SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

• SUCESIONES DE FUNCIONES:

DEFINICIÓN: Sea
una sucesión de funciones(
). Decimos que
CONVERGE PUNTUALMENTE en A a una función
, que se llama función ímite, si para cada x0" A se verifica que:

Es decir, si "x0"A, ">0,"n0 "N / "n"n0!|fn(x0)-f(x0)|< 

A
se le llama también límite puntual de
, y se escribe

Ejemplos:

Si hacemos el límite considerando x constante:

Es decir, a medida que aumenta n, la curva que describe fn(x), se va aproximando a f(x)=x

IDEA INTUITIVA: El límite de una sucesión de funciones continuas puede no ser continuas(ejemplo 2). A menudo nos interesa asegurar que la función límite será continua. Para ello vamos a endurecer la noción de convergencia, eliminando la dependencia de x0.

DEFINICIÓN: Sea
una sucesión de funciones(
). Decimos que
CONVERGE UNIFORMEMENTE en A hacía una función
, si ">0 ,"n0"N / "n"n0!|fn(x)-f(x)|<  "x"A

Geometricamente esto se puede ver de la siguiente manera.

A partir de un n0, la función fn(x) puede hacer lo que quiera, pero estará contenida en un `tubo', formado por las funciones f(x)+ y f(x)-.

OBSERVACIÓN: La convergencia uniforme implica la convergencia puntual, es decir, es más fuerte la uniforme que la puntual.

NOTACIÓN: Si
converge uniformemente a f en A, lo escribiremos:

TEOREMA(Caracterización del supremo):

, donde

Demostración:

que es la definición de convergencia uniforme.

Ejemplo:

Estudiar la convergencia(ambas) de

límite puntual

Hallamos
(distancia entre el máximo y f(x))

Y el límite vale:

Luego hay convergencia uniforme.

PROPOSICIÓN: Si
y
están acotadas
, entonces
está acotada en A

Demostración:

Como
están acotadas,
también lo está.

TEOREMA: Sea
una sucesión de funciones(
), y supongamos que existe
. Si
, entonces:

existe
, y vale

Demostración:

1)Veamos que
es convergente

*

Tomando límites cuando x tiende a `a'

Luego
es de Cauchy, y por tanto convergente.

Sea

2)Hace falta demostrar que

Pues

Pues si

Dado que

COROLARIO: Si
, y
continuas
, entonces f es continua en A.

Demostración:

OBSERVACIÓN: Si
, y
continuas
, y
es discontinua, la convergencia no es uniforme.

Ejemplo:

. Función discontinua. Convergencia no uniforme

TEOREMA(Integración): Si
, y
integrables en A
, entonces la función límite es integrable en A y se verifica:

Además la convergencia del límite anterior es uniforme en A

TEOREMA(Derivación): Sea
, y
derivables en A
,
es uniformemente convergente en A, y existe a " A tal que
es convergente, entonces
es uniformemente convergente en A, la función límite es derivable y se verifica que:

• SERIES DE FUNCIONES:

DEFINICIÓN: Dada
(
), llamamos SERIE FUNCIONAL ASOCIADA a
a la sucesión de sumas parciales
, donde

Decimos que la serie es convergente(puntual o uniformemente)si lo es la sucesión de sumas parciales. En ese caso escribiremos:

Ejemplo:

Estudiar la convergencia de

Es una serie geométrica de razón
. Es convergente puntualmente si r<1, es decir, x>0, y su suma vale

TEOREMA: Si
converge uniformemente a S(x) (función suma) en A, y
continuas
, entonces S(x) es continua.

Demostración:

Y Sn(x ) es continua por ser suma de funciones continuas, con lo

que la función límite S(x) también lo es.

TEOREMA(Criterio de la Mayorante. Weiertrass): Sea
una serie de funciones (
), y
una STP. Si
, y
es convergente, entonces
es uniformemente convergente.

Demostración

Demostremos el criterio de convergencia de Cauchy para series de funciones:

Aplicandolo:

Ejemplo:

Por tanto la serie original es convergente

Vamos a intentar acotar la serie funcional derivando y hallando el máximo:

convergente, luego la original es uniformente convergente.

TEOREMA(Integración): Si
converge uniformemente en A y
integrables en A
, entonces la función suma es integrable en A y se verifica:

Además la convergencia de la serie anterior es uniforme en A

TEOREMA(Derivación): Si
derivables en A
,
es uniformemente convergente en A, y existe a " A tal que
es convergente, entonces
es uniformemente convergente en A, la función suma es derivable y se verifica que:

• SERIES DE POTENCIAS:

DEFINICIÓN: Una serie de potencias es una expresión de la forma:
. A los términos an se les llama coeficientes de la serie.

Ejemplos:

Para estudiar la convergencia puntual, fijaremos la x y la trataremos como una serie normal. Al no tratarse de una serie de términos positivos, utilizaremos la convergencia absoluta

Ejemplos:

1)

Luego bn es convergente

Por tanto la serie original es absolutamente convergente.

2)

El caso general de una serie de potencias se expresa:

. A los términos an se les llama coeficientes de la serie.

Si hacemos t=x-a la reducimos al tipo anterior.

TEOREMA:

Si
converge puntualmente en x1"0 entonces es absolutamente convergente si |x|<| x1|

Si
diverge en x1"0 entonces es divergente si |x|>| x1|

Demostración:

convergente

Por tanto
es una mayorante a partir de n0 de

es una serie geométrica de razón

Luego si
entonces
es una mayorante convergente de
, luego la original es convergente a partir de n0 y por tanto a partir de n=0. Debido a ello
es absolutamente convergente si

2)Reducción al absurdo:

Supongamos que existe
y
absolutamente convergente. Por 1) la serie seria convergente si
, luego sería convergente en
, lo que es contradictorio.

DEFINICIÓN: De lo anterior se deduce que existe
tal que
es absolutamente convergente
, y divergente si
. Si
puede ocurrir cualquier cosa. A r le llamaremos radio de convergencia de la serie de potencias.

PROPOSICIÓN: Sea
una serie de potencias con radio de convergencia r:

1)Si
entonces
, es decir:

Si
entonces
, es decir:

Demostración:

Aplicando el criterio de la raíz:

Si
si

Si
si

No solo no es absolutamente convergente, sino que es divergente: si
, luego la serie es divergente.

DEFINICIÓN: Si
tiene radio de convergencia r, llamamos intervalo de convergencia al intervalo (-r,r), y campo de convergencia al mayor intervalo en el que converge la serie. Por tanto el campo de convergencia será (-r,r), (-r,r], [-r,r) y [-r,r].

Ejemplos:

Intervalo de convergencia (-1,1)

Serie divergente
Campo de convergencia (-1,1)

Intervalo de convergencia(-1,1)

Serie armónica
Divergente

Serie armónica alternada
Convergente

Campo de convergencia (-1,1]

r=1 Intervalo de convergencia(-1,1)

Serie armónica alternada
Convergente

Serie armónica
Divergente

Campo de convergencia [-1,1)

r=1 Intervalo de convergencia(-1,1)

Convergente

Divergente

Campo de convergencia [-1,1]

DEFINICIÓN: Si
tiene radio de convergencia r>0 entonces converge uniformemente en cualquier intervalo
.

Demostración:

Sea

Si

es una mayorante de

Como
,
es convergente, y por el criterio de Weiertrasss
es absolutamente convergente

COROLARIOS:

1) Si
tiene radio de convergencia r y
entonces
es continua en (-r,r)

2) (para integrales)Si
converge uniformemente, entonces

Si
tiene radio de convergencia r entonces:

la integral tiene radio de convergencia al menos r

3) (para derivadas)Si
converge uniformemente, entonces

Demostración:

1)Veamos que
es continua en
.

Existe
.
es continua en
por ser suma de funciones continuas, luego es continua en

PROPOSICIÓN: Si
tiene radio de convergencia
, entonces:

y
también tiene radio de convergencia
.

No haremos la demostración, pero la idea es que si el radio de convergencia aumentara(Como ya hemos visto, no puede disminuir), al derivarla tendríamos una serie de radio de convergencia
, y si integramos dicha serie obtendríamos la serie original con un radio de convergencia
, lo cual es imposible, pues habría cambiado el radio de la serie original.

Por ello una serie de potencias define una función indefinidamente derivable en su intervalo de convergencia.

NOTACIÓN: Decimos que
pertenece a las funciones de clase infinita en
si y solo si
es indefinidamente derivable en
. Se representa así:

Por tanto

DEFINICIÓN: Dada una función
indefinidamente derivable en un intervalo
definimos su SERIE DE TAYLOR en
como:

Analogamente se define la SERIE DE TAYLOR en
como:

OBSERVACIÓN: ¿Qué relación hay entre
y
?

1)Si la serie no converge, no pueden ser iguales.

Ejemplo:

2)Si la serie converge, la suma puede ser distinta de
. Serán iguales si además el resto enésimo tiende a cero.

TEOREMA: Si
es indefinidamente derivable en
y
, entonces:

en

TEOREMA: Si
para un cierto
y
, podemos asegurar la convergencia y

Ejemplo:

1)

, luego es convergente en R

• SERIES DE FOURIER:

IDEA INTUITIVA: Nos proponemos escribir cualquier función periódica, de periodo en principio 2, en forma de una serie de senos y cosenos. Para ello habrá que tener en cuenta las siguientes expresiones:

Demostracion:

DEFINICIÓN: Dada una función periódica de periodo 2, definimos su SERIE DE FOURIER como :

Donde
son los llamados coeficientes de Fourier, y vienen dados por:

Demostración:

Supongamos que
. Integrando en
:

Si multiplicamos por
e integramos en el mismo intervalo:

Haciendo lo mismo con

Donde los ceros se producen porque las integrales que quedan son impares, y por tanto se anulan.

OBSERVACIÓN: Lo que haremos será estudiar funciones en el intervalo
y extenderlas(hacerlas periódicas) en

Ejemplo:

si

Como se observa en la gráfica, a medida que aumenta n, la serie de Fourier se aproxima más a la función. En la gráfica se han sumado los 10 primeros términos.

PROPOSICIÓN: Si
es periódica de periodo
, entonces se verifica que:

Demostración:

Veamos que:

Hacemos

IDEA INTUITIVA: Ahora vamos a intentar hacer la SF para funciones periodo arbitrario. Lo que vamos a hacer es usar una adaptación de las formulas de senos y cosenos:

son periódicas de periodo
, cosa que se comprueba fácilmente, aplicando la definición de periodicidad.

DEFINICIÓN: Sea
una función periódica de periodo
. Llamamos SERIE DE FOURIER de
a:

Donde
son los llamados coeficientes de Fourier, y vienen dados por:

OBSERVACIÓN: Las integrales se pueden tomar en cualquier intervalo de longitud
, como ya vimos.

DEFINICIÓN: Decimos que
es continua a trozos en un intervalo
, si es continua en
, excepto en un nº finito de puntos
y existen
y
,
(Es decir, los límites laterales) y son finitos(Es decir, si la discontinuidad es de tipo finito.)

Análogamente se define una función derivable a trozos, siendo además distintas las derivadas laterales(pues sino sería derivable en el punto.):

TEOREMA(Dirichlet): Si
es periódica y derivable a trozos, su SF converge en el punto
a
.

Por tanto, si
es continua en
, converge a
.

OBSERVACIÓN: Hasta ahora hemos estudiado el caso general de que las funciones sean cualesquiera. Pero si la función presenta simetría par o impar, los cálculos son más sencillas.

1)Sí es par:

2)Si es impar:

CALCULO(Series de senos y cosenos): Supongamos
. Queremos desarrollarla en forma de SERIE DE SENOS. Para ello consideraremos la extensión impar de
. Con ello hacemos que
sea impar. A esa nueva función la llamaremos

Lo mismo podemos hacer con la extensión par, consiguiendo así la SERIE DE COSENOS de la función, pues
se hace par. A esta función la llamaremos

En la figura la función original está en azul, la par en rojo y la impar en verde.

Haciendo las SF de las funciones que nos quedan obtendremos una expresión que converge a
en
, y a
o a
en
según corresponda.

CALCULO(Sumación de series): A menudo nos piden que hallemos la serie de senos o de cosenos de una función, y después nos piden que sumemos una serie numérica a partir de la primera. El método para hacerlo consiste basicamente en hallar una valor de x , para el cual la serie de Fourier de senos o cosenos se pueda transformar en la serie numérica que buscamos.

Ejemplo:

Sumar :

La serie de Fourier se calcula facilmente, ya que la función es par

Como la función es convergente para x=

* Véase problema nº5 de la hoja de problemas.

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