APLICACIONES LINEALES

Sea Vk y Wk espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, una aplicación

f: V W se llama aplicación lineal si :

• " u, v  V y ,  K f(  u +  v ) =  f( u ) +  f(v) (se puede generalizar a cualquier nº de sumandos)

• en dos partes:

• f( u+ v ) = f(u) + f(v)

• f(  u ) =  f(u)

NOTAS

F ( 0v) = 0w porque en particular Tb. es un homomorfismo de grupos

F( - u ) = - f( u ) por lo mismo

Si V = W entonces se trata de un endomorfismo

Sea { u1,...,up } vectores LD en V :

• entonces { f(u1),..., f(up) } son LD en W

Sea f: V W y g: W U aplicaciones lineales :

• g o f : V U también es una aplicación lineal

Las aplicaciones lineales no conservan la independencia de vectores

APLICACIONES DESTACADAS

• nula : 0: V W " u  V 0(u)= 0w

• identidad : i : U W " u  U i(u) = u

NÚCLEO E IMAGEN

Sea f: V W una aplicación lineal:

• f(V) = Im(f) es subespacio vectorial de W

• si { u1,...,up} generan V , entonces:

{f(u1),...,f(up) } son también generadores de Im(f) , pero no de W.

Llamamos rango de f (rang(f)), a la dimensión de la Im(f), es decir

Al rang ( f(u1),...,f(up) )

• el conjunto f -1{ ( 0w)} = { u  V / f(u) = 0w } = Ker (f) es un subespacio vectorial de V, que llamamos núcleo de la aplicación lineal.

• Si V es un espacio vectorial de dim finita, dim(V) = dim ( Ker(f)) + dim(Im (f))

PROPIEDADES DE UNA APLICACIÓN INYECTIVA

• Sea f: V W aplicación lineal, f es inyectiva sí y sólo si:

• si Ker f = { 0 v }

PROPOSICIÓN

• la composición de isomorfismos, es un isomorfismo

• f: V W aplicación lineal es isomorfismo ! Ker f = { 0v } e Im(f)= W

• si dim V es finita f: V W aplicación lineal entonces f es isomorfismo ! f es inyectiva ! f es sobreyectiva

• si f :V W es isomorfismo entonces , f -1 : W V es también isomorfismo

• dos espacios vectoriales sobre K con dim finita son isomorfos ! tienen la misma dim

MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL

Sean V y W espacios vectoriales, sea B base de V , B = { e1,...,en} y { w1,...,wn} conjunto de vectores de V , entonces :

• existe una única f: V W aplicación lineal / f(e1) = w1...y f(en) = wn

con esta proposición vemos que si V tiene dim finita, una aplicación lineal queda totalmente definida si se conocen las imágenes de los elementos de una base de V

Sea V un espacio vectorial, y B = { e1,..., en} base deV, para cada vector x de V tenemos M B x = x1 , x = x1 e1 + ...+ xnen

X2

Xn

Sea f aplicación lineal f: Vn Wm , supongamos B' = { u1,..., un} base de W, sabíamos que para conocer f bastaba conocer las imágenes de V, para ello bastará saber su CL con respecto a la base B' de W

F(e1) = w1 = a11.u1 + a21.u2 + ...+am1.um

F(e2) = w2 = a21.u1 + a22.u2 + ...+am2.um

F(en) = wn = a1n.u1 + .... +amn.um

Si x tiene por coordenadas en la base B (x1,...,xn) , f(x) tiene por coordenadas en B' ( y1,...,yn ) donde:

Y1 = a11.x1 + a12.x2 + ...+ a1n.xn

Y2 = a21.x1 + a22.x2 + ...+ a2n.xn

Ym = am1.x1 + ...... + amn.xn

x1 y1

X2 y2

A m x n . =

Xn yn

A A le llamamos asociada a la aplicación lineal respecto a las bases B y B', entonces tenemos que :

• MB' ( f(x) ) = A BB' . M B (x) es la expresión matricial del sistema

• La matriz A es única fijadas las bases B y B', pues cada columna j de A son las coordenadas de la imagen del primer vector de la base en B', las coordenadas eran únicas en cada base:

A = M BB' (f)

• Recíprocamente, dada una matriz A m x n cualquiera A m x n = ( a i j) queda determinada una aplicación lineal fijadas las bases, por lo tanto tenemos el isomorfismo siguiente:

 ( V n, W m ) M m x n ( K)

f M (f)

Sea f: V W aplicación lineal dim finita, y sea A la matriz asociada a f respecto unas bases, se verifica que :

• El rango de f coincide con rango (A)

• Suponemos dim V = dim W, entonces f es isomorfismo ! A es inversible

Sea f: V W aplicación lineal , Bv, B'v bases de V y Bw, B'w bases de W. Llamamos A = M B v B w (f) , A' = M B'v B'w (f) , P = M B'v B v

Q = M B'w B w se verifica que :

• A' = Q -1. A. P

Dos matrices A y A' de igual tamaño ( mxn ) se dicen que son equivalentes si :

• existen dos matrices inversibles P, Q tal que A' = Q -1.A. P , es decir , si están asociadas a una misma aplicación lineal de K n K m.

• Dicho de otra forma , A y A' representan la misma aplicación lineal pero en distintas bases ( Tb. Se llaman matrices semejantes)

Sean f: V W y g : W U aplicaciones lineales y A = M B v B w (f) y B = M B w B u (g) entonces se verifica que :

• Si g o f : V U entonces M B v B u ( g o f) = B . A

Sea f una aplicación lineal sobre el mismo cuerpo f: V W; b  W,

f-1( b) = { v " V / f(v) = b } se verifica que :

• Si b " Im f , entonces f -1 (b) = 

• Si b  Im f , es decir, " vo  V tal que f(vo) = b , entonces

• f-1 ( b)= vo + Ker f = { vo + u / u  Ker f }

TEOREMA DE ROUCHE- FROBENIUS

Sea A X = B un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas, A  M m x n (K), B  M mx1 (K) , X  M mx1( K) se verifica que :

• el sistema tiene solución ! rango (A) = rango( AB) y además la solución es única ! rango (A) = rango ( AB) = n

• si el S es Compatible entonces el conjunto {soluciones del sistema A X = B } = xo + { soluciones de A X = 0 }

• donde xo es solución particular de A X =B ,

• { soluciones de A X = 0 } es el núcleo de la aplicación cuya matriz es A, (que es un espacio vectorial con dimensión n-r, donde n = dim V y r = dim ( Im f) )