ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS

Espacio vectorial real Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

Si x V y Y V, entonces x+y V (cerradura bajo la suma)

Para todo x,y y z en V, (x+y) = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)

Existe un vector 0
V tal que para todo x
V, x+0 = 0+x=x

(el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

Si x V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)

Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

Si x
V y a es un escalar, entonces a x
- V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

Si x y y están en V y
es un escalar, entonces
(x +y) =
x +
y (primera ley distributiva)

Si x
V y
y
son escalares, entonces (
+
)x =
x+x (Segunda ley distributiva)

Si x V y y son escalares, entonces (x) = ()x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

Para cada vector x V, 1x= x

EJEMPLO 1

El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n.

Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo

0= y -x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la

definición de matrices.

SUBESPACIOS

DEFINICIÓN

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.

TEOREMA 1

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que

x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar.

Lo anterior dice que:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

EJEMPLO

El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto 0 que consiste en el vector cero nada más es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo número real a.

TEOREMA 2

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces

H1 H2 es un subespacio de V.

5.3 INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio de álgebra lineal, una de las ideas centrales es la dependencia o independencia lineal de los vectores.

DEFINICIÓN

Dependencia e independencia líneal sean v1, v2, ..., vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen n escalares no todos cero tales que

C1 v1 + c2 v2 + ... cnvn = 0

Si los vectores no son lineamientos dependientes, se dice que son lineamientos independientes.

TEOREMA 1

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.

TEOREMA 2

Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n>m.

TEOREMA 3

A=

Entonces las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y solo si el sistema , que se puede escribir como Ac = 0, tiene soluciones no triviales.

TEOREMA 4

Sean v1, v2, ..., vn, n vectores en Rn y sea A una matriz de n*n cuyas columnas son v1, v2, ..., vn. Entonces v1, v2, ..., vn son linealmente independientes si y sólo si la única solución al sistema homogéneo Ax= 0 es la solución trivial x=0.

TEOREMA 5

Sea A una matriz de n*n. Entonces det A = 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.

TEOREMA 6

Cualquier conjunto n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn

EJEMPLO

Dos vectores linealmente dependientes en R4

Los vectores v1= y v2= son linealmente dependientes ya que v2= -3v1.

5.4 BASES Y DIMENSIÓN

DEFINICIÓN

Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si

v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente

v1, v2, . . ., vn genera V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn

En Rn se define

Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.

EJEMPLO

Base canónica para M22 que , , y generan a M22

Si

= C1 + C2 + C3 + C4 = , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 .

DEFINICIÓN

Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLO

La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que

Dim Rn = n

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

DEFINICIÓN 1

Espacio con producto interno.- Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un número complejo único (u,v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y

C, entonces

EJEMPLO

Un producto interno en Rn Rn .- es un espacio con producto interno con (u, v)= u * v.

DEFINICIÓN 2

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estan en V. Entonces

i. U y v son ortogonales si (u, v) = 0

La norma de u, denota por u, esta dada por

U =

Nota: A la u se le pone doble barra para evitar confusión con el valor absoluto

EJEMPLO

Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3, -1) y (2, 6i) son ortogonales porque

((3, -1), (2, 6i)) = 3*2 + (-i)(6i) = 6 + (-i)(-6i) = 6 -6 = 0 además (3, -i)) = = .

DEFINICIÓN 3

Conjunto ortonormal .- El conjunto de vectores v1, v2, . . ., vn es un conjunto ortonormal en V si

(vi, vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIÓN 4

Complemento ortogonal.- Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, está dado por

H = x
V : (x, h) = 0 para todo h
H

UNIDAD 6

TRANSFORMACIONES LINEALES

6.1 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

DEFINICIÓN

Transformación lineal.- Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v
V un vector único Tv
W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar,

T (u + v) = Tu + Tv

y

T(
v) =
Tv

Terminología. Las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.

EJEMPLOS

La transformación cero.- Sean V yW espacios vectoriales y defina T:V W por Tv= 0 para todo v en V. Entonces T(v1 + v2) = 0= 0 + 0= Tv1 + Tv2 y t (
v) = 0=
0=
Tv. En este caso T se llama la transformación cero.

La transformación identidad.- Sea V un espacio vectorial y defina I: V V por Iv= v para todo v en V. Aquí es obvio que I es una transformación lineal, la cual se llama transformación identidad u operador identidad.

Transformación dee reflexión.- Sea T: R2 R2 definida por T = . Es sencillo verificar T es lineal. Geométricamente , T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y.

6.2 IMAGEN Y NÚCLEO

DEFINICIÓN

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.

Entonces

El núcleo de T, denotado por un T , esta dado por

Un T= v
V: Tv = 0

La imagen de T, denotado por imagen T, está dada por

Imagen T = w
W: w = Tv para alguna v
V

EJEMPLO

Núcleo e imagen de la transformación cero.- Sea Tv= 0 para todo v
V (T es la transformación cero). Entonces un T = V e imagen T = 0

representación matricial de una transformación lineal

Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, W un espacio vectorial real de dimensión m y T: V W una transformación lineal. Sean B1= v1, v2, . . ., vn una base para V y B2 =

0

0

.

.

.

0

X1

X2

.

.

XN

-x1

-x2

.

.

.

-xn

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

.

.

.

am1 am2 ... amn

2

-1

0

3

-6

3

0

-9

1

0

0

.

.

0

e1 =

e2 =

0

1

0

.

.

0

e3 =

0

0

1

.

.

0

en =

0

0

0

.

.

1

,

,

,........,

• 0

0 0

0 1

0 0

0 0

0 1

0 0

1 0

0 1

0 0

0 0

1 0

1 0

0 0

C1 C2

C3 C4

0 0

0 1

0 0

0 0

(v,v) > 0

(v,v) = 0 si y sólo si v= 0

(u, v +w) = (u, v ) + (u,w)

(u + v, w)= (u, w) + (v, w)

(u, v) = (v,u)

(au, v) = a(u, v)

(u, av)= a (u, v)

X

y

-x

y