Inequacions de primer grau:

-Una incògnita:

Definició:

És una desigualtat algebraica. Es forma de dues expressions algebraiques separades pels als casos >,<, ≤, ≥.

Les solucions s'expressen com a intervals. Per resoldre una inequació hem de fer operacions fins que deixem l'operació algebraica en un membre i en l'altre membre un zero. Es resol com si fos una equació.

Exemples:

• De l'expressió 3x < 5 es pot deduir que x < (5/3). Només cal dividir els dos membres entre 3 (que és positiu).

• L'inequació 3x - (6-x) > 4 (x -5) s'eliminen parèntesis i denominadors:

5

15x - 5 (6 - x) > 4(x - 5) 15x - 30 + 5x > 4x - 20 es transposen termes:

15x + 5x - 4x > -20 + 30 16x > 10 aïllem la incògnita:

x > 10/16 x > 5/8 l'interval : (5/8, + ∞ ).

Exercicis proposats:

• Resol la següent inequació:
  

• Resol la següent inequació:
  

-Dues incògnites:

Definició:

    Si a, b i c son nombres reals, qualsevol d'aquestes expressions l'anomenem inequació amb dues incògnites.

ax + by < c     ax + b > c     ax + by > c     ax + by ≥ c

    On x i y són les variables o incògnites, i a, b i c són constants.

Una equació de la forma ax + by = c representa una recta en el pla (equació general de la recta en el pla), així, doncs, cadascuna de les inequacions anteriors representa un dels dos semiplans en què la recta divideix el pla (amb la mateixa recta inclosa si la desigualtat no és estricta).

Exemples:

Representen gràficament les solucions de dues inequacions.

   En el primer cas, la recta forma part de la solució.

En el segon cas la recta no forma part de la solució

(és el contrari que la primera)

Exercicis proposats:

• A=punt(1,0); B=punt(2,2); C=punt(-3,4)

• A=punt(0,1) ; B=punt(5,5) ; C= punt(4,-3)

Sistemes d'inequacions de primer grau:

-Una incògnita:

Definició:

Un sistema d'inequacions consisteix en un col·lectiu d'inequacions del que desitgem extreure un resultat vàlid i comú.

Per aconseguir-ne una solució, resolem independentment les inequacions i a posteriori seleccionem els resultats comuns.

Exemple:

x - 3 ≤ 1

2x + 4 > 2 x - 3 ≤ 1 2x > -2

x ≤ 4 x > -1

6x + 12 > 6

3x - 9 ≤ 3 6x > -6 3x ≤ 12

x > -1 x ≤ 4

Exercicis proposats:

• 5x - 7 < 8

x + 8 > 16

• 6x + 9 > 5

9x - 1 < 4

-Dues incògnites:

Definició:

La solució d'un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites és el conjunt de les solucions comunes a totes les inequacions que el constitueixen.
En el cas de sistemes amb dues incògnites, resulta molt útil la representació gràfica.

Exemple:
   

Considerem el següent sistema d'inequacions lineals:

Per obtenir els punts, les coordenades dels quals són solució del sistema, representarem gràficament cadascuna de les solucions de les inequacions per separat. Així, la intersecció dels tres plans ens donarà la solució buscada.

El semiplà solució de cadascuna de les inequacions per separat s'acostuma a indicar amb una fletxa, al costat de la recta corresponent.

• Només disposen de 10 quilos de plàstic. Això vol dir que si fabriquen x Baby Moquets Dia, gastaran 100x grams de plàstic. Igualment, si fabriquen y Baby Moquets Nit, gastaran 200y grams de plàstic. Com que en total no poden utilitzar més de 10 quilos, s'ha de complir: 100x + 200y ≤ 10.000

Arribem a les següents inequacions:1,25x + y ≤ 100
y ≤ 40

Cal comentar també, que x i y han de ser sempre positives o zero (no es pot fabricar un nombre negatiu de nines). x ≥ 0 y ≥ 0 .Aquestes cinc inequacions estan solucionades en el gràfic següent:

Exercicis proposats:

6x + 4x ≥ 6

4x+6y ≥ 12

2x - 2y ≤ 2

2x + x ≤ 3

3x + 3y ≥ 4

4x - 6y ≤ 4