Índex

• Pròleg................................................................................................................3

• Elecció del tema i objectius...............................................................................4

• Per començar........................................................................................................5

Què és una successió?

Què és el terme d'una successió?

Què és el terme general?

Tipus de successió

Progressió aritmètica

Progressió geomètrica

• Leonardo de Pisa, Fibonacci............................................................................8

• La successió de Fibonacci.................................................................................10

Característiques que defineixen la successió

• El problema que donà lloc la successió..........................................................12

• Propietats de la successió..................................................................................14

La raó àuria

• Aparicions i aplicacions de la successió de Fibonacci i la raó àuria en.........21

...l'arquitectura

...l'art

...la poesia

...la música

...la natura

• Annex ................................................................................................................28

Recurrència

Els nombres primers

El concepte de límit

Propietats de límits utilitzades

Notació matemàtica

Mètode d'inducció

Més propietats de la successió de Fibonacci

Els rectangles auris

Esquema sobre el problema dels conills

Els primers 100 nombres de la successió

• Valoracions.......................................................................................................33

• Bibliografia........................................................................................................34

Enciclopèdies

Llibres

Adreces d'Internet

Pròleg

Per als amants de les matemàtiques crec que resulta força frustratori contemplar com, en aquesta societat suposadament alfabetitzada, acompanyen aquesta ciència connotacions de demència, excentricitat, futilesa i pèrdua de temps.

A través d'aquesta breu intrusió en conceptes matemàtics poc coneguts per a la majoria de la gent es pretén ampliar la visió que es pugui tenir d'aquesta bella ciència. Una visió un xic més objectiva, sobre com les matemàtiques no són una sèrie de conceptes teòrics i abstractes sinó una representació i, per què no?, interpretació del món de forma acurada, rigorosa i totalment objectiva.

Elecció del tema i objectius

L'elecció de la successió de Fibonacci com a tema central per al treball de recerca ha estat conseqüència de la meva passió per les matemàtiques i per la oportunitat que se m'oferia d'aprofundir, o com a mínim d'iniciar-me, en altres temes dins la matèria a més dels oferts pel centre d'ensenyament.

Fins ara no coneixia Fibonacci ni la seva successió, encara que sí havia sentit a parlar del problema que donà lloc a la successió. Tampoc coneixia en què consistia la secció àuria, que com veurem a través del treball guarda una interessant relació amb els nombres de Fibonacci i, igual que aquests, té nombroses aplicacions en nombrosos àmbits.

L'objectiu d'aquest treball es basa en principi en ampliar els meus coneixements en les matemàtiques i en adquirir l'hàbit en la metodologia de treball de la recerca i l'extracció de conclusions. Tanmateix aquesta experiència a servit també per a ampliar el punt de vista que es pot tenir del món de les matemàtiques (sovint quan hom parla de matemàtiques ho relaciona mentalment amb elements abstractes, poc pràctics i inútils a la vida) i mostrar que en elements tan propers a nosaltres com pot ser una pinya, un rusc d'abelles, una flor, un gira-sol, ..., hi tenen presència fonaments matemàtics, alhora que ens adonem de la grandesa, senzillesa i complexitat alhora, magnificència i ordre que presenta la natura.

Es tracta d'un treball d'estudi i reflexió matemàtica. Té dos eixos vertebradors .D'una banda s'ha d'estudiar l'origen de la successió i les propietats matemàtiques que presenta. Per una altra, es fa una recerca de situacions on apareix la successió, a la natura, l'apicultura, la relació amb la raó àuria, etc.

Per començar...

Haurem de respondre uns punts bàsics per a entendre la successió de Fibonacci.

Què és una successió?

És una col·lecció d'objectes o nombres que es comporten sempre complint una determinada regla, és a dir, guarden una pauta de regularitat."

Per exemple, donat el conjunt nombres:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...

observem que són els nombres senars i la pauta que segueixen és que cada nombre s'obté sumant dues unitats a l'anterior. Aquest conjunt és infinit.

Què és el terme d'una successió?

És cada un dels nombres que componen la successió*.

Segons el lloc que ocupen dins la successió, els termes es designen amb una lletra i un subíndex, que n'indica la posició.

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, ...

En la successió:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

el primer terme és 1, el segon és 1, el tercer és 2, (...), el setè és 13, i així successivament. De manera que:

a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a7 = 13, ...

Què és el terme general?

És una expressió que relaciona la posició n que ocupa el terme de la successió amb el valor que té. Es representa per an.

Mitjançant el terme general podem calcular qualsevol terme de la successió donant a n el valor del lloc que ocupa el terme.

Per exemple:

Si una successió té per terme general:

an = 3n - 1

obtenim:

a1 = 3 · 1 - 1 = 2

a2 = 3 · 2 - 1 = 5

a10 = 3 · 10 - 1 = 29

Tipus de Successió:

Progressió Aritmètica:

És una successió de nombres reals en què cada terme s'obté a partir de l'anterior sumant-li una constant d anomenada diferència.

Progressió Geomètrica:

És una successió de nombres reals en què cada terme s'obté a partir de l'anterior multiplicat per una constant r, anomenada raó.

Tanmateix hi ha un altre tipus de successió que no es pot calcular com una progressió geomètrica ni com una aritmètica. Tampoc podem trobar, en aquest tipus de successió, un terme general a partir del mateix mètode. Aquest tipus de successió és calcula per recurrència.

Aquest és el cas de la successió de Fibonacci, en què cada terme de la successió s'obté a partir de sumar els dos anteriors i, per tant, cada terme és definit pels dos anteriors, resultant difícil d'establir un terme general, ja que no hi ha cap tipus de constant que relacioni els termes. No obstant això, va haver un matemàtic que va definir el terme general de la successió com veurem més endavant.

Per a què serveix una successió?

Les successions serveixen, per exemple, per a estudiar i predir els fenòmens que ocorren en un període de temps de forma intermitent, és a dir, que apareixen separadament, com les llums d'un semàfor.

Per a la meteorologia, la importància de les successions, com les mesures de temperatura o de precipitacions, és innegable. Així com també ho és en el món de l'estadística, les previsions de mercat, l'optimització de recursos en una empresa, etc. La idea que les matemàtiques no tenen presència al món resulta del tot una mostra de manca de cultura.

Leonardo de Pisa, Fibonacci

Leonardo Pisano (1175, Pisa - 1250, Pisa) és més conegut pel nom de Fibonacci, que significa fill de Bonaccio. Fibonacci va néixer a Itàlia però es va educar a Nord Àfrica on el seu pare exercia de diplomàtic.(*Bejaia) La feina del seu pare era representar els mercaders de la República de Pisa que hi comerciaven. Va aprendre matemàtiques a (*Bejaia) i viatjava extensament amb el seu pare, coneixent els enormes avantatges dels sistemes matemàtics usats als països que visitava. Era natural, doncs, que Fibonacci aprengués els mètodes algebraics àrabs, inclòs, afortunadament, l' ús dels numerals hindú-aràbigs. Al seu llibre Liber abbaci ja descriu «les nou formes hindús» junt amb el signe 0, «zephirum» (d' on deriven precisament els mots «xifra» i «zero»). L'exposició del sistema de numeració hindú-aràbig (sistema decimal) que presenta fou molt important per al procés de transmissió, tot i que no fou l'únic. Així també, Fibonacci ja utilitzava la barra horitzontal en les fraccions, que ja s'usava anteriorment a Aràbia, però que només s'arribà a utilitzar d'un mode generalitzat al segle XVI. Fibonacci era afeccionat a tractar amb fraccions unitàries; per exemple, la fracció 98/100 es descompon en 1/100 1/50 1/5 ¼ ½ , així com també era usual que utilitzés el sistema sexagesimal; curiós fet tenint en compte que, al mateix temps, “promocionava” el sistema numèric decimal!

Fibonacci va acabar els seus viatges al voltant de l'any 1200 i tornà a Pisa. Allà va escriure un important nombre de textos que han tingut una rellevant importància pel rescat d' antics mètodes matemàtics i les seves pròpies aportacions. Sense la impremta era difícil d' obtenir còpies dels llibres. Avui encara es conserven còpies de: Liber abbaci (llibre de l' àbac) (1202), Practica geometriae (Geometria pràctica) (1220), Flos (1225), i Liber quadratum. Donades les relativament poques còpies que es van fer podem sentir-nos afortunats per tenir accés a la seva obra. No obstant això, sabem que va escriure altres textos que, per desgràcia, no s'han trobat. Com, per exemple, el seu llibre sobre l' aritmètica comercial Di minor guisa o el comentari al seu llibre sobre Euclides Elements, que contenia un tractament numèric dels nombres irracionals que Euclides va abordar amb un punt de vista geomètric.

Hom podria pensar que, en una Europa poc interessada en l' erudició, Fibonacci passés desapercebut. Tanmateix, no fou així i un difós interès en la seva obra va contribuir sens dubte, en potència, a la seva importància i difusió.

Els seus llibres contenen gran varietat de problemes, alguns dels quals provenen dels concursos matemàtics que se celebraven a la cort de l'emperador Frederic II, als que assistí com a convidat. I és precisament aquí, en un dels concursos a la cort, on sorgí el problema que donà lloc a la famosa successió que duu el seu nom.

La successió de Fibonacci

A l'època de Fibonacci eren comuns els concursos i els reptes matemàtics. Al 1225, Fibonacci va prendre part en un torneig a Pisa promogut per l'emperador Frederic II. En aquest torneig sorgí un problema que va resoldre Fibonacci, donant lloc a la famosa successió.

El problema deia així:

Certa persona posà una parella de conills en un corral rodejat completament per un mur. Quants parells de conills poden produir-se, a partir d'aquest primer parell, en un any, si se suposa que cada mes cada parella engendra un nou parell, el qual, a partir del segon mes, esdevé “productiu”?

La successió resultant és 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., ( Fibonacci va ometre el primer terme al Liber abbaci ) en què cada terme és el resultat de la suma dels dos anteriors (això és:, amb ,).

Un matemàtic, J. Binet, va descobrir el terme general de la successió. També és anomenat fórmula de Binet, en honor al seu descobridor. Aquesta és:

Aquesta successió ha resultat extremament fructífera i apareix en multitud de camps de la matemàtica i la ciència. Molts problemes esdevenen a partir d'aquesta successió i té nombroses aplicacions a la natura.

La successió ha tingut intrigats els matemàtics durant segles, en part a causa de la seva tendència a presentar-se als llocs més inhòspits, però sobre tot, perquè el més novell dels amateurs en teoria de nombres, encara que els seus coneixements no vagin molt més enllà de l'aritmètica elemental, pot aspirar a investigar-la descobrir curiosos teoremes inèdits, dels que sembla haver-hi varietat inesgotable.

Característiques que defineixen la successió

Aquesta successió és infinita, perquè té un nombre il·limitat de termes.

Aquesta successió està fitada inferiorment, ja que tots els seus termes són més grans o iguals que un nombre real k, en aquest cas és l'1. Això és: .

Aquesta successió és creixent, perquè cada terme és, clarament, superior a l'anterior. Per definició, cada terme és la suma dels dos anteriors, i no hi ha cap terme negatiu, per tant un terme sempre serà superior a qualsevol anterior. A excepció dels dos primers termes (; ) que defineixen la successió. Això és: .

Aquesta successió és divergent, perquè el límit d'aquesta tendeix a infinit. Això és:

El problema que donà lloc la successió

El problema, si recordem, deia així:

Certa persona posà una parella de conills en un corral rodejat completament per un mur. Quants parells de conills poden produir-se, a partir d'aquest primer parell, en un any, si se suposa que cada mes cada parella engendra un nou parell, el qual, a partir del segon mes, esdevé “productiu”?

Podem anomenar el primer parell de conills com a “N”, nou en el corral ( o en la successió):

Mes 0:

N Tenint així: N

El mes següent, la parella esdevé fértil o madura. L'anomenarem doncs “M”:

Mes 0: 1:

N M Tenint ara: M

El mes que segueix, els M procreen un "N" , un nou parell ( i l'orignal també segueix “viu”):

Mes 0: 1: 2:

N M M Tenint ara: MN

N

Els M del segon mes tornen a tenir descendència N, i els N esdevenen M, de manera que al tercer mes tenim:

Mes 0: 1: 2: 3:

N - M - M - M Tenint ara: MNM

\ \ N

N - M

El següent mes tindrem: MNMMN.

La forma general serà doncs:

Cada mes reemplacem cada M per MN, i cada N per M

Tenim ara una col·lecció de seqüències de parells de conills representats per M's i N's de la següent manera:

Mes: Parelles: Nombre en la successió:

0: =N 1

1: =M 1

2: =MN 2

3: =MNM 3

4: =MNMMN 5

5: =MNMMNMNM 8

... ... ...

Gràficament:

Aparicions i aplicacions de la successió de Fibonacci i la raó àuria en...

... l'arquitectura:

L'Acrópolis , al centre d'Atenes, hi ha les runes d'un antic Partheó construït com a temple a la deessa “Athena”. Encara que no es conserven els plànols originals se sap que el temple fou construït amb formes rectangulars amb costats en raó 1/"5. Aquestes són les dimensions també de la vista més ampla del temple. De la mateixa manera, l'alçat esta construït amb forma d'un “rectangle d'or”, on l'amplada és pi vegades l'alçada del temple.

Curiositat: En la xemeneia de la central elèctrica de Turku, Finlàndia, hi ha representats nombres de la successió de Fibonacci en llums de neó de dos metres d'alçària. L'artista diu que és “una metàfora de la recerca de l'home de l'ordre i l'harmonia enmig del caos”.

Curiositat: A Halifax, Nova Escòcia, hi ha quatre canals de televisió i estan numerats 3, 5, 8 i 13! Aquesta curiositat fou esmentada a la Vuitena Conferència Internacional sobre la Successió de Fibonacci i les seves Aplicacions en l'estiu del 1998.

... l'art:

Qualsevol llibre de pintura a l'oli o aquarel·la que puguis trobar en una llibreria aconsellarà que és millor col·locar els objectes no al centre de la pintura sinó a un costat o “aproximadament a un terç” del marge lateral. Això es fa més agradable a la vista i recolza la
idea que la raó d'or esdevé “ideal”.

Aquesta tècnica ja era usada pel gran mestre de la pintura Leonardo da Vinci. Observa aquesta fotografia de la seva obra L'anunciació.

En les dimensions del quadre Leonardo fa servir la raó àuria. Si mesures la fotografia veuràs com la llargada és "5 vegades l'alçada. Si marques un quadrat a l'esquerra del quadre i un altre a la dreta pots veure com la imatge queda dividida en dos rectangles de raó àuria parcialment superposats que delimiten la obra en dues imatges independents.

... la poesia:

El professor de clàssiques de la Universitat de Princeton, George Eckel Duckworth argumenta que el famós poeta romà Virgili utilitzà, conscientment, termes de la successió de Fibonacci per estructurar la seva poesia així com també ho feren altres poetes llatins de l'època. (Fibonacci and Lucas numbers, Ed. Penguin books, 1979)

... la música:

En un piano podem distingir: l'escala de 5 tons (les tecles de color negre) l'escala de 8 tons (les tecles blanques) i l'escala de 13 tons (la octava completa en semitons). Però real ment hi ha només 12 notes diferents a la nostra octava, i no tretze!

Diferents compositors han utilitzat la successió de Fibonacci a les seves composicions musicals.

És curiós també el fet que en la construcció de violins també s'utilitza la raó d'or (com en el mètode de Baginski de construcció de violins o en la posició dels forats en els famosos violins d'Stradivari).

El títol d'un article de la revista American Scientist (març-abril 1996) deia així: “Va utilitzar Mozart la raó d'or?”. En ell es feia l'anàlisi de moltes de les seves sonates i es trobà que es podien dividir en dues parts exactes a la raó d'or en gairebé tots els casos. La seva germana digué en una ocasió que a Mozart li agradava jugar amb els números i que li fascinaven les matemàtiques. No se sap, però, si era conscient en fer-ho o era intuïtiu.

...les matemàtiques:

Molt curiós la relació entre la successió de Fibonacci i el triangle de Pascal; sumant les diagonals del triangle en l'ordre indicat apareixen exactament els termes de la successió!

Si: , els nombres de la successió de fibonacci tenen l'expresió:

... ...

La successió de Fibonacci també apareix en problemes matemàtics. Aquí en presentem un:

Suposem que tenim una quantitat infinita de rajoles de mida . Hem d'enrajolar un sòl de mida . De quantes maneres diferents es pot fer?

La solució torna a ser la successió de Fibonacci.

1

2

3

4

... ...

...en la natura:

Tenim aquí una abella que entra al rusc per portar-hi mel. Suposem que, entrant indistintament per la cel·la 1 o 2, només es pot moure a una cel·la adjacent, a la dreta (això és, només a una cel·la amb un nombre superior al de la cel·la de procedència). És evident que per a anar a la primera cel·la hi ha tan sols un camí. Però per a anar a la segona té dues possibilitats: el camí directe (2) o passant per la cel·la 1 (1-2). Té tres possibilitats per a anar a la tercera cel·la: el camí 1-3, el 1-2-3 o el 2-3. Quants possibles camins té per a anar a la cel·la n ? Altra vegada la solució radica a la successió de Fibonacci.

I ja que es presenta l'ocasió, esmentar que la forma hexagonal de les cel·les d'un rusc d'abelles és un bon exemple de la presència de les matemàtiques a la natura, ja que aprofiten el màxim d'espai possible amb la mateixa quantitat de cera. Un bon exemple d'optimització de recursos!

Es pot construir l'espiral de Fibonacci, que és un tipus d'espiral logarítmica, a partir dels rectangles de Fibonacci, amb els termes de la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Comencem dibuixant dos petits quadrats de costat una unitat, que estiguin junts formant un rectangle. Aquests representen els dos primers termes, 1 i 1. El rectangle és de costat més gran 2, que servirà de costat per a un nou quadrat, de costat 2, que representarà el següent terme de la successió, 2. Ara tenim un rectangle amb un costat més gran de mida 3 unitats que servirà de catet per a un nou quadrat de 3x3. Així successivament...

Ho podem veure a través d'una imatge:

Però, què té a veure això amb la natura?

Aquesta espiral apareix, per exemple, en la formació de la closca d'alguns mol·luscs.

  

 

La successió apareix en gran quantitat de formes molt curioses a la natura. Un exemple més són les “escates” que formen les pinyes dels pins. Si contem el nombre d'espirals d'una pinya, trobarem que és sempre igual a un nombre de Fibonacci. A més, podem veure dos feixos d'espirals, un en sentit horari i l'altre al sentit contrari; són espirals logarítmiques.

El mateix passa amb les llavors d'un gira-sol.

 

A la natura hi ha altres manifestacions de la successió de Fibonacci. El darrer exemple que comentarem es basa en les ramificacions d'algunes plantes. Tanmateix, hi ha encara un gran nombre de situacions a la natura on podem veure la successió de Fibonacci, la raó àuria, i d'altres manifestacions matemàtiques.

Achillea Ptarmica.

Annex

Recurrència

Repetició, retorn periòdic

Sèrie recurrent és aquella en què cada terme és funció d'un nombre determinat de termes anteriors".

Els nombres primers

Un nombre primer és aquell que només té com a divisors ell mateix i la unitat.

Es diu que dos nombres són primers entre sí si i només si tenen com a únic divisor comú la unitat.

El concepte de límit

El límit d'una successió és l' estudi del comportament d'aquesta en termes molt grans, o molt petits; a què tendeix la successió quan s'apropa a o .

El límit és un valor b al qual tendeix la funció f(x) quan la variable x tendeix a a, de manera que per a qualsevol entorn V de b n'hi ha un altre U de a; així es compleix que qualsevol que sigui de U, f(x) pertany a V#. Notació:

; o també: quan

Notació matemàtica

Símbol: Referent:

............................... tendeix a...

.............................. límit quan x tendeix a a

.............................. funció de x

............................... infinit

Mètode d'inducció

Mètode per a demostrar la validesa d'una successió numerable de proporcions P1, P2, ..., Pn, ... que consisteix a demostrar la proposició P1 i que la validesa de Pn implica la validesa de Pn+1. És anomenat també mètode d'inducció complexa o mètode de recurrència".

Més propietats de la successió de Fibonacci

Els rectangles auris

Un rectangle auri és tal que la raó de les longituds dels seus costats és .

Per a construir

Un rectángulo áureo es aquél en el que la razón de las longitudes de sus lados es ð. Para construir un rectángulo áureo basta dibujar un cuadrado y marcar el punto medio de uno de sus lados. Si unimos este punto con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Un rectángulo áureo tiene la propiedad de que se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo de manera que este último es también un rectángulo áureo. Este nuevo rectángulo puede ser a su vez dividido en un cuadrado y un nuevo rectángulo áureo. Si iteramos este proceso indefinidamente dibujando arcos de circunferencia en los cuadrados que vamos obteniendo, se obtiene una espiral áurea cuyo centro está en la intersección de las dos diagonales dibujadas en azul.

Els primers 100 nombres de la successió de Fibonacci

n a(n)

1 : 1

2 : 1

3 : 2

4 : 3

5 : 5

6 : 8

7 : 13

8 : 21

9 : 34

10 : 55

11 : 89

12 : 144

13 : 233

14 : 377

15 : 610

16 : 987

17 : 1597

18 : 2584

19 : 4181

20 : 6765

21 : 10946

22 : 17711

23 : 28657

24 : 46368

25 : 75025

26 : 121393

27 : 196418

28 : 317811

29 : 514229

30 : 832040

31 : 1346269

32 : 2178309

33 : 3524578

34 : 5702887

35 : 9227465

36 : 14930352

37 : 24157817

38 : 39088169

39 : 63245986

40 : 102334155

41 : 165580141

42 : 267914296

43 : 433494437

44 : 701408733

45 : 1134903170

46 : 1836311903

47 : 2971215073

48 : 4807526976

49 : 7778742049

50 : 12586269025

51 : 20365011074

52 : 32951280099

53 : 53316291173

54 : 86267571272

55 : 139583862445

56 : 225851433717

57 : 365435296162

58 : 591286729879

59 : 956722026041

60 : 1548008755920

61 : 2504730781961

62 : 4052739537881

63 : 6557470319842

64 : 10610209857723

65 : 17167680177565

66 : 27777890035288

67 : 44945570212853

68 : 72723460248141

69 : 117669030460994

70 : 190392490709135

71 : 308061521170129

72 : 498454011879264

73 : 806515533049393

74 : 1304969544928657

75 : 2111485077978050

76 : 3416454622906707

77 : 5527939700884757

78 : 8944394323791464

79 : 14472334024676221

80 : 23416728348467685

81 : 37889062373143906

82 : 61305790721611591

83 : 99194853094755497

84 : 160500643816367088

85 : 259695496911122585

86 : 420196140727489673

87 : 679891637638612258

88 : 1100087778366101931

89 : 1779979416004714189

90 : 2880067194370816120

91 : 4660046610375530309

92 : 7540113804746346429

93:12200160415121876738

94:19740274219868223167

95:31940434634990099905

96:51680708854858323072

97:83621143489848422977

98:135301852344706746049

99:218922995834555119026

100:35422484817926191507

(On: a(n) = a(n-1) + a(n-2), per a

n " 3)

Valoracions

Crec que he complert amb els objectius definits per al treball. Per una banda he introduït Leonardo de Pisa , he tractat el problema que donà lloc la successió de Fibonacci, he estudiat teòricament les propietats matemàtiques de la successió, i he fet un anàlisi de la presència de la successió en diferents àmbits. El grau amb què ho he fet no tinc la potestat d'avaluar-ho. Per altra banda, he vist com s'han complert unes expectatives sobre el valor i la importància del treball de recerca en les que personalment no hi creia; he après més sobre matemàtiques, he refermat coneixements que tenia poc presents i he ampliat l'experiència en la disciplina de la recerca d'informació, sobretot el que respecta a internet.

Sobre el tema d'incidències puc esmentar els inconvenients que suposa no tenir internet a casa, o els beneficis que comporta tenir-lo, i una manca inicial d'interès personal en la confecció del treball.

Conclusions crec que no se'n poden treure en un treball sobre matemàtiques en aquests nivells. Les matemàtiques són molt objectives, són com són, no permeten interpretacions, i en el nivell d'ensenyament secundari és molt difícil, per no dir gairebé impossible, innovar en algun aspecte. Com a molt puc dir, i això sí que ho puc dir, que ha quedat plasmat que les matemàtiques ens envolten en tota classe d'àmbits, fins i tot en allò relacionat amb fonaments molt teòrics.

Bibliografia

Enciclopèdies

Salvat Català. Salvat Editores Barcelona, Primera edició, 1999

Diccionario Enciclopédico Oceiv Castell. Ediciones Castell. Barcelona, 1989

Llibres

A. Pérez Palazón i C. Wait Moya. Matemàtiques 2n. Primera edició, maig 1991. Barcelona, Editorial Casals s.a.

J. M. Arias, E. Carpintero i F. J. Sanz. Matemàtiques ESO 4. Primera edició, juliol 1996. Barcelona, Editorial Casals s.a.

Boyer Ch. Història de la Matemática. Alianza Editorial. Madrid, 1986.

Adreces d'Internet

http://www.mcs.surrey.ac.uk./Personal/R.Knott/Fibonacci htm

http:// www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/fibo_au. htm

http:// www.dma.fi.upm.es/docencia/cursosanteriores/98-99/primerciclo/ matrecreativa/juegosgeometricos/enunciados. htm

http:// www-etsi2.ugr.es/profesores/jmaroza/anecdotario/anecdotario-f. htm

http:// www.thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/31-2-o-fibo3. htm

http:// www.unesco.org.uy/red-pop/flores. htm

http:// www.milenio.heraldo.es/html/matematicas. htm

http:// www.mathsoft.com/asolve/constant/gold/gold. htm

http:// ingenieria.udea.edu.co/producciones/asdrubal_v/magia_arte_ingenieria. htm

http:// www.banrep.gov.co/blaavirtual/pregfrec/aurea. htm

http://teleline.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Sucesiones/Sucfibon.htm

http:// www.mat.usach.cl/histmat/html/fibo.html

http:// www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/fibonac.html

Fe d'errades

Lamento profundament els errors que s'han trobat en la revisió del treball que seguidament corregirem, així com aquells altres que no s'hi contemplin aquí i que hagueu pogut trobar.

• A la pàgina 6. On diu: Aquest tipus de successió és calcula per recurrència, ha de dir: Aquest tipus de successió es calcula per recurrència.

• A la pàgina 8. S'ha de suprimir on diu: (*Bejaia), i a (*Bejaia).

• A la pàgina 10. On diu: ...pot aspirar a investigar-la descobrir..., ha de dir: ...pot aspirar a investigar-la i descobrir... .

• Les pàgines 14 a 20 no estan numerades per un problema en la impressió.

• A la pàgina 16. On diu: La diferència entre un terme...,: La suma d'un terme... On diu:, ha de dir:

• A la pàgina 19. (Al dibuix) on diu: 1-x, ha de dir: 1 On diu: De manera que si donem al segment AB el valor de la unitat..., ha de dir: De manera que si donem al segment AM el valor de la unitat... .

• A la pàgina 28. on diu: , ha de dir:

• A la pàgina 29. on diu: , ha de dir: On diu: . Ha de dir: On diu: . Ha de dir: On diu: . Ha de dir:

" Extret del llibre Matemàtiques - ESO 4 .Ed. Casals, Pàg. 22-31.

" Diccionari enciclopèdic Oceiv Castell, vol. 3, pàg. 1190

# Enciclopèdia Salvat Català, vol. 10, pàg. 2305

" Enciclopèdia Salvat Català, vol. 9, pàg. 2078

L'espiral de Fibonacci s'obté unint, mitjançant arcs de circumferència, dos vèrtexs oposats dins de cada quadrat.

Pinya

Esquema d'un gira-sol

Període:

6

5

4

3

2

1

Nre. de ramificacions:

8

5

3

2

1

1

| Nou naixement de parella de conills

| Parella “madura”

| Parella anterior que segueix “viva”

Nombre de parelles cada mes: