Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Introducción.

3.2 Método de matriz inversa.

3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss-Jordan.

3.4 Regla de Cramer.

3.5 Sistemas lineales homogéneos.

3.6 Método iterativo de Jacobi.

3.7 Método iterativo de Gauss-Seidel.

Método de la matriz inversa

Para obtener la inversa de una matriz, se apoya de la siguiente forma:

A-1 = 1 a22 -a12 a11 -a12

det A -a21 a11 -a21 a22

Ejemplos:

A = 12 4 (12)(1) - (3)(4) = 12-12 =0

3 1 No tiene Inversa

1 1 1

A = 4 1 4

2 2 5

Se aumenta en la parte derecha una matriz identidad y posterior mente se iguala la matriz inicial a una matriz identidad.

1 1 1 1 0 0 (-4) (-2)

4 -4 1 -4 4-4 0 -4 1 0

2 -2 2 -2 5 -2 0 -2 0 1

1 1 1 1 0 0

0 -3 /-3 0/-3 -4/-3 1/-3 0/-3 / (-3)

0 0 3 -2 0 1

1 1-1 1 1-4/3 0+1/3 0

0 1 0 4/3 -1/3 0 (-1)

0 0 3 -2 0 1 / 3

1 0 1 -1/3+2/3 1/3 0-1/3

0 1 0 4/3 -1/3 0

0 0 1 -2/3 0 1/3 (-1)

1 0 1 1/3 1/3 -1/3

0 1 0 4/3 -1/3 0

0 0 1 -4/3 -1/3 1/3

A-1 = 1/3 1/3 -1/3 X = b / A 9

4/3 -1/3 0 b = 27

4/3 -1/3 1/3 X = A-1 b 30

1/3 1/3 -1/3 9 9/3 + 27/3 - 30/30

4/3 -1/3 0 27 = 36/3 - 27/3 + 0

4/3 -1/3 1/3 30 - 18/3 + 0 + 30/3

X1 2

X2 = 3

X3 4

Comprobación:

Sustitución de los valores X1,X2 y X3 en las ecuaciones 1,2 y3.

Ecua. 1 1 X1 + 1X2 + 1X3 = 9

1(2) + 1(3) + 1(4) = 9

2 + 3 + 4 = 9

9 = 9

Ecua. 2 4 X1 + 1X2 + 4X3 = 27

4(2) +1(3) + 4(4) = 27

8 + 3 + 16 =27

27 = 27

Ecua. 3 2 X1 + 2X2 + 5X3 = 30

2(2) +2(3 ) +5(4) = 30

4 + 6 + 20 = 30

30 = 30

3.3 Método de solución de Gauss y Gauss Jordan.

Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se deben convertir en ceros, mientras que el resultado del termino común,se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor de la ultima incógnita, que permite encontrar el valor de las demás.

Ejemplo:

2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

3X1 + 1X2 - 2X3 = 4

2 4 6 18 /2

4 5 6 24

3 1 -2 4

1 2 3 9 (-4) (-3)

4-4 5-8 6-12 24-36

3-3 1-6 -2-9 4-27

1 2 3 9

0 -3 -6 -12 /(-3)

0 -5 -11 -23

1 2 3 9

0 1 2 4 (5)

0 -5 +5 -11+10 -23+20

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 -1 -3 / (-1)

X1 X2 X3 R

1 2 3 9 Ecuación 2

0 1 2 4 Ecuación 2

0 0 1 3 Ecuación 2

Matriz escalonada

Se sustituye el valor de X3 = -3 en la ecuaciones de la matriz obtenida.

Sustitución de X3 = -3 en la ecuación 2.

X2 + 2 X3 = 4

X2 + 2(3) = 4

X2 + 6 = 4

X2 = 4-6

X2- = -2

X1 + 2 X2 + 3 X3 = 9

X1 + 2 (-2) + 3 (3) = 9

X1 - 4 + 9 = 9

X1 = 9-9+4

X1 = 4

Comprobación:

2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

2(4) + 4(-2) + 6(3) = 18

8 - 8 + 18 = 18

18 = 18

Método de Gauss Jordan

Consiste en encontrar una matriz identidad, y con los valores que se obtengan en el termino independiente, van a corresponder al valor de las incógnitas.

2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

3X1 + 1X2 - 2X3 = 4

2 4 6 18 /2

4 5 6 24

3 1 -2 4

1 2 3 9 (-4) (-3)

4-4 5-8 6-12 24-36

3-3 1-6 -2-9 4-27

1 2 3 9

0 -3 -6 -12 /(-3)

0 -5 -11 -23

1 2-2 3-4 9-8

0 1 2 4 (-2) (5)

0 -5 +5 -11+10 -23+20

1 0 -1 1

0 1 2 4

0 0 -1 -3 / (-1)

1 0 -1+1 1+3

0 1 2-2 4-6

0 0 1 3 (-2) (1)

1 0 0 4

0 1 0 -2

0 0 1 3

X1 = 4

X2 = -2

X3 = 3

Sustitución de valores:

2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

2(4) + 4(-2) + 6(3) = 18

8 - 8 + 18 = 18

18 = 18

3.4 Regla de Cramer

3X1 + 5X2 + 6 X3 =24

3X1 + X2 - 2X3 =4

2X1 + 4X2 + 6X3 =18

2 4 6 18

3 5 6 24

3 1 -2 4

Solución por el método de menores y cofactores:

• Obtención del valor de D

Se realiza con la matriz de los coeficientes.

2 4 6 2 4

D = 3 5 6 3 5

3 1 -2 3 1

D =-20 + 72 +18 - 90 - 12 + 24 = - 8

• Obtención del valor de D1

Los valores de la columna 1 se cambian por los valores del termino independiente.

18 4 6 18 4

D1 = 24 5 6 24 5

4 1 -2 4 1

D1 = - 180 + 48 + 144 - 120 - 108 + 192 = 24

• Obtención del valor de D2

Los valores de la columna 2 se cambian por los valores del termino independiente.

2 18 6 18 4

D2 = 3 24 6 24 5

3 4 -2 4 1

D2 = - 96 + 324 + 72 - 4 32 - 48 + 108 = - 72

• Obtención del valor de D3

Los valores de la columna 3 se cambian por los valores del termino independiente.

2 4 18 2 4

D3 = 3 5 24 3 5

3 1 4 3 1

D3 =40 + 288 + 54 - 270 - 48 + 48 = 14

Sustitución de los valores

X1= D1/D X2= D2/D X3= D3/D

X1= -24 /(-8)= -3 X2= -72 / (-8) = 9 X3= 16 / (-8) = -2

X1 = -24 / -8 = -3 2X1 + 4X2 + 6X3 =18

X2 = -72 / -8 = 9 2(-3) + 4(9) + 6(-2) = 18

X3 = 16 / -8 = -2 -6 +36 -12 = 18

• = 18

3.5 Sistemas Lineales Homogéneo

Son aquellas en las que los valores del termino independiente son igual con cero.

a11 X1 + a12 X2 + … + a1n Xn = 0

a21 X1 + a22 X2 + … + a2n X21 = 0

. . . .

. . . .

am1 X1 + am2 X2 + … + amn Xn = 0

Hay dos tipos de solución:

• La trivial = X1 = X2 = X3 = 0

• No trivial = " De soluciones

Ejemplo:

Solución por el método de Gauss Jordán.

4X1 - 1X2 = 0 4 -1 0

7X1 + 3X2 = 0 7 3 0

-8X1 + 6X2 = 0 -8 6 0

4 -1 0 /4

7 3 0

-8 6 0

1 -1/4 0 (-7) (8)

7-7 3+7/4 0

-8+8 6-2 0

1 -1/4 0

0 19/4 0 / (19/4)

0 4 0

1 -1/4+1/4 0

0 1 0 (+1/4) (-4)

0 4-4 0

1 0 0 X1 = X2 = 0

0 1 0

0 0 0 Solución trivial

3.6 Método Iterativo de Jacobi

Este método consiste en despejar las variables X1, X2 , X3 … X4 por cada reglon según el numero de ecuaciones dadas, después se le asigna un valor de cero, y se sustituye en la ecuación del despeje para encontrar el valor de la primera iteración y posteriormente, estos valores se sustituyen para encontrar el valor de la segunda ecuación, y así sucesivamente hasta encontrar el valor.

Ejemplo:

10X1 + 1X2 = 11

2X1 + 10X2 = 12

Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

1 Iteración

2 Iteración

3 Iteración

Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.

10X1 + 1X2 = 11

10(1)+1 (1) = 11

11 = 11

3.7 Método de Iterativo de Gauss - Seidel.

Es muy similar al anterior la diferencia es que los valores que se van obtenido desde el inicio de la sustitución, se van sustituyen a las siguiente ecuaciones (iteraciones).

Ejemplo:

10X1 + 1X2 = 11

2X1 + 10X2 = 12

Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

1 Iteración

2 Iteración

3 Iteración

Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.

10X1 + 1X2 = 11

10(1)+1 (1) = 11

11 = 11

Error aproximado

"a = 1.00004-1.002 * 100 = -1.959 = .1959 %

1.00004

Matriz de los coeficientes

Termino independiente

Cambia el signo y la posición

X = A-1 b

El valor de las incógnitas

Convergente : Se a próxima al valor real.

Divergente: Se aleja del valor real.

X2 = 12 - 2 X2

10

X1 = 11 - 1 X2

10

X 1 = X2 = 0

X2 = 12 - 2 (0) = 12/10

10

X1 = 11 - 1 (0) = 11/10

10

X2 = 12 - 2 (11/10) = .98

10

X1 = 11 - 1 (12/2) = .98

10

X2 = 12 - 2 (.98) = 1.004

10

X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002

10

2X1 + 10X2 = 12

2(1) +10(1) = 12

12 = 12

X2 = 12 - 2 X2

10

X1 = 11 - 1 X2

10

X2 = 0

X2 = 12 - 2 (1.1) = .98

10

X1 = 11 - 1 (0) = 1.1

10

X2 = 12 - 2 (1.002) = .9996

10

X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002

10

X2 = 12 - 2 (1.00002) = .999992

10

X1 = 11 - 1 (.9996) = 1.00002

10

2X1 + 10X2 = 12

2(1) +10(1) = 12

12 = 12