ÍNDEX:

PÀGINA

1.- Introducció 2

2.- Aritmètica binària 3

3.- Sistemes de representació de nombres a les computadores 4

· Binari pur o punt fix sense signe 5

· Punt fix amb signe o signe magnitud (MS) 5

· Complement a 1 (C1) 5

· Complement a 2 (C2) 6

· Excés a X 6

· Coma flotant 6

· Decimal (BCD) : 7

· Empaquetat 7

· Desempaquetat 8

Quadre d'exemples 9

Com saber quin número és en cada tipus de representació

un número escrit en binari o al revés?

Exemples extesos 13

4.- Canviar de signe 15

5.- Canvis de sistema de numeració 16

6.- Esquema Conversions diferents sistemes de numeració 20

1.- Introducció

L'ordinador representa la informació amb bits, i aquests poden ser 0 o 1. Un conjunt de 0 i/o 1 formen un byte. Normalment, un byte està format per 8 bits.

Ex.: 00010111 Això és un byte

10010100 Això és un altre byte

El bit 1 indica que està encès, i el 0 que està apagat.

Els bits es numeren de dreta a esquerra.

Ex.: 0 0 0 1 0 1 1 1

Número de bit 7 6 5 4 3 2 1 0

Les computadores treballen amb base 2 que és el sistema de numeració anomenat binari.

Qualsevol número es pot representar amb binari, tot depenent de les posicions que ocupin els 0 i 1 dins el byte.

Per poder representar un número decimal en binari, s'ha de tenir en compte que cada dígit binari representa la xifra 2 elevat a la potència que ocupi la posició del bit. Res millor que un exemple.

Ex.: 0 0 0 1 0 1 1 1

Posició 7 6 5 4 3 2 1 0

Valor 27 26 25 24 23 22 21 20

Per saber quin número decimal representa un número en binari, cal substituir cada bit engegat (1) pel seu valor en base 2.

Ex.: 0 0 0 1 0 1 1 1

Valor 24 22 21 20 Això és el mateix que dir...

Valor 16 4 2 1

...el resultat final és la suma dels valors, o sigui : 16 + 4 + 2 + 1 = 23

Ex.: 0011000 = 24 + 23 = 16 + 8 = 24

Per saber com es representa en binari un número decimal, cal anar dividint el número decimal per 2 i invertir els restos de la divisió.

Ex.: 24 2

0

12 2

0

6 2

0

3 2

1

1

...........Els restos de la divisió són : 00011, i si els invertim són: 11000, ara omplim els espais que queden a l'esquerra dels uns fins a que formi un grup de 8 bits 0011000 i ja tenim el número 24 representat en binari.

D'altres conversions de sistemes s'expliquen a l'apartat 3.

EXEMPLES APARTAT 1

Número a representar	Decimal	Binari
24	24	00011000
65	65	01000001
42	42	00101010
0	0	00000000
128	128	10000000
255	255	11111111

2.- Aritmètica binària

Les operacions bàsiques que es poden fer són la suma i la resta. Mitjançant la combinació de sumes i/o restes, podem fer la resta d'operacions matemàtiques.

Sumes :

Els nombres binaris se sumen segons aquest model:

1

+ 0 + 0 + 1 + 1

0 1 1 1

0 1 10 11

D'aquesta manera, si sumem dos 1 o bé tres 1, ens sobra un 1 que se sumarà a la propera xifra de l'esquerra com a les sumes normals.

Ex.: 01000001 (65)

+ 00101010 (42)

01101011 (107)

Per a les operacions amb negatius cal fer complement a 2 (veure Canviar de Signe).

Restes :

Els nombres en binari pur es resten com si fos una resta normal però, quan a dalt hi ha un 0 i abaix un 1, el 0 es converteix en 2 tot convertint el 1 més proper de l'esquerra en un 0. D'aquesta manera, podem fer la resta 2 - 1 = 1.

Ex.: 00000101 (5) Això és com escriure 00000021 fixeu-vos que l'1 de l'es

- 00000011 (3) querra del 0 passa a ser 0 i que el 0 passa a ser un 2.

00000010 (2)

En el cas que hi hagi dos zeros seguits, s'ha d'anar a buscar l'u més proper de l'esquerra i deixar-lo a zero per treure-li un 2. 2 2

Ex.: 01010101 (85) És com fer : 0 1 0 1 0 1 0 1 de manera que

- 00000110 (6) quedi : 0 1 0 0 2 0 2 1 per poder tornar a fer la ma-

01001111 (79) 2

teixa operació : 0 1 0 0 2 0 2 1 i així quedarà

preparat per restar-lo : 0 1 0 0 1 2 2 1

Cal remarcar que, qualsevol número 1 que li robem un 2, es converteix en 0 i que qualsevol 2 que li robem un 2 es converteix en 1.

Per a les operacions amb negatius cal fer complement a 2 (veure Canviar de Signe).

Multiplicacions :

Els nombres binaris es multipliquen com els nombres normals, o sigui cada xifra per cada xifra.

Ex.: 00000111 (7)

x 00000101 (5)

00000111

+ 00000000

00000111

00100011 (35)

Per a negatius es passa a positiu fent el complement a 2 (veure Canviar de Signe) i després es posa amb el signe que correspongui al final de l'operació.

Divisions :

Els nombres binaris es divideixen com el normals.

Ex.: (66) 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 (6) a) Primer fem 1 x 110 = 110 i ho restem de

- 1 1 0 1 0 1 1 (11) 1000010. Això dóna 010

0 1 0 0 b) Després baixem una xifra, en aquest cas el 0.

- 0 0 0 c) Ara fem 0 x 110 = 000 i ho restem de 0100.

Això dóna 100

1 0 0 1 d) Baixem una xifra, en aquest cas, l'1

- 1 1 0 e) Ara fem 1 x 110 = 110 i ho restem de 1001.

0 1 1 0 Això dóna 011. Baixem una xifra. El 0.

- 1 1 0 f) Ara fem 1 x 110 = 110 i ho restem de 0110.

0 0 0 h) I ja tenim el resultat, que (en aquest cas) és

exacte.

Per a negatius es passa a positiu fent el complement a 2 (veure Canviar de Signe) i després es posa amb el signe que correspongui al final de l'operació.

3.- Sistemes de representació de nombres a les computadores

Degut a les diferents arquitectures internes dels ordinadors i les seves necessitats de representació numèrica i càlcul, hi ha diferents maneres de representar les quantitats. Aquests són:

· Binari pur o punt fix sense signe

· Punt fix amb signe o signe magnitud (MS)

- Per a nombres enters · Complement a 1 (C1)

· Complement a 2 (C2)

· Excés a X

- Per a nombres amb coma flotant Coma flotant

· Empaquetat

- Per a nombres amb coma Decimal

· Desempaquetat

* Considerem que en qualsevol cas, la n representa el nombre de bits (normalment, 8).

* S'anomena “Mòdul” a la part del byte que ens indica el número a representar. Les demés parts del byte (normalment el “Signe”) ens indiquen si és un número positiu o negatiu. Sabrem si un byte és positiu o negatiu segons si el seu bit més significatiu (el de l'esquerra) és 0 per a positiu o 1 per a negatiu, excepte en binari pur que no hi ha signe.

En general serà (per exemple):

Un número negatiu 1 0 0 1 0 1 1 0 (-30)

En aquest cas, “n-1” serà : 8-1 = 7

perquè és un byte de 8 bits

Signe Mòdul

El mateix número

Però en positiu 0 0 0 1 0 1 1 0 (+30)

En aquest cas, “n-1” serà : 8-1 = 7

perquè és un byte de 8 bits

Signe Mòdul

• Binari pur o punt fix sense signe

La mateixa denominació ja ens indica que és l'única representació numèrica que no té signe. Això vol dir que fa servir tots els bits disponibles per representar els números.

Mòdul

El seu rang de representació és [0, 2n - 1] i això vol dir que si (per exemple) fos una paraula de 8 bits, el seu rang seria des de 0 fins 28 -1 (255). Com a molt, es pot representar el número 11111111 que és el mateix que 1x27 + 1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 que és el mateix que 128+64+32+16+8+4+2+1 i això és igual a 255. Com que 2n = 256 i el seu rang de representació és 256-1, no cal fer totes les sumes abans indicades senzillament serà 256 - 1 = 255. A més del 255, cal recordar que també es pot representar el número zero (00000000). O sigui, en total es poden representar 256 números.

Pot representar nombres Enters positius.

• Punt fix amb signe o signe magnitud (MS)

És com el binari pur però amb el bit més significatiu (el de l'esquerra) per a representar el signe del número.

Signe Mòdul (en binari pur)

El seu rang de representació és [-2n-1 + 1, 2n-1 - 1] i això vol dir que si (per exemple) fos una paraula de 8 bits, el seu rang seria des de -28-1 +1 (-127) fins 28-1 -1 (127). Com a molt, es pot representar el número 11111111 en negatiu i el 01111111 en positiu que és el mateix que dir “signe(0/1)”+1111111 i això és (1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20) que és el mateix que 64+32+16+8+4+2+1 i això és igual a 128. En el cas del negatiu serà -128+1 = -127 i en el positiu, 128-1 = 127. En aquest tipus de representació, el número 0 ens queda incorrecte, degut que el byte 10000000 és el 0 negatiu i el byte 00000000 és el 0 positiu.

Pot representar nombres Enters positius i negatius.

• Complement a 1 (C1)

És com el binari pur per als números positius però el bit de signe (el més significatiu) no és representatiu de cap valor. En els negatius, el que es fa és invertir el valor de cada bit excepte el de signe, o sigui, els 1 passen a ser 0 i els 0 passen a ser 1.

Signe Mòdul (en binari pur)

El seu rang de representació és [-2n-1 + 1, 2n-1 - 1] i això vol dir que si (per exemple) fos una paraula de 8 bits, el seu rang seria des de -28-1 +1 (-127) fins 28-1 -1 (127). Com a molt, es pot representar el número 11111111 en negatiu i el 01111111 en positiu que és el mateix que dir “signe(0/1)”+1111111 i això és (1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20) que és el mateix que 64+32+16+8+4+2+1 i això és igual a 128. En el cas del negatiu serà -128+1 = -127 i en el positiu, 128-1 = 127. En aquest tipus de representació, el número 0 ens queda incorrecte, degut que el byte 11111111 és el 0 negatiu i el byte 00000000 és el 0 positiu.

Pot representar nombres Enters positius i negatius.

• Complement a 2 (C2)

És com el binari pur per als números positius però el bit de signe (el més significatiu) no és representatiu de cap valor. En els negatius, el que es fa és invertir el valor de cada bit excepte el de signe, o sigui, els 1 passen a ser 0 i els 0 passen a ser 1 i a més, se li suma un 1.

Signe Mòdul (en binari pur)

El seu rang de representació és [-2n-1, 2n-1 - 1] i això vol dir que si (per exemple) fos una paraula de 8 bits, el seu rang seria des de -28-1 (-128) fins 28-1 -1 (127). Com a molt, es pot representar el número 10000000 en negatiu i el 01111111 en positiu que és el mateix que dir 01111111 i això és (1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20) que és el mateix que 64+32+16+8+4+2+1 i això és igual a 128. En el cas del positiu serà 128-1 = 127. El negatiu es fa bescanviant els signes del byte, que en el supòsit 10000000 seria 01111111 i, a més, se li afegeix un 1 quedant: 10000000 i aquest número és el, 128 = -128.

Pot representar nombres Enters positius i negatius.

• Excés a X

Aquesta representació no té espai per al signe. Això vol dir que fa servir tots els bits disponibles per representar els números. És fa com el binari pur. Normalment la X és un 2, o sigui que és Excés a 2.

La utilitat d'aquest sistema és per representar els exponents per a la representació de nombres en coma flotant (veure pròxim apartat: Coma flotant)

Mòdul (en binari pur)

El seu rang de representació és [-2n-1, 2n-1 - 1] . Tot es fa com en binari pur. Cal recordar, però, que es fa sumant “l'exponent” a “l'excés”. Tant la “base” com “l'excés”, sempre venen donats pel fabricant de la màquina. En cas que no sigui així, el nombre serà el número a representar + l'excés (normalment és 2n-1 = 128). En el supòsit que volguéssim representar el número 00010110 (30) en excés a 2 seria : primer es passa a nombre amb decimals, o sigui, 0,00010110 x 2(excés)10 a partir d'aquí és on es fa l'operació. Ara sabem que la “l'exponent” és 10 i que “l'excés” és 2n-1 = 128 = 10000000. Ara solament manca sumar l'exponent i l'excés, i això seria 00001010 + 10000000 = 10001010. D'aquesta manera ja sabem l'excés 2 del número 30.

Pot representar nombres enters positius i negatius.

• Coma flotant

Serveix per a representar nombres Reals i Enters amb un “major grau de representació” que si es representessin en punt fix però la precissió de representació dels nombres és menor.

Primerament cal aclarir tres definicions :

Mantissa : És com si fos el Mòdul. Mantissa o magnitud és un nombre representat en binari i amb el punt decimal a l'esquerra d'aquest. O sigui, la mantissa del número 00010110 és 0,00010110. Es representa en MS, C1 o C2.

Base : S'anomena base d'exponentació o ràdix al número que multiplicarà la mantissa per donar el número original. Normalment és 2, però pot ser : 8, 16, etc.

Exponent : S'anomena exponent o característica a l'exponent al qual s'eleva la base d'exponentació per la qual s'ha de mutiplicar la mantissa. Es representa en MS o bé en Excés a 2.

En el cas del número 30 seria :

30 en binari és 00010110. Això és el mateix que 0,00010110 x 210 . Per tant, la Mantissa és 0,00010110, la Base és 2 i l'Exponent és 10. La Base i l'Exponent es posen en Excés a 2 = Excés (2n-1 = 128 = 10000000) + Exponent (10 = 00001010) = 10001010

Exponent (excés a 2) Signe Mantissa (binari pur)

Pot representar nombres enters positius i negatius.

• Decimal (BCD)

Els nombres en BCD (decimal codificat en binari) necessiten 4 o 8 bits per representar cada xifra en decimal, la qual cosa vol dir que els únics números i/o símbols que es poden representar són :

Xifra decimal	BCD Empaquetat 4 bits	BCD Desempaquetat 8 bits
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001	00000000 00000001 00000010 00000011 00000100 00000101 00000110 00000111 00001000 00001001
Símbol
+ - , Espai buit	1100 1101 1110 1111	XXXX1100 XXXX1101 1110XXXX 1111XXXX

· Decimal (BCD) empaquetat

Cada xifra decimal ocupa mitja paraula, normalment, 4 bits (tot i que els bytes són de 8 bits cada un) excepte el primer byte de la dreta que en els 4 bits de la dreta duu el signe representat per la lletra C = 1100 en el cas dels números positius i D = 1101 pels negatius. Així mateix, la coma es representa per la lletra E = 1110. En cas que s'hagi d'acabar d'omplir el byte per l'esquerra, es fa amb zeros.

Cada xifra (excepte les unitats) es representaria així:

Mòdul (en binari pur) Mòdul (en binari pur)

...i la xifra de les unitats, és la que expressa el signe en els seus 4 bits de la dreta. Les unitats es representen així:

Mòdul (en binari pur) Signe

Si, per exemple, es vol representar un número positiu d'una xifra (3), es fa posant el número 3 en binari = 0011 i, com que manquen 4 bits per aconsseguir un byte de 8 bits, s'utilitzen per a posar-hi el signe. De manera que queda així : 0011 (per representar el 3) i 1100 (per representar el positiu) = 0011 1100 (8 bits)

Si, per exemple, es vol representar un número positiu de dues xifres (-35), es fa posant el número 3 en binari = 0011, el 5 en binari = 0101 i el signe negatiu en binari = 1101. Tot plegat quedarà : 0011 0101 1101 El que passa és que si ho deixem així, tenim un byte (8 bits) i mig, la qual cosa fa tornar boig a qualsevol processador que treballi amb paraules de 8 bits. Per solucionar aquest tema, el que es fa és omplir amb 4 zeros l'esquerra del número, o sigui que ens queda 0000 0011 0101 1101 i ja està.

El millor és posar diversos exemples:

Xifra decimal	BCD Empaquetat (4 bits)	També es representa com :
0 3 -3 35 -35 125 -125 3746 -3746	0000 1100 0011 1100 0011 1101 0000 0011 0101 1100 0000 0011 0101 1101 0001 0010 0101 1100 0001 0010 0101 1101 0000 0011 0111 0100 0110 1100 0000 0011 0111 0100 0110 1101	0C 3C 3D 35C 035D 125C 125D 3746C 3746D

El seu rang de representació és tots els nombres Enters o Fraccionaris positius i negatius.

· Decimal (BCD) desempaquetat

Cada xifra decimal ocupa una paraula, normalment 8 bits (un byte), excepte el primer byte de la dreta que en els 4 bits de la dreta duu el signe representat per la lletra C = 1100 en el cas dels números positius i D = 1101 pels negatius. Així mateix, la coma es representa per la lletra E = 1110. En cas que s'hagi d'acabar d'omplir el byte per l'esquerra, es fa amb zeros.

Cada xifra (excepte les unitats) es representaria així:

Sempre és així Mòdul (en binari pur)

...i la xifra de les unitats, és la que expressa el signe en els seus 4 bits de la dreta. Les unitats es representen així:

Mòdul (en binari pur) Signe

Si, per exemple, es vol representar un número positiu d'una xifra (3), es fa posant el número 3 en binari = 0011 i, com que manquen 4 bits per aconsseguir un byte de 8 bits, s'utilitzen per a posar-hi el signe. De manera que queda així : 0011 (per representar el 3) i 1100 (per representar el positiu) = 0011 1100 (8 bits)

Si, per exemple, es vol representar un número positiu de dues xifres (-35), es fa posant el número 3 en binari = 0011 i s'hi afegeix 1111 per l'esquerra = 1111 0011, el 5 en binari = 0101 i s'hi afegeix el signe negatiu en binari = 1101 per la dreta = 0101 1101. Tot plegat quedarà : 111 0011 0101 1101.

El millor és posar diversos exemples:

Xifra decimal	BCD desempaquetat (8 bits)	També es representa com :
0 3 -3 35 -35 125 -125 3746 -3746	0000 1100 0011 1100 0011 1101 1111 0011 0101 1100 1111 0011 0101 1101 1111 0001 1111 0010 0101 1100 1111 0001 1111 0010 0101 1101 1111 0011 1111 0111 1111 0100 0110 1100 1111 0011 1111 0111 1111 0100 0110 1101	C0 C3 D3 F3C5 F3D5 F1F2C5 F1F2D5 F3F7F4C6 F3F7F4D6

El seu rang de representació és tots els nombres Enters o Fraccionaris positius i negatius.

Un nombre amb decimals fet en BCD, es faria afegint la coma (1110):

Xifra decimal	BCD empaquetat (4 bits)
78,5 789,67 326,544 -35,02	0000 0111 1000 1110 0101 1100 0000 0111 1000 1001 1110 0110 0111 1100 0011 0010 0110 1110 0101 0100 0100 1100 0011 0101 1110 0000 0010 1101
Xifra decimal	BCD desempaquetat (8 bits)
78,5 789,67 326,544 -35,02	1111 0111 1111 1000 1111 1110 1111 0101 1111 1100 1111 0111 1111 1000 1111 1001 1111 1110 1111 0110 1111 0111 1111 1100 1111 0011 1111 0010 1111 0110 1111 1110 1111 0101 1111 0100 1111 0100 1111 1100 1111 0011 1111 0101 1111 1110 1111 0000 1111 0010 1111 1101
Xifra decimal		En empaquetat	En desempaquetat
78,5 789,67 326,544 -35,02		78E67C 789E67C 326E544C 35E02D	F7F8E6C7 F7F8F9E6C7 F3F2F6E5F4C4 F3E5F0D2

Pot representar nombres positius, negatius i/o amb coma.

• Quadre d'exemples

Aquest apartat és per exemplificar diferents tipus de representació numèrica. Després del quadre, hi ha una explicació del procediment per a passar de binari a qualsevol sistema.

Suposant bytes de 5 bits. Quin número representaria en cada sistema?

Representació	Binari pur	Signe magnitud (MS)	Complement a 1 (C1)	Complement a 2 (C2)	Excés 16
11111	31	-15	-0	-1	15
11110	30	-14	-1	-2	14
11101	29	-13	-2	-3	13
11100	28	-12	-3	-4	12
11011	27	-11	-4	-5	11
11010	26	-10	-5	-6	10
11001	25	-9	-6	-7	9
11000	24	-8	-7	-8	8
10111	23	-7	-8	-9	7
10110	22	-6	-9	-10	6
10101	21	-5	-10	-11	5
10100	20	-4	-11	-12	4
10011	19	-3	-12	-13	3
10010	18	-2	-13	-14	2
10001	17	-1	-14	-15	1
10000	16	-0	-15	-16	0
01111	15	15	15	15	-1
01110	14	14	14	14	-2
01101	13	13	13	13	-3
01100	12	12	12	12	-4
01011	11	11	11	11	-5
01010	10	10	10	10	-6
01001	9	9	9	9	-7
01000	8	8	8	8	-8
00111	7	7	7	7	-9
00110	6	6	6	6	-10
00101	5	5	5	5	-11
00100	4	4	4	4	-12
00011	3	3	3	3	-13
00010	2	2	2	2	-14
00001	1	1	1	1	-15
00000	0	0	0	0	-16

Com es fa la conversió del quadre anterior, o bé, Com saber quin número és en cada tipus de representació un número escrit en binari?

-DE BINARI A Binari pur:

Ex.: 1 0 1 1 1 Quin nombre representa en binari pur ?

1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23

-DE BINARI A Signe magnitud (MS):

Ex.: 1 0 1 1 1 (23) Quin nombre representa en signe magnitud ?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ens indica el signe (en aquest cas, negatiu).

Signe negatiu (0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20) = - (0 + 4 + 2 + 1) = - 7

Ex.: 0 0 1 1 1 (7) Quin nombre representa en signe magnitud ?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ens indica el signe (en aquest cas, positiu).

Signe positiu (0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20) = (0 + 4 + 2 + 1) = 7

-DE BINARI A Complement a 1 (C1):

Ex.: 0 0 1 1 1 (7) Quin nombre representa en complement a 1 ?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ens indica el signe (en aquest cas, positiu).

0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 0 + 4 + 2 + 1 = 7

Ex.: 1 0 1 1 1 (23) Quin nombre representa en complement a 1 ?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ens indica el signe (en aquest cas, negatiu). Ara invertim tots els bits excepte el del signe. O sigui, 11000

Signe negatiu (1x23 + 0x22 + 0x21 + 0x20) = - (8 + 0 + 0 + 0) = - 8

-DE BINARI A Complement a 2 (C2):

Ex.: 0 0 1 1 1 (7) Quin nombre representa en complement a 2 ?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ens indica el signe (en aquest cas, positiu).

0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 0 + 4 + 2 + 1 = 7

Ex.: 1 0 1 1 1 (23) Quin nombre representa en complement a 2 ?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ens indica el signe (en aquest cas, negatiu). Ara invertim tots els bits excepte el del signe i li sumem 1. O sigui, 11000+1 = 11001

Signe negatiu (1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20) = - (8 + 0 + 0 + 1) = - 9

-DE BINARI A Excés 16:

S'ha de restar l'excés a el nombre en binari.

Ex.: 1 0 1 1 1 (23) Quin nombre representa en excés 16 ?

+1 0 0 0 0 (-16) Cal convertir primer el 16 en -16, o sigui, fer el complement a

dos del 16 10000 = 11111 + 1 = 10000 (-16). Recordeu

0 0 1 1 1 (7) que el bit del signe no es compta.

La cosa es complica amb els números negatius.

Ex.: 0 0 1 0 1 (5) Quin nombre representa en excés 16 ?

+1 0 0 0 0 (-16)

1 0 1 0 1 (-11) S'ha de complementar a 2 per saber quin número representa ja que és negatiu. I això es fa :

1 0 1 0 1 = 1 1 0 1 0 + 1 = 1 1 0 1 1 (11). Recordeu que el bit del signe no es compta.

Ara fem un quadre per veure com es representen els mateixos números decimals en els diferents sistemes de representació.

Suposant bytes de 5 bits. Com seria un número decimal en cada sistema?

Número a representar	Binari pur	Signe magnitud (MS)	Complement a 1 (C1)	Complement a 2 (C2)	Excés 16
16	10000	-----	-----	-----	-----
15	01111	01111	01111	01111	11111
14	01110	01110	01110	01110	11110
13	01101	01101	01101	01101	11101
12	01100	01100	01100	01100	11100
11	01011	01011	01011	01011	11011
10	01010	01010	01010	01010	11010
9	01001	01001	01001	01001	11001
8	01000	01000	01000	01000	11000
7	00111	00111	00111	00111	10111
6	00110	00110	00110	00110	10110
5	00101	00101	00101	00101	10101
4	00100	00100	00100	00100	10100
3	00011	00011	00011	00011	10011
2	00010	00010	00010	00010	10010
1	00001	00001	00001	00001	10001
0	00000	00000	00000	00000	10000
-1	-----	10001	11110	11111	01111
-2	-----	10010	11101	11110	01110
-3	-----	10011	11100	11101	01101
-4	-----	10100	11011	11100	01100
-5	-----	10101	11010	11011	01011
-6	-----	10110	11001	11010	01010
-7	-----	10111	11000	11001	01001
-8	-----	11000	10111	11000	01000
-9	-----	11001	10110	10111	00111
-10	-----	11010	10101	10110	00110
-11	-----	11011	10100	10101	00101
-12	-----	11100	10011	10100	00100
-13	-----	11101	10010	10011	00011
-14	-----	11110	10001	10010	00010
-15	-----	11111	10000	10001	00001
-16	-----	-----	-----	10000	00000

Com es fa la conversió del quadre anterior, o bé, Com saber com es representa un número en cada sistema (suposant bytes de 5 bits)?

-DE DECIMAL A Binari pur:

Ex.: Com es representa el número 9 en binari pur? (Veure apartat 1.- Introducció)

El número 9 és el mateix que dir: 23 + 20 = 8 + 1 = 9. Per tant serà : 0 1 0 0 1 perquè

això vol dir: 0x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 9

-DE DECIMAL A Signe magnitud (MS):

Ex.: Com es representa el número 9 en Signe Magnitud?

Per a els nombres positius, es igual que en Binari pur, o sigui que serà 0 1 0 0 1.

Ex.: Com es representa el número -9 en Signe Magnitud?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ha d'indicar el signe (en aquest

cas, negatiu). Per això, si en positiu és 01001, en negatiu serà igual però amb el bit de

signe en posició encès, o sigui 1.

D'aquesta manera queda que el -9 es representa com a 1 1 0 0 1

-DE DECIMAL A Complement a 1 (C1):

Ex.: Com es representa el número 9 en Complement a 1?

Per a els nombres positius, es igual que en Binari pur, o sigui que serà 0 1 0 0 1.

Ex.: Com es representa el número -9 en Complement a 1?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ha d'indicar el signe (en aquest

cas, negatiu) i per això, aquest bit no s'utilitza per a representar cap quantitat.

El que es fa per a representar números negatius en C1 és invertir el valor de cada bit

excepte el del signe. Per això, si en positiu és 01001, en negatiu serà igual però amb el

bit de signe en posició encès, o sigui 1 = 11001, i a més, cal invertir la resta de bits, de

manera que quedarà 1 0 1 1 0.

-DE DECIMAL A Complement a 2 (C2):

Ex.: Com es representa el número 9 en Complement a 2?

Per a els nombres positius, es igual que en Binari pur, o sigui que serà 0 1 0 0 1.

Ex.: Com es representa el número -9 en Complement a 2?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ha d'indicar el signe (en aquest

cas, negatiu) i per això, aquest bit no s'utilitza per a representar cap quantitat.

El que es fa per a representar números negatius en C2 és invertir el valor de cada bit

excepte el del signe i sumar-hi un 1. Per això, si en positiu és 01001, en negatiu serà

igual però amb el bit de signe en posició encès, o sigui 1 = 11001, ara cal invertir la

resta de bits, de manera que quedarà 10110 i (finalment) sumar-hi un 1, o sigui : 10110

+ 1 = 1 0 1 1 1.

-DE DECIMAL A Excés 16:

Ex.: Com es representa el número 9 en Excés 16?

El que cal fer és sumar-hi el número 16 en binari pur a el número 9 en binari pur.

0 1 0 0 1 (és el 9 en binari pur)

+ 1 0 0 0 0 (és el 16 en binari pur)

1 1 0 0 1

Ex.: Com es representa el número -9 en Excés 16?

Cal recordar que el bit més significatiu (el de l'esquerra) ha d'indicar el signe (en aquest

cas, negatiu) i per això, aquest bit no s'utilitza per a representar cap quantitat.

El que es fa per a representar números negatius és complementar-los a 2 (veure DE

DECIMAL A Complement a 2) de manera que quedarà 1 0 1 1 1 i seguidament, sumar-hi el 16 en binari pur i ens queda 0 0 1 1 1. Vegem-ho :

1 0 1 1 1 (número -9 en C2)

+ 1 0 0 0 0 (número 16 en binari pur)

1 0 0 1 1 1 (el 1 de l'esquerra del tot, provoca desbordament, o sigui que no es té

en compta).

• Exemples extesos

EXEMPLE PER A NOMBRES AMB COMA FLOTANT

El millor és un parell d'exemples.

1.-

Un ordinador té paraules de 32 bits i representa els nombres reals en punt flotant de la manera següent:

· Cada nombre en punt flotant ocupa una paraula.

· Al primer byte hi ha l'exponent d'una base 2 representat en excés 128.

· Els altres tres bytes estan ocupats per la mantissa representada en signe-magnitud, fraccionària, normalitzada i amb el punt binari a l'esquerra del bit més significatiu (és a dir, de la forma 0.1...).

Representeu en el format esmentat el número 625

La solució seria :

Plantejem tots els passos i després muntem el número sencer.

PASSOS :

1.- Escriure 625 en binari pur => 1001110001

2.- Escrit en forma exponencial és => 0.1001110001 x 210

3.- El signe del número 625 és positiu, o sigui => 0

4.- Segons l'enunciat, el primer byte hi ha l'exponent d'una base 2 representat en excés 128. Això vol dir que hem de fer l'operació Excés a 2, i això es fa: primer hem d'escriure l'excés (128) en binari => 10000000 i després sumar-li l'exponent (10) => 00001010. Si fem aquesta operació 10000000 + 00001010 ens dona => 10001010 i d'aquesta manera ja tenim el que s'anomena Exponent (mireu la solució).

5.- El Signe es representa igual que en qualsevol sistema binari, o sigui, a l'esquerra del byte, que en aquest cas l'anomenem Magnitud (mireu la solució fixanvos que els bits ocupats per la Magnitud són 23 i no pas 24 ja que l'últim és el Signe).

6.- La Magnitud és el número 0.1001110001 (explicat al punt 2) però sense el 0 de l'esquerra. A més, manquen espais a la dreta per arribar a fer els tres bytes ocupats per la Mantissa que diu l'enunciat. Per tant, el número serà => 1001110 00100000 00000000.

Si ajuntem tots els passos que hem fet, ens queda de la següent manera:

Exponent Signe Magnitud o Mantissa (és el mateix)

10001010 0 1001110 00100000 00000000

8 bits 1 bite 7 bits 8 bits 8 bits total : 32 bits (paraules de 32 bits tal com

deia l'enunciat).

En cas que el número a representar fos decimal, per exemple 0.1575, s'ha d'anar amb compte perquè l'Exponent és negatiu i s'ha de fer el 2 en binari però complementat a dos, o sigui : 2 en binari pur és => 00000010, en C2 s'inverteixen els bits i se li suma 1.

00000010 => 11111101 + 1 = 11111110 i ara cal sumar'li l'Excés. O sigui: 11111110

+ 10000000

01111110

2.-

Com passar un número amb decimals (77.45827325) a coma flotant?

Primer hem de fer el número que està a l'esquerra de la coma i després s'han de fer els decimals de la manera que s'explica a continuació:

Per passar números amb decimals a binari, es fa:

1.- El número que està a l'esquerra de la coma (en aquest cas 77) es fa de la manera tradicional (veure Introducció).

2.- Ara bé la part ..........ni difícil ni senzilla, diferent!!

En aquest cas, el número que volem convertir és el 45827325, OK?

Hem d'imaginar dues columnes “tal que así”:

0,45827325	Multiplicat per 2 =	0,9165464 (copiar aquest número a la columna de l'esquerra)
0,9165464	Multiplicat per 2 =	1,8330928 (copiar aquest número a la columna de l'esquerra però sense el número de l'esquerra perquè no és decimal)
0,8330928	Multiplicat per 2 =	1,6661856 (fer el mateix d'abans)
0,6661856	Multiplicat per 2 =	1,3323712 (fer el mateix d'abans, cal fer-ho cada cop que quedin números al lloc de les unitats)
0,3323712	Multiplicat per 2 =	0,6647424
0,6647424	Multiplicat per 2 =	1,3294848
0,3294848	Multiplicat per 2 =	0,6589696
0,6589696	Multiplicat per 2 =	1,3179392
0,3179392	Multiplicat per 2 =	0,6358784
0,6358784	Multiplicat per 2 =	1,2717568
0,2717568	Multiplicat per 2 =	0,5435136
0,5435136	Multiplicat per 2 =	1,0870272
0,0870272	Multiplicat per 2 =	0,1740544
0,1740544	Multiplicat per 2 =	0,3481088
0,3481088	Multiplicat per 2 =	0,6962176
0,6962176	Multiplicat per 2 =	1,3924352

Del que es tracta ara és d'agafar els dígits que queden a l'esquerra de la coma dels números de la columna de la dreta i ajuntar-los. Així quedaria : 0111010101010001

El que s'ha de recordar és que el zero del primer número (0,45827325) no compta a l'hora d'extreure el número final.

Tot junt serà : 0.10011010111010101010001 x 27 (els que estan en negreta són els decimals)

Al final queda :

Exponent Signe Magnitud

10000111 0 100 1101 0111 0101 0101 0001

(77) (,45827325)

4.- Canviar de signe

El que s'ha de fer per a canviar de signe un número representat en binari és complementar-lo a 2 (veure complement a 2) . O sigui, per a convertir un número positiu en negatiu (o a l'inrevés) s'inverteixen tots els bits del número i -despres- se li suma un 1 al resultat obtingut.

Per saber el valor positiu d'un nombre en binari (els que tenen el bit de l'esquerra a 0), es fa com el binari pur, en canvi, pels negatius s'ha de convertir primer en positiu per a saber quin número representa.

Ex.: 01000001 (65) Complementat a 2 => 10111110 + 1 => 10111111

Com que treballem en C2, el número 10111111 ens indica que és negatiu perquè el bit de signe és un 1. Per tant, si volem saber quin número representa un número en negatiu, l'hem de tornar a complementar a 2.

L'avantatge d'aquest sistema és que en les operacions de suma i resta, no cal fer cap conversió, se sumen o resten directament els números.

Ex.: Per fer 65 -30 = 35

-30 => 00011110 (30) en complement a 2 => 11100001 + 1 = 11100010

01000001 (65)

+11100010 (-30)

100100011 (35) El bit de l'esquerra que està en negreta no es té en

compte perquè sinó sumaria 9 bits. El fet de passar

d'aquest bit se l'anomena “desbordament”.

Ex.: Per fer - 65 -30 = - 35

-65 => 01000001 (65) en complement a 2 => 10111110 + 1 = 10111111

-30 => 00011110 (30) en complement a 2 => 11100001 + 1 = 11100010

10111111 (-65)

+11100010 (-30)

110100001 (-95) El bit de l'esquerra que està en negreta no es té en

compte sabem que és -95 perquè fem el complement a

2 del número 10100001 => 01011110 + 1 = 01011111

i aquest número és 95

5.- Canvis de sistema de numeració

Primerament, posem dos exemples que, en general, són vàlids per recordar com passar de decimal a qualsevol base i de qualsevol base a decimal i, després ho analitzem cas per cas.

De DECIMAL a QUALSEVOL BASE:

Suposem el número 137 en decimal i el volem passar a base 8.

Cal anar dividint el número decimal per “la base” en aquest cas el número 8 i invertir els restos de la divisió.

Ex.: 137 8

57

1 17 8

1 2

...........Els restos de la divisió són : 1 1 2, i si els invertim són: 211 ja tenim el número 137 en base 8. Comuntment s'indica d'aquesta manera : 1378)

De QUALSEVOL BASE a DECIMAL:

Suposem el número 211 en base 8 i el volem passar a decimal.

Hi ha dues maneres de fer-ho:

Fer com si féssim Ruffini.

Ex.:

Número en base 8

+ 16 +136

Base 2 17 137

Recordeu que això es feia: a) Baixar el 2 que està en negreta. b) Multiplicar 8 per 2. c) Sumar el 1 i el 16. d) Multiplicar 8 per 17. e) Sumar el 1 i el 136. D'aquesta manera obtenim el número 137 que és el 2118) en decimal.

Elevar a la potencia cada número:

Ex.:

Número a representar: 2118)

2 · 82 + 1 · 81 + 1 · 80 => 2 · 64 + 1 · 8 + 1 · 1 => 128 + 8 + 1 => 137

D'aquesta manera obtenim el mateix número que com si ho féssim per Ruffini.

Ara passem a descriure mètode per mètode de conversions entre sistemes.

CANVIS DE SISTEMES DE NUMERACIÓ :

- DE DECIMAL A BINARI:

Per saber com es representa en binari un número decimal, cal anar dividint el número decimal per 2 i invertir els restos de la divisió.

Com es representa el número 24 en binari?

Ex.: 24 2

0

12 2

0

6 2

0

3 2

1

1

...........Els restos de la divisió són : 00011, i si els invertim són: 11000, ara omplim els espais que queden a l'esquerra dels uns fins a que formi un grup de 8 bits 0011000 i ja tenim el número 24 representat en binari.

- DE DECIMAL A OCTAL:

Per saber com es representa en octal un número decimal, cal anar dividint el número decimal per 8 i invertir els restos de la divisió.

Com es representa el número 6887 en octal?

Ex.: 6887 8

48

07 860 8

06

60 107 8

4 27

3 13 8

5 1

...........Els restos de la divisió són : 74351, i si els invertim són: 15347 i d'aquesta forma hem obtingut el número 24 representat en octal.

- DE DECIMAL A HEXADECIMAL:

Per saber com es representa en hexadecimal un número decimal, cal anar dividint el número decimal per 16 i invertir els restos de la divisió.

Com es representa el número 6887 en hexadecimal?

Ex.: 6887 16

48

07 430 16

110

14 26 16

10

1

Cal tenir en compte que (en hexadecimal) els nombres decimals de dues xifres, es representen amb lletres seguint la taula següent :

D'aquest manera tenim que els restos de la divisió

són : 7 14 10 1, i si els invertim són: 1 10 14 7

ara cal substituir els números de dues xifres per les

lletres de la taula del costat i així ens quedarà que

el número 6887 en hexadecimal serà 1AE7

- DE BINARI A DECIMAL:

Els nombres en binari són en Base 2. O sigui, que cada dígit del nombre en binari es multiplicarà per el número 2 elevat a una determinada potència.

Cal fer esment que els números que poden representar una determinada Base, com a màxim poden ser expressats amb un número menor que la Base. Això vol dir que si parlem de Base 2, els números vindran representats per combinacions de zeros i uns. Si parlem de Base 8, els números vindran representats per combinacions de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i/o 7. Però mai hi haurà cap 8. L'explicació del perquè és matemàtica i no entra dins aquest contexte.

Per saber com es representa en decimal un número en binari, cal elevar el número 2 a la potència de l'exponent que li correspongui a la seva situació dins el byte.

Ex.:

Com es representa el número binari 00101101 en decimal?

0 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 =>

0·128 + 0·64 + 1·32 + 0·16 + 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 => 32 + 8 + 4 + 1 => 45

- DE BINARI A OCTAL:

Els nombres en binari són en Base 2. O sigui, que cada dígit del nombre en binari es multiplicarà per el número 2 elevat a una determinada potència.

Cal fer esment que els números que poden representar una determinada Base, com a màxim poden ser expressats amb un número menor que la Base. Això vol dir que si parlem de Base 2, els números vindran representats per combinacions de zeros i uns. Si parlem de Base 8, els números vindran representats per combinacions de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i/o 7. Però mai hi haurà cap 8. L'explicació del perquè és matemàtica i no entra dins aquest contexte.

Per saber com es representa en octal un número en binari, cal dividir el byte en blocs de 3 bits i passar aquests blocs a decimal.

Ex.:

Com es representa el número binari 00101101 en octal?

Primer dividim el byte en blocs de 3 bits començant per la dreta:

00 - 101 - 101

...com que l'últim bloc de l'esquerra li falten dígits per fer un bloc de 3, l'omplim amb zeros, de manera que quedarà : 000 - 101 - 101

Ara cal convertir cada bloc de 3 bits a decimal:

000 = 0 101 = 5 101 = 5

D'aquesta manera ja solament cal ajuntar els dígits :

055.

O sigui que el número 00101101 en octal és el 55

- DE BINARI A HEXADECIMAL:

Els nombres en binari són en Base 2. O sigui, que cada dígit del nombre en binari es multiplicarà per el número 2 elevat a una determinada potència.

Cal fer esment que els números que poden representar una determinada Base, com a màxim poden ser expressats amb un número menor que la Base. Això vol dir que si parlem de Base 2, els números vindran representats per combinacions de zeros i uns. Si parlem de Base 8, els números vindran representats per combinacions de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i/o 7. Però mai hi haurà cap 8. L'explicació del perquè és matemàtica i no entra dins aquest contexte.

Per saber com es representa en hexadecimal un número en binari, cal dividir el byte en blocs de 4 bits i passar aquests blocs a decimal. Cal tenir en compte la taula exposada a la conversió (DE DECIMAL A HEXADECIMAL)

Ex.:

Com es representa el número binari 00101101 en hexadecimal?

Primer dividim el byte en blocs de 4 bits començant per la dreta:

0010 - 1101

Ara cal convertir cada bloc de 4 bits a decimal:

0010 = 2 1101 = 13 = D (recordeu que els números de dues xifres

corresponen a alguna lletra segons la taula de

DECIMAL A HEXADECIMAL).

D'aquesta manera ja solament cal ajuntar els dígits :

2D.

O sigui que el número 00101101 en hexadecimal és el 2D

- D'OCTAL A DECIMAL:

Els nombres en binari són en Base 2. O sigui, que cada dígit del nombre en binari es multiplicarà per el número 2 elevat a una determinada potència. Doncs bé, els nombres en octal són en Base 8

Cal fer esment que els números que poden representar una determinada Base, com a màxim poden ser expressats amb un número menor que la Base. Això vol dir que si parlem de Base 2, els números vindran representats per combinacions de zeros i uns. Si parlem de Base 8, els números vindran representats per combinacions de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i/o 7. Però mai hi haurà cap 8. L'explicació del perquè és matemàtica i no entra dins aquest contexte.

Per saber com es representa en decimal un número en octal, cal elevar el número 8 a la potència de l'exponent que li correspongui a la seva situació dins el byte.

Ex.:

Com es representa el número octal 15347 en decimal?

1 · 84 + 5 · 83 + 3 · 82 + 4 · 81 + 7 · 80 => 1·4096 + 5·512 + 3·64 + 4·8 + 7·1 =>

4096 + 2560 + 192 + 32 + 7 => 6887

- D'OCTAL A BINARI:

Per saber com es representa en binari un número en octal, cal substituir cada dígit per la seva representació en binari com si fossin paraules de 3 bytes.

Ex.:

Com es representa el número octal 75 en binari?

Primer representem cada dígit en binari en blocs de 3 bits:

7 = 110 5 = 101

Ara ajuntem les dues representacions :

110 - 101

...com que el que volem (normalment) és omplir un byte de 8 bits i solament tenim 6 bits, el que hem de fer és omplir el byte amb zeros a l'esquerra. De manera que ens quedarà : 00 110101

O sigui que el número 75 octal és el 00110101 en binari.

- D'OCTAL A HEXADECIMAL:

Per saber com es representa en hexadecimal un número en octal, cal passar-lo primer a binari i de binari a hexadecimal.

- D'HEXADECIMAL A DECIMAL:

Els nombres en binari són en Base 2. O sigui, que cada dígit del nombre en binari es multiplicarà per el número 2 elevat a una determinada potència. Doncs bé, els nombres en hexadecimal són en Base 16

Cal fer esment que els números que poden representar una determinada Base, com a màxim poden ser expressats amb un número menor que la Base. Això vol dir que si parlem de Base 2, els números vindran representats per combinacions de zeros i uns. Si parlem de Base 16, els números vindran representats per combinacions de 0, 1, 2, 3, ... 14 i/o 15. Però mai hi podrà haver cap 16. Recordeu però, que els números del 10 al 15 es representen amb les lletres: de l'A fins l'F respectivament.

Per saber com es representa en decimal un número en hexadecimal, cal elevar el número 16 a la potència de l'exponent que li correspongui a la seva situació dins el byte.

Ex.:

Com es representa el número hexadecimal 1AE7 en decimal?

Primer cal saber a quin número correspon les lletres A i E (veure la taula de DECIMAL A HEXADECIMAL)

D'aquesta manera tenim que són els números: 1 - 10 - 14 - 7

.... I ara cal multiplicar cada número per 16 elevat a la potència de la posició que li correspon :

1 · 163 + 14 · 162 + 14 · 161 + 7 · 160 => 1·4096 + 10·256 + 14·16 + 7·1 =>

4096 + 2560 + 224 + 7 => 6887

- D'HEXADECIMAL A BINARI:

Per saber com es representa en binari un número en hexadecimal, cal substituir cada dígit per la seva representació en binari com si fossin paraules de 4 bytes. Cal tenir en compte la taula exposada a la conversió (DE DECIMAL A HEXADECIMAL)

Ex.:

Com es representa el número hexadecimal 1AE7 en binari?

Primer representem cada dígit en binari en blocs de 4 bits segons la taula que hem esmentat anteriorment:

1 = 0001 A = (10) = 1010 E = (14) = 1110 7 = 0111

Ara ajuntem les quatre representacions :

0001 - 1010 - 1110 - 0111

D'aquesta manera que ens quedarà : 0001101011100111

O sigui que el número 1AE7 hexadecimal és el 0001101011100111 en binari.

- D'HEXADECIMAL A OCTAL:

Per saber com es representa en octal un número en hexadecimal, cal passar-lo primer a binari i de binari a octal.

• Esquema Conversions diferents sistemes de numeració

20

Universitat Oberta de Catalunya Introducció a la Informàtica

20

n-1 bits

1

n-1 bits

1

n-1 bits

1

n bits

0 0 0 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 1 0

0: 0000 8: 1000

1: 0001 9: 1001

2: 0010 A: 1010

3: 0011 B: 1011

4: 0100 C: 1100

5: 0101 D: 1101

6: 0110 E: 1110

7: 0111 F: 1111

SISTEMA HEXADECIMAL

SISTEMA OCTAL

SISTEMA BINARI

Fracció decimal *16

ð Xi 8 i

ð Xi 2 i

0: 000

1: 001

2: 010

3: 011

4: 100

5: 101

6: 110

7: 111

ð Xi 16 i

Nº decimal /16

Nº decimal /8

Nº decimal /2

Fracció decimal *8

Fracció decimal *2

Fracció decimal

SISTEMA DECIMAL

n bits

n-1 bits

1

n-1 bits

1

0

nº de bits usats pel signe

nº de bits usats pel signe

nº de bits usats pel mòdul

nº de bits usats pel mòdul

4 bits

4 bits

4 bits

4 bits

1111

4 bits

4 bits

4 bits

2 1 1

8

10 = A

• = B

• = C

• = D

• = E

• = F