x se sustituye por algún color del conjunto (verde, blanco, rojo). Mas aun, cada una de las proposiciones es falsa si x se sustituye por algún otro numero o palabra que no este especificado con anterioridad.

La letra x se le llama variable y puede ser un conjunto dado. Al conjunto dado se le llama conjunto sustitución. Las afirmaciones (1, 2, 3) se llaman oraciones abiertas, su definición es como sigue:

Una oración abierta es una afirmación que contiene una variable, que no es verdadera ni falsa, pero se convierte en proposición verdadera o falsa si la variable se sustituye por un elemento escogido de un conjunto sustitución.

T se le llama al conjunto verdad para la oración abierta si esta se convierte en una proposición verdadera cuando la variable se sustituye por algún elemento de ese conjunto y ningún otro elemento.

De acuerdo con esta definición, los conjuntos verdad para las oraciones abiertas (1, 2, 3) es (4) (3, 4, 5) y (verde, blanco y rojo) respectivamente.

Una ecuación es una oración abierta que establece la igualdad entre dos expresiones. Cada expresión se le llama miembro de la ecuación. Si una ecuación es una proposición verdadera después que la variable se sustituye por un numero especifico entonces al numero se le llama raíz o solución de la ecuación y se dice que la satisface.

El conjunto de todas las raíces de una ecuación se le llama conjunto solución de la ecuación.

Una ecuación condicional es una ecuación cuyo conjunto solución es un subconjunto propio del conjunto sustitución.

Una identidad es una ecuación cuyo conjunto solución es el conjunto sustitución.

Ejemplo: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 es una identidad, y también lo es 6x / 3 = 2x.

El objetivo de resolver una ecuación, es encontrar un sustituto para la variable que satisfaga la ecuación. Cuanto más simple sea la ecuación tanto mas fácil resulta resolverla.

SESION # 3

APLICACIÓN DE ECUACIONES Y FUNCIONES

1.- UN FABRICATE DE RELOJES ENCUENTRA QUE SUS COSTOS VARIABLES SON DE $35.00 POR UNIDAD Y SUS COSTOS FIJOS SON DE $ 1,600.00. SI CADA RELOJ LO VENDE EN $85.00 Y SU UTILIDAD VARIA ENTRE $ 40,000.00 Y $58,000.00, ¿EN QUE INTERVALO VARIA LA CANTIDAD DE RELOJES VENDIDOS MANUELAMENTE?

Cu=$35.00 ct=cu+cf 40,000<u<58,000

Cf=$1,600.00 u=p-(cu+cf) 40,000<85x-35x-1600<58,000

P=85x U=85x-(35x+1600) 1,600+40,000<50x<58,000 +1,600

U=85x-35x-1600 41600<50x<59,600

41600<x<59,600

• 50

832<x<1192

(la cantidad varia entre 832 y 1192)

2.- UNA COMPAÑÍA QUE FABRICA JABONES ENCUENTRA QUE PRODUCIR 250 JABONES LE CUESTA $6,300.00; MIENTARS QUE PRODUCIR 375 JABONES LE CUESTA $7,050.00. SI EL COSTO ( c ) VARIA LINEALMENTE CON LA CANTIDAD PRODUCIDA (Q), Y CADA JABON SE VENDE EN $ 14.00, ENCUENTRE;

LA ECUACIÓN DE LA FUNCION DE COSTO

L A ECUACIÓN DE LA UTILIDAD

LA CANTIDAD DE ARTICULOS QUE TIENE QUE PRODUCIR Y VENDER PARA QUE LA COMPAÑÍA ESTE EN UN PUNTO DE EQUILIBRIO.

LA UTILIDAD SI SE VENDEN 400 JABONES.

LA UTILIDAD SI SE PRODUCEN Y VENDEN 900 JABONES

LA CANTIDAD DE JABONES QUE SE TIENE QUE PRODUCIR Y VENDER PARA QUE LA UTILIDAD SEA DE $ 46,000.00.

A) Y1= 6,300.00 m= Y2 - Y1 = 7050-6300 =750 = 6

Y2= 7,050.00 X2 - X1 375-250 125

X1= 250

X2= 375 Y - Y1 = m( X - X1 )

Y-6300 =6(x-250)

Y-6300=6X-15000

Y=6X-1500 + 6300

Y = 6X + 4800

COSTO Y = 6(250) +4800

Y= 6300

B) y = utilidad y = 6(375) + (-7050) u=p-cu+cf

M= 6 y = 2250-7050 u=14x-6x + (-4800)

X = 375 y = -4800 u=8x-4800

B =-7050

Utilidad u = 8x -4800

C) X= 8x - 4800

4800 = 8 x

8

x=600 jabones

D) utilidad = 8 (400) - 4800

U= -1,600

E) utilidad = 8 (900) - 4800

U = 7,200 - 4800

U = 2,400

F) 46000 = 8 x - 4800

46000+4800 = 8x

x=50800 = 6350

8

SESION #4

ÁLGEBRA VECTORIAL

Muchas magnitudes, ya sean geométricas o físicas, como por ejemplo área, volumen, temperatura, masa y tiempo, pueden caracterizarse mediante números reales en una escala adecuada de medida. Se les conoce como magnitudes escalares, y él numero real asociado con cada una de ellas se denomina escalar.

Otras magnitudes, tales como fuerza, velocidad y aceleración implican tanto un valor numérica como una dirección. Es por eso que no pueden representarse solo mediante un numero real para representar tales magnitudes se utiliza un segmento (recto) dirigido. La magnitud del segmento dirigido con un punto inicial y un punto final se denomina por IIPQII.

Segmentos de igual magnitud y dirección, se llaman equivalentes. El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento dirigido dado es un vector en el plano y se denota por v = PQ.

Un vector en el plano admite representación mediante muchos segmentos dirigidos distintos, concretamente todos los que tienen su misma magnitud y apuntan en la misma dirección.

Se dice que el representante de v esta en posición canónica. Un segmento dirigido cuyo punto inicial es el origen puede caracterizarse dando solo las coordenadas de su punto final Q.

Si w es un vector en el plano con punto inicial en el origen y punto final la expresión en componentes de w viene dada por.

w = (w1 , w2)

Esta definición significa que dos veces w y v son iguales si y solo w es igual a v y v es igual a w.

En general, la longitud de una suma de vectores no es igual a la suma de sus longitudes si se considera que w y v son los lados de un triangulo, podemos ver que la longitud del tercer lado es w + v.

Los vectores unitarios se llaman vectores unitarios canónicos y se denotan por.

i = (1,0) y j = (0,1)

Los vectores tienen muchas y variadas aplicaciones en física e ingeniería para resolver cuestiones de fuerza resultante, velocidad resultante y dirección.

SESION # 4

ÁLGEBRA VECTORIAL

1.- UNA PARTICULA SE MUEVE A LO LARGO DE LA CURVA X=2T , Y= T- 4T, Z=3T-5, SIENDO T EL TIEMPO. HALLAR LA COMPONENTES DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACIÓN EN EL INSTANTE T=1 Y EN LA DIRECCIÓN i-3j+2k.

X= 2 t² t= tiempo = 1

Y = t²-4t i-3j+k

Z = 3t - 5

I - 3j + k

X = 2 (1)² =2=i =2-3(-3) +(-2)

Y = (1)² - 4(1) =-3=j =2+9-2

Z = 3(1) - 5 =-2=k =9

Componente de la velocidad 2 i + 9 j - 2 k

2.- HALLAR LO SIG: SIENDO : U<3i-5j+k> ,V< 2j-2k> , W<3i+j+k>

UN VECTOR Z = U - V + 2W

ANGULOS DIRECTORES DEL VECTOR

VECTOR UNITARIO EN DIRECCIÓN DE Z

PRODUCTO V X W

PRODUCTO DE V. W

AREA DEL PARALELOGRAMO ENTRE LOS VECTORES V Y W

VOLUMEN DEL PARALELEPIPEDO FORMADO POR LOS VECTORES U, V Y W.

1) =U - V + 2W

=(3i-7j+3k) + (6i + 2j + 2k)

= 9i - 5j + 5k =Z

2) Z = [(9)² + (5)² + (5)²]½

= (131)½

= 11.44

X = COS¹ 9 = 38.1558°

(131)½

 = COS¹ -5 = 115.903°

(131)½

þ = COS¹ 5 = 4.0968°

(131)½

3) !z = 9-5+5 = .786333651

(131)

4) producto cruz V x W V= 0i+2j-2k W= 3i+1j+1k

+ - +

i j k

VxW 0 2 2 i 2 -2 -j 0 -2 +k 0 2

3 1 1 1 1 3 1 3 1

4i - 6j - 6k

VxW = 4i-6j-6k

5) producto punto V.W V=(0i+2j-2k) W=(3i+1j+1k)

V.W = (0)(3) +(2)(1) +(-2)(1)

= 0 + 2 - 2

V.W= 0

6)

+ - +

i j k

VxW 0 2 2 i 2 -2 -j 0 -2 +k 0 2

3 1 1 1 1 3 1 3 1

4i - 6j - 6k

VxW = 4i-6j-6k

%V x W % = ( (X)² +(Y)²+(Z)² )½

= ( (4)² +(6)²+(-6)² )½

= (16+36+36)½

= (88)½

= 9.380u²

7)

+ - +

3 -5 1

VxW 1 2 -2 3 2 -2 5 1 -2 +1 1 2

3 1 1 1 1 3 1 3 1

= 3(4) + 5(7) + 1(-5)

=12+35-5

U.VxW = 42U³

3.- TENIENDO LOS PUNTOS : A= (5,2,0) B=(2,6,1) C=(2,4,7) D=(5,0,6). ENCUENTRE LO SIGUIENTE:

DIBUJE EL CUERPO QUE SE TRANSFORMA CON LOS PUNTOS

DEL CUERPO DEL INCISO ANTERIOR OBTENIDO, ENCUENTRE EL AREA.

%AB X AD% = AB= -3i+4j+k

AD= 0i-2j+6k

CD=3i-2j+6k

CB=0i+2j+6k

ABXAD= + -3 4 1 4 1 3 1 -3 4 =26i + 18 j + 6k

0 -2 6 = i -2 6 + j 0 6 + k 0 -2

%AB X AD%= ( (26)²+(18)²+(6)² ) ½ = 32.19

SESION # 5

aplicaciones de matrices

en la siguiente sesion mencionamos la aplicación de matrices en mas de una de sus facetas multilplicacion y suma en seguida mencionamos la diescripcion de la misma.

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas).

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.

SESION # 5

APLICACIONES DE MATRICES

1.- SUPONGA QUE UN DISTRIBUIDOR DE AUTOMÓVILES VENDE AUTOMÓVILES ( C ), CAMIONETAS ( V ) Y CAMINOES ( T ) EN DOS POBLACIONES A Y B . ENTONCES LOS VEHÍCULOS RECIBIDOS EN ENERO, FEBRERO Y MARZO SE PUEDEN ESCRIBIR COMO LAS MATRICES E, F Y M:

C V T C V T

E= 38 9 22 A F= 33 7 21 A

49 14 24 B 45 9 21 B

C V T

M= 43 10 28 A

51 8 26 B

OBTENGA UNA MATRIZ QUE MUESTRE EL NUMERO TOTAL DE UNIDADES RECIBIDOS POR POBLACIÓN, POR TIPO DE VEHÍCULOS DURANTE LOS TRES MESES.

EFM = E + F + M

C V T

EFM= 114 26 71 A

145 31 71 B

SUPONGA QUE LOS COSTOS ESTAN DADOS EN DOLARES POR LA MATRIZ D.

ENCUENTRE LOS GASTOS DE COMPRAS Y GASTOS GENERALES DE CADA UNA DE LAS POBLACIONES EN EL MES DE ENERO.

COMPRAS GTOS.GRALES

D= 9300 340

15400 500

22400 660

C V T

E= 38 9 22 A (2 X 3) (3 X 2)

49 14 24 B

COMPRAS GTOS.GRALES

ED= 987800 31940 A

1208900 39500 B

2.- UN GRUPO DE PERSONAS SE REUNE PARA IR DE EXCURSIÓN, JUNTÁNDOSE UN TOTAL DE 20, ENTRE HOMBRES , MUJERES Y NIÑOS. CONTANDO HOMBRES Y MUJERES JUNTOS, SU NUMERO RESULTA SER EL TRIPLE DEL NUMERO DE NIÑOS. ADEMÁS, SI HUBIERA ACUDIDO UN MUJER MAS, SU NUMERO IGUALARIA AL HOMBRES. ¿CUÁNTOS HOMBRES, MUJERES Y NIÑOS HAY?

X= NUMERO DE HOMBRES

Y= NUMERO DE MUJERES

Z= NUMERO DE NIÑOS

*NOTA: UTILICE PARA EL PROBLEMA 1 SUMA Y MULTIPILICACIONES DE MATRICES

UTILICE PARA EL PROBLEMA 2 SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES (POR MATRICES).

X + Y + Z =20

X + Y -3Z=0

-X + Y =-1

METODO MONTANTE

1	1	-3	0		1	-1	-3	0		2	0	-3	1
-1	1	0	-1		0	2	-3	-1		0	2	-3	-1
1	1	1	20		0	0	4	20		0	0	8	40
16	0	0	128		16	0	0	128		X=	128/16 =	8
0	16	0	112		0	16	0	112		Y=	112/16=	7
0	0	8	40		0	0	16	80		Z=	80/16=	5

SESION # 6

APLICACIONES DE LA DERIVADA

TEMA: Funciones crecientes y decrecientes

Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.

 El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado.  

 Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f'(c) = 0 ó f'(c) no existe.

Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f. Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.

SESION # 6

APLICACIONES DE LA DERIVADA

1.- LA ALTURA QUE ALCANZA LA PELOTA AL LANZARLA VERTICALMENTE HACIA ARRIBA ESTA DADA POR LA ECUACIÓN H (T)=-16T + 80T + 45,DONDE H SE MIDE EN PIES Y T EN SEGUNDOS, ENCUENTRE:

EL TIEMPO QUE TARDA EN ALCANZAR SU ALTURA MÁXIMA .

LA ALTURA MÁXIMA ALCANZADA.

h (t) = -16 t ² + 80 +45

h (t) =-32 t +80

0 = -32t +80

t = -80 = 2.5 seg.

-32

h (t) = -16 (2.5 seg)² + 80 (2.5seg)+45

h (t) = -100 + 200 + 45

= 145 pies ALTURA MAXIMA

2.- SUPONGASE QUE C (X) ES EL COSTO TOTAL EN DOLARES AL PRODUCIR X MARCOS PARA FOTOS (X > 10 ) Y C (X)= 15 + 8X 50/X

ENCONTRAR:

LA FUNCION DEL COSTO MARGINAL;

EL COSTO MARGINAL CUANDO X =50;

EL COSTO DE PRODUCIR EL QUINCUAGÉSIMO PRIMER MARCO.

c(x) = 15 + 8x +50/x²

c(x) = 8 - 50

x²

el costo marginal cuando x =50

c (50) = 8 - 50

(50)²

c (50) = 8 - 50

2500

c (50) =8 - .2

c (50) = 7.98 dls.

c (x) = 8 - 50

(51)²

c (x) = 8 - 50

2601

c (x) = 8 - .01922

c (51) = 7.98078 dls

3.-EL DUEÑO DE UN HOTEL QUE TIENE 80 HABITACIONES SABE QUE ESTARAN OCUPADAS TODAS SI EL PRECIO DE ALQUILER DE CADA UNA ES DE $ 60.00, PERO TAMBIEN SABE QUE POR CADA AUMENTO DE $5.00 EN SU PRECIO DE ALQUILER TENDRA DOS HABITACIONES VACIAS.

DETERMINA EL PRECIO DE ALQUILER DE CADA HABITACIÓN POR EL CUAL EL INGRESO ES MÁXIMO.

DETERMINA EL MONTON DEL INGRESO MÁXIMO.

SI EL INGRESO ES MÁXIMO ¿CUÁNTAS HABITACIONES DEL HOTEL ESTA LIQUIDADAS?

F= (60 + 5x ) ( 80 - 2x) =0

4800-120x + 400x -10x²=0

-10x² + 280 x + 4800 = 0 se deriva

20x + 280 =0

x= -280 = 14

-20

F= (60 + 5 (14) ) ( 80 - 2 (14) )

= (60 +70 ) ( 80-28)

= (130) (50)

F= 6760

habitacion = 80-2x

=80 - 2 (14)

=52 habitaciones

SESION # 7

APLICACIONDE DE LA DERIVADA

RAZON DE CAMBIO

La aplicación de la "Razón del cambio", tiene muchas aplicaciones.

Normalmente las razones de cambio refieren a los cambios respecto al tiempo, pero se puede buscar la "razón del cambio" respecto a cualquier variable relacionada.

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función

Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto, esto es, mide 90º. El lado mayor de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa mientras que los otros dos lados se llaman catetos.

Recuerda que en cualquier triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos vale 180º. Por tanto, en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos vale 90º.

SESION # 7

APLICACIONDE DE LA DERIVADA

RAZON DE CAMBIO

1.- HALLAR LA RAZON DE CRECIMIENTO, DEL AREA DE UN TRIANGULO EQUILÁTERO CUANDO EL LADO MIDE 10CM, SI LA LONGITUD DE CADA LADO CRECE A RAZON DE 2CM/MIN.

, dA = ¿

dt

d L = 2cm

dt min

sen Ø = op = h

h L

h= L sen Ø

AT = (½) (base)(altura)

AT = (½) (L sen Ø )

TT = ½ L² sen Ø

, dA = ½ (2)(L)( d L / d t) sen Ø

dt

, dA = L ( d L / d t) sen Ø

dt

, dA = (10CM) ( 2CM / MIN) (sen 60º)

dt

, dA = (20CM²/MIN) ( .08660254)

dt

= 17.320508 CM² / MIN

2.- UNA ESCALERA DE 18M ESTA INCLINADA CONTRA UNA PARED VERTICAL.

SI EL PIE DE LA ESCALERA SE ALEJA DE LA PARED, SOBRE EL SUELO, A RAZON DE CONSTANTE DE 3M/SEG. HALLAR LA RAZON A LA CUAL SE DESLIZA LA ESCALERA POR LA PARED, CUANDO EL PIE DE ESTA SE ENCUANTRA A 8M DE LA PARED.

, dy/dt =c² = a² + b²

L = 1.8m x² + y² = c²

, dx = 3m/seg x² + y² = (18)²

dt x² + y² = 324

(8)² + y² = 324

x = 8mts 64 + y² = 324

y² = 324 - 64

y²= (260)½

Y= 16.12

3X + Y = dy

dt

x = y

dx/ dt

8 = 16.12

3

8 = 5.37

, dy = -8 = -1.48 m/s

dt 5.37

3.- SUPONGA QUE UNA COMETA SE ENCUANTRA A UNA ALTURA DE 300FT, EN UN AMBIENTE CON VIENTO HORIZONTAL.

ELABORE UN DIAGRAMA DETALLADO DE ESTA SITUACIÓN E IDENTIFIQUE LAS LONGITUDES VARIABLES MEDIANTE LETRAS Y LAS LONGITUDES FIJAS CON NUMEROS.

EN EL INSTANTE EN QUE EL HILO TIENE UNA EXTENSIÓN DE 500FT, LA COMETA TIRA DEL HILO A RAZON DE 20FT/SEG.¿CUÁL ES LA VELOCIDAD DE LA COMETA EN EL AMBIENTE?

A)

SACAR EL VALOR DE X POR EL TEOREMA DE PITÁGORAS

(hip)² = (ady)² (op)²

ady = ( (hip)² - (op)² )½

ady = ( (500)² - (300)² )½

x = 400 ft

SESION # 8

APLICACIONES DE LA DERIVADA

RAZON DE CAMBIO

Velocidad es la variación de la posición con el tiempo. Nos indica si el móvil se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía el tiempo. La velocidad en física se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad.

Aceleración indica cuánto varía la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto de aceleración no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervención de un criterio de signos puede hacer que interpretemos erróneamente cuándo un cuerpo se acelera
o cuándo se ``decelera''
.

Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.

La aceleración se define como la razón entre el cambio de velocidad y el intervalo en el cual ésta ocurre.

SESION # 8

APLICACIONES DE LA DERIVADA

RAZON DE CAMBIO

1.- CALCULA LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN, CUANDO T=2 SEG , DE LOS SIGUIENTES MOVIMIENTOS (“E” ESTA EXPRESADO EN METROS CUANDO T LO ESTA EN SEGUNDOS):

E= T + 3T

E=-3T + T

E= T + 7

e = t² + 3 B ) e = -3 t ² + t ³ C) e = (t + 7 )½

= 2t + 3 = - 6 t + 3t² =½ (t +7)-½ (1)

= -6 (2) + 3 (2)² = 1

V= 7 m/s = -12 + 12 2(t+7)½

= 1

2 (2 + 7)½

= 1

2 (9)½

= 1

2 (3)

=1/6 m/s

2.- DOS LADOS PARALELOS DE UN RECTÁNGULO SE ESTIRAN A UNA VELOCIDAD DE 2 CM/S Y LOS OTROS DOS SE ACORTAN, DE MODO QUE LA FIGURA RESULTANTE ES SIEMPRE UN RECTÁNGULO, DE AREA CONSTANTE A 50CM .

HALLAR LA VARIACIÓN DEL PERÍMETRO, RESPECTO AL TIEMPO, CUANDO LOS LADOS QUE SE ESTIRAN:

MIDEN 5CM

MIDEN 10CM

HALLAR LAS DIMESIONES DEL RECTANGULO CUANDO EL PERIMETRO DEJA DE DISMINUIR.

A = b x h P= 2 b x 2 h A= b x h

50cm² = 5cm x h P= 2 (5) + 2 (10) 50cm² = 10 cm x h

h = 50 cm ² P = 10 + 20 h = 50cm²

5 P= 30 cm 10 cm

h= 5cm

h= 10cm A= b x h

A= bxh 50 cm² = 10 cm x 5 cm

50 cm² = 5cm x 10 cm

P= 4 m/s P= 2 b x 2 h

P= 2 (10) X 2 (5)

P= 20 + 10

P= 30 cm

3.-UNA PERSONA DE 1.8 M DE ALTO SE ALEJA DE UN POSTE DE ALUMBRADO DE 6M. DE ALTO, A UNA VELOCIDAD DE 1M/S ¿CON QUE RAPIDEZ CRECE LA SOMBRA DE LA PERSONA CON RESPECTO AL SUELO?

6m = 1.8

x (t) + s (t) s(t)

6s (t) = 1.8 x (t) + 1.8s (t)

= 1.8 (1) + 1.8

6s (t) -1.8 s (t) =1.8

s(t)(6-1.8)=1.8

s(t)= 1.8

6-1.8

=3/7 m/s

SESION # 9

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICANDO

EL CRITERIO DE LA 2DA. DERIVADA.

EN LA SIGUIENTE SESION SE OBTENDRA LA RESPUESTA MEDIANTE LA SEGUNDA DERIVADA DE LA CUAL EN SEGUIDA MENCIONAREMOS LOS ELEMENTOS MAS IMPORTANTES .

EN LA SIG. SESION TAMBIEN OCUPAREMOS LAS FORMULAS DE VOLUMEN Y PERIMETRO YA MENCIONADAS.

la función derivada f'(x), se puede derivar nuevamente en un intervalo I, obteniéndose de esta forma la segunda derivada de

la función. Es decir, si existe, 
, se llamará: la segunda derivada de f, o también, la derivada de segundo orden y se denotará por cualquiera de los símbolos: 
. 

a medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga.

SESION # 9

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICANDO

EL CRITERIO DE LA 2DA. DERIVADA.

1.- DE UNA LAMINA CUADRADA DE LADO 10 CM. SE CORTAN CUADRADOS EN CADA UNO DE LOS VÉRTICES CON EL OBJETO DE HACER UNA CAJA ABIERTA PARA ARRIBA. CALCULA EL LADO DEL CUADRADO QUE SE DEBE CORTAR PARA QUE EL VOLUMEN DE LA CAJA SEA MÁXIMO.

V= L X L X L

V= (10-2x)(10-2x)(x)

V= (X)(10-2x)

V= x (4x² -40x +100)

V= 4x³- 40 x² +100x

F¹ (x) = 12x² -80x +100

=(6x -10)(2x -10)

6x - 10 =0

6x = 10

x = 10

6

x= 1.66

f¹¹ (x) =24x -80

f(5) =24(5)-80

=120 -80

= 40 min

f¹¹(x) = 24 x - 80

f¹¹(1.6) =24 (1.66) - 80

= 39.84 - 80

=-40.16min

2.- ENCUENTRE TODOS LOS RECTÁNGULOS DE PERÍMETRO 12 CM. ¿CUÁL ES EL QUE TIENE EL DIAGONAL MENOR?

SESION # 10

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

EN LA SIGUIENTE SESION BUSCAREMOS LA VELOCIDAD EL TIEMPO LA RAPIDEZ EN QUE TARDA UNA MASA TOCAR EL SUELO O VICEVERSA , LO HAREMOS CON RESPECTO A LAS INTEGRALES.

El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma

La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar a símbolo

 

SESION # 10

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

1.- DESDE UN ACANTILADO, DE 400 METROS DE ALTURA, SE DEJA CAER UNA MASA DE 3 KG. SUPONIENDO QUE NO EXISTA RESISTENCIA DEL AIRE, DETERMINE EN QUE INSTANTE Y CON QUE VELOCIDAD LLEGA AL SUELO.

"a= 9.8 dt "v - 9.8t V= 88.49 m/s

vel = 9.8 t + c x= 4.9 t² -c t= 9.03 s

c= vel = -9.8 t 4.9 t² - 400

c= v=0 - 9.8 t t Ø x = -400

t Ø t = 9.03

2.- SE LANZA UNA PIEDRA VERTICALMENTE HACIA ARRIBA DESDE EL SUELO CON UNA VELOCIDAD INICIAL DE 128 FT/ S. CONSIDERE QUE LA UNICA FUERZA QUE ACTUA SOBRE LA PIEDRA ES LA ACELERACIÓN DEBIDO A LA GRAVEDAD. DETERMINE:

QUE TAN ALTO LLEGARA LA PIEDRA Y LA VELOCIDAD CON LA QUE LLEGARA AL SUELO;

QUE TIEMPO LE TOMARA A LA PIEDRA LLEGAR HASTA EL SUELO;

SIMULE EL MOVIMIENTO EN LA GRAFICADORA Y APOYE LAS RESPUESTAS DE LOS INCISOS A) Y B);

DETERMINE LA RAPIDEZ DE LA PIEDRA AL LEGAR AL SUELO.

DATOS:

T= 0 T = T

S= 0 S = 0

V=128 V = V

EL MOVIMIENTO DE LA PIEDRA SE ILUSTRA EN LA FIGURA.

LA DIRECCIÓN POSITIVA SE TOMA HACIA ARRIBA.

-T” SEGUNDOS : TIEMPO QUE TRANSCURRE DESDE QUE LA PIEDRA FUE LANZADA.

-“S” EN PIES; LA DISTANCIA DE LA PIEDRA A LOS T SEGUNDOS

-“V” PIES/ SEG. : VELOCIDAD DE LA PIEDRA A LOS T SEGUNDOS

V RAPIDEZ DE LA PIEDRA A LOS T SEGUNDOS

LA PIEDRA ESTARA EN SU PUNTO MAS ALTO CUANDO LA VELOCIDAD SEA CERO. SEA S EL VALOR PARTICULAR DE S CUANDO V=0. CUANDO LA PIEDRA TOCA EL SUELO, S=0. SEA T Y V LOS VALORES PARTICULARES DE T Y V CUANDO S=0 Y T SEA DIFERENTE DE 0.

LA DIRECCIÓN POSITIVA DE LA PIEDRA DESDE EL PUNTO DE LA PARTIDA SE TOMA HACIA ARRIBA. LA ACELERACIÓN DEBIDA A LA GRAVEDAD ES EN EL SENTIDO HACIA ABAJO TIERNE EL VALOR CTE. APROX. DE -32 PIES/SEG.

 a = V  v = x x = 16t² -128t -261

a= 32 dt x = 32 t - c v = -32t -128

v = 32 t + c x = 32 t² - c t v = -32 (8) - 128

128 = 32 (0) + c 2 v = -128 ft/s

c = 128 x =16 t² -128 + 261

V= 32 t - c

0 = -32 t - 128

t = 4

a=261 ft

-128 ft/s

b=8 seg

a= 128 ft/s

SESION # 11

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Cuando medimos la longitud de un objeto, estamos viendo cuantas veces entra una unidad de medida en el largo del objeto. Para que todos obtengamos el mismo resultado debemos usar la misma unidad de medida.

Introducción

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

Las integrales definidas y

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

SESION # 11

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

1.- SE NECESITA UNA FUERZA DE 40 KG PARA ESTIRAR UN RESORTE DE LA LONGITUD NATURAL DE 15CM A UNA LONGITUD DE 20CM. DETERMINE EL TRABAJO REALIZADO AL ESTIRAR EL RESORTE DE :

SU LONGITUD NATURAL A UNA LONGITUD DE 25CM.

UNA LONGITUD DE 17.5CM A UNA LONGITU DE 25CM.

OBSERVACIÓN: EN EL SISTEMA TÉCNICO LA UNIDAD DE LA FUERZA ES DE KILOGRAMO Y LA DISTANCIA EL METRO. LA UNIDAD DE TRABAJO EN EL SISTEMA ES POR CONSIGUIENTE KILOGRAMOMETRO. EN EL SISTEMA MKS LA UNIDAD DE TRABAJO ES EL NEWTON-METRO.

2.- EL VALOR DE LA REVENTA DE CIERTA MAQUINARIA INDUSTRIAL DECRECE A UNA RAZON QUE CAMBIA CON EL TIEMPO. CUANDO LKA MAQUINARIA TIENE T AÑOS, LA RAZON A LA QUE CAMBIA SU VALOR ES:

(-960)(E)(T/5) DOLARES POR AÑO. SI LA MAQUINARIA SE COMPRO NUEVA POR $ 5,000.00 ¿ CUANTO VALDRA DESPUÉS DE 10 AÑOS?

3.- SE PROYECTA QUE DENTRO DE T AÑOS LA POBLACIÓN DE CIERTO PAIS CAMBIARA A UNA RAZON DE (E)(0.02T) MILLONES POR AÑO. SI LA POBLACIÓN ACTUAL SON 50 MILLONES DE HABITANTES, ¿CUÁL SERA LA POBLACIÓN DENTRO DE 10AÑOS?

SESION # 12

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

FUERZA Y TRABAJO

enseguida buscaremos la fuerza ejercida en cierta superfice, por lo tanto se decscribe las fuerzas y las obtendremos con la primer derivada.

Fuerza Constante, El trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa a lo largo de una distancia s sobre una línea recta es de Fs unidades.

Fuerza Variable, Consideremos una fuerza que varía continuamente y actúa a lo largo de una línea recta. Sea x la distancia dirigida del punto de aplicación de la fuerza a un punto fijado de ka recta y sea la fuerza dada como una cierta función F(x) de x. Para hallar el trabajo realizado al moverse el punto de aplicación desde x = a hasta x = b.

la fuerza ejercida sobre un área plana sumergida verticalmente en un líquido es igual al producto del peso de una unidad de volumen del líquido por el área sumergida y por la profundidad del centroide del área que está bajo la superficie del líquido. Debe usarse esto, más bien que una fórmula, como a principio a la hora de establecer tales integrales.

SESION # 12

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

FUERZA Y TRABAJO

1.- UNA PARTICULA SE MUEVE A LO LARGO DEL EJE X POR LA ACCION DE UNA FUERZA DE F (X) NEWTON , CUANDO LA PARTICULA ESTA A X METROS DEL ORIGEN.

SI F (X) = X + 4 , HALLE EL TRABAJO REALIZADO MIENTRAS LA PARTICULA SE MUEVE DEL PUNTO DONDE X= 2 AL PUNTO X=4.

X2+4 "

X=2

X=4

" "

= X3 + 4X

3

= 1/3(4)3 + 4(4) -1/3(2)3 + 4(2)

= 64/3 + 16 - 8/3 + 8

= 64-8/3+16-8

= 56 + 24

• 3

= 80

3

2.- UNA FUERZA DE 15LB EXTIENDE UN RESORTE 6IN EN UNA MAQUINA DE EJERCICIOS. CALCULAR EL TRABAJO REALIZADO AL EXTENDER EL RESORTE 12IN DESDE SU POSICIÓN NEUTRAL.

OBSERVACIÓN: LA FUERZA F(X) REQUERIDA PARA COMPRIMIR O ESTIRAR UN RESORTE ES PROPORCIONAL A LA DISTANCIA X, QUE REPRESENTA LA DIFERENCIA ENTRE LA LONGITUD DEL RESORTE COMPRIMIDO O ESTIRADO Y LA LONGITUD ORIGINAL.

F(X)=KX W=" 5/2X.DX

K6=15LB

K=15/6 = 5/2

= 5/4X2

F(X)=5/2X

= 5/4(12)2= 5/4(144)=

= 180IN

3.-SI UN MODULO ESPECIAL PESA 15 TONELADAS EN LA SUPERFICIE TERRESTRE.¿ CUANTO TRABAJO EXIGE ELEVARLO A UNA ALTURA DE 800 MILLAS?

NO SE TENDRA EN CUENTA LA RESISTENCIA DEL AIRE NI EL PESO DEL COMBUSTIBLE. Y CONSIDERE QUE LA DISTANCIA DEL CENTRO DE LA TIERRA ALA SUPERFICIE ES APROXIMADAMENTE DE 4000 MILLAS.

OBSERVACIÓN: EL PESO DE UN CUERPO VARIA INVERSAMENTE CON EL CUADRO DE LA DISTANCIA AL CENTRO DE LA TIERRA.

F(X)  1/X2

F(X) = K/X2

F(R)= W = MG = (15000KG)(9.8M/S²) = 147000NW

R= 4000MILLAS= 6.436X106 M

147000 = K / (6.436X106)2

K= 6.089X1013

F(X) = 6.089X1013X-2

4800 MILLAS = 7.7232X106

W= " 6.089X1013X-2 = 6.089X1013/X

= - 1.5768X109

CONCLUSIONES:

EN CADA UNA DE LAS PRACTICAS SE REALIZO LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES CON EL TEMA, OBTENIENDO ASI LO ESPERADO.

AL PRINCIPIO DE CADA UNA DE LAS SESIONES SE DA UNA BREVE EXPLICACIÓN DE LO QUE TRATA LA SESION Y ALGUNAS NOTAS IMPORTANTES PARA SU ELABORACIÓN.

C(2,4,7)

D(5,0,6)

B(2,6,1)

4

2

(x2+4) .dx

4

2

4

2

x2.dx + 4 dx

4

2

12

0

12

0

7.7232x106

6.436x106

7.7232x106

6.436x106