SUCESIONES

Diremos que {an} es convergente si lim an = L (finito)

n→ð

Si {an}y {bn}son convergentes tales que

lim an = L lim bn = M ; Entonces:

n→ð n→ð

{an} (ð,*,/){bn}= L(ð,*,/) M

Si lim ­|an| = 0 ð lim ­an= 0

n→ð n→ð

Dada {an} diremos que C ð R es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ð R es una cota inferior si B ð an . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.

SERIES NUMÉRICAS

Diremos que una serie ðan es convergente si lim ðan = L (finito)

ð n→ð

Series Geométricas (ðKrn-1; K,r ð R)

n=1

La serie geométrica converge si ­|r­|<1 y converge a

k

Sn= --------

1-r

Si ðan y ðbn son convergentes a A y B respectivamente entonces:

ðan ð ðbn= A ð ð

Si ðC*an ; C=cte. ð C*ðan = C*A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término “n”, las dos tienen el mismo carácter.

Dada ðan convergente ð lim an = 0

n→ð

ð

ðððnp es convergente para p>1.

n=1

CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea yðð(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +ð) y tal que ð(n)= an entonces:

+ð +ð

ðð(x)dx y ðan tienen el mismo carácter.

1 n=1

CRITERIO DE COMPARACIÓN

ðan y

ðbn de términos positivos.

Si ðan ð ðbn ð si ðbn converge se tendrá que ðan converge. Y si ðan diverge entonces ðbn diverge.

COMPARACIÓN AL LÍMITE (para series de términos positivos)

Si ð lim an/bn = L (finito, positivo) anð L*bn

n→ð

Entonces si an converge bn converge y viceversa.

Si lim an/bn = 0 si bn converge an converge.

n→ð

Si lim an/bn = +ð si bn diverge an diverge.

n→ð

ð ð

SERIES ALTERNAS (ð(ðððn+1 an ó ð(ðððn an )

n=1 n=1

Criterio Para Series Alternas.

Si lim an =0 y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente.

n→ð

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Dada ðan de términos de cualquier signo.

ð­|an­| converge ð ðan es convergente y diremos que ðan converge absolutamente.

Si ð­|an­­| diverge y ­ðan converge, diremos que an converge condicionalmente.

CRITERIO DE LA RAZÓN

Si lim |an+1|/|an|= L; L<1 la serie converge absolutamente.

n→ð

Si L=1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge.

CRITERIO DE LA RAÍZ

Si lim (|an|ðððn=L; L<1 la serie converge absolutamente.

n→ð

Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge.

ESTIMACIÓN DEL RESTO

Criterio de la Integral.

Resto(Rn)=S-Sn=an+1 + an+2+ an+3+...

+ð +ð

ðð(x)dx ð Rnð ðð(x)dx

n+1 n

Para Series Alternas

|Rn

|ð

|an+1

|<error

ð ð

SERIES DE POTENCIA (ðCn(x-a)n; serie de potencia centrada en a)

n=0

ð

ðxn =1/(1-x) ð |x|<1

n=0

ð

ðxn/n!= ex

n=0

Si una serie de potencia es convergente para x=x1 ð converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x|<|x1|.

Si una serie de potencia es divergente para x=x2 ð también es divergente para cualquier valor de x tal que |x|>|x2|.

SERIE DE TAYLOR

Cn=ðn(a)/n! De lo que se obtiene:

ð

ð(x)= ððn(a)(x-a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

n=0