Trabajo de Matematicas

Signos matemáticos.-

Figuras, señales y abreviaturas

utilizados en matemáticas para denotar entidades, relaciones y

operaciones.

Historia.-

El origen y la evolución de los símbolos matemáticos

no se conocen bien. Para más información sobre el probable

origen de los números del 1 al 9 véase Numeracion. El origen

del cero es desconocido, aunque hay confirmación de su

existencia antes del año 400 d.C. La extensión del sistema de

lugares decimales a los que representan valores inferiores a la

unidad se atribuye al matemático holandés Simon Stevin

(conocido también como Simon de Brujas), que llamó a las

décimas, centésimas y milésimas primas, secundas y tercias.

Para indicar los órdenes, utilizaba números en un círculo; por

ejemplo, 4,628 se escribía 4 0 6 1 2 2 8 3. Antes de 1492 ya se

empezó a utilizar un punto para separar la parte decimal de un

número. Más tarde se usó también una raya vertical. En su

Exempelbüchlein de 1530, el matemático alemán Christoff

Rudolf resolvía un problema de interés compuesto haciendo uso

de fracciones decimales. El astrónomo alemán Johannes Kepler

empezó a utilizar la coma para separar los espacios decimales,

y el matemático suizo Justus Byrgius utilizaba fracciones

decimales de la forma 3,2.

A pesar de que los antiguos egipcios tenían símbolos para la

adición y la igualdad, y los griegos, hindúes y árabes tenían

símbolos para la igualdad y las incógnitas, en esos primeros

tiempos las operaciones matemáticas solían ser bastante

engorrosas debido a la falta de signos apropiados. Las

expresiones de dichas operaciones tenían que ser escritas por

completo o expresadas mediante abreviaturas de las palabras.

Más tarde, los griegos, los hindúes y el matemático alemán

Jordanus Nemorarius empezaron a indicar la suma mediante

yuxtaposición, mientras que los italianos la denotaban con las

letras P o p atravesadas con una raya, pero estos símbolos no

eran uniformes. Ciertos matemáticos utilizaban la p, otros la e,

y el italiano Niccolò Tartaglia solía expresar esta operación

como Æ. Los algebristas alemanes e ingleses introdujeron el

signo +, al que denominaron signum additorum, aunque al

principio sólo se utilizaba para indicar excedentes. El

matemático griego Diofante utilizaba el signo ´ para indicar la

sustracción. Los hindúes usaban un punto y los algebristas

italianos la representaban con una M o m y con una raya

atravesando la letra. Los algebristas alemanes e ingleses fueron

los primeros en utilizar el signo actual, al que denominaron

signum subtractorum. Los signos + y - fueron usados por

primera vez en 1489 por el alemán Johann Widman.

El matemático inglés William Oughtred fue el primero en usar

el signo × en vez de la palabra "veces". El matemático alemán Gottfried Wihelm Leidniz utilizaba un punto para indicar la

multiplicación y, en 1637, el francés Rene Descartes empezó a

usar la yuxtaposición de los factores. En 1688 Leibniz utilizó el

símbolo Ç para denotar la multiplicación y È para la división.

Los hindúes colocaban el divisor debajo del dividendo. Leibniz

usó la forma más conocida a:b. Descartes popularizó la

notación an para la potenciación y el matemático inglés John

Wallis definió los exponentes negativos y utilizó el símbolo (¥)

para representar Infinito.

El signo de igualdad, =, lo creó el matemático inglés Robert

Recorde. Otro matemático inglés, Thomas Harriot, fue el

primero en utilizar los símbolos > y <, "mayor que" y "menor

que". El matemático francés François Viète introdujo varios

signos de agrupación. Los símbolos de diferenciación, dx, y de

integración, ò, empleados en el cálculo, son originales de

Leibniz, lo mismo que el símbolo ~ de semejanza, utilizado en

geometría. El matemático suizo Leonhard Euler es el principal

responsable de los símbolos Æ, f, F, usados en la teoría de

funciones.

Jerarquía numérica.-

En el sistema decimal la base es el 10,

es decir, que 10 unidades de un orden constituyen una unidad

del orden inmediato superior, así como cada unidad se compone

de diez unidades del orden inmediato inferior. El número 1 es la

unidad de primer orden a la que se añaden una por una otras

unidades hasta formar una decena o unidad de segundo orden.

Diez decenas o cien unidades forman una centena o unidad de

tercer orden. La unidad de cuarto orden es el millar; la de

quinto orden la decena de millar; la de sexto orden la centena

de millar; la de séptimo orden el millón; la de decimotercer

orden es el billón; la de decimonoveno orden es el trillón y así

sucesivamente. La jerarquía de las órdenes subsecuentes es la

siguiente:

millón, billón, trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón,

septillón, octillón, nonillón, decillón, undecillón, duodecillón,

tridecillón, cuatridecillón, quidecillón, sexdecillón,

septidecillón, octodecillón, nonidecillón y vigillón.

En países, como Francia y Estados Unidos, cuyo sistema de

numeración se basa en grupos de tres en lugar de grupos de

seis, cada orden después del millón es mil veces el que lo

precede. En el sistema que impera en Europa y América Latina,

cada número es un millón de veces el anterior. Por ejemplo, un

vigillón es un 1 seguido de 120 ceros en el sistema europeo y

americano, pero es un 1 seguido de 63 ceros en el sistema

estadounidense y francés. No obstante, en los últimos años se ha

extendido poco a poco el uso del término billón, según el

criterio estadounidense y francés, de modo que países como el

Reino Unido, Italia y Portugal lo utilizan con frecuencia. En

España se ha acuñado recientemente el término millardo para

designar la cantidad mil millones.

En cuanto a los decimales, en Europa continental se escriben de

la forma 1,23, en las islas Británicas 1·23 y en el continente

americano 1.23. Utilizando la notación científica estándar, un

número como 0,000000123 se puede escribir 1,23×10-7.

Poliedro.-

En geometria, cuerpo sólido limitado por

superficies planas que a su vez están limitadas por lados rectos.

En otras palabras, un poliedro es un sólido limitado por poligonos. Cada una de las superficies planas se denomina cara.

Un lado recto que limita una cara se llama arista. Un punto en

el extremo de una arista se llama vértice. La figura 1 muestra

una pirámide de base cuadrada con cuatro caras triangulares

como ejemplo de un poliedro.

En un poliedro regular todas las caras son polígonos regulares y

congruentes (iguales en tamaño y forma) entre sí. Los únicos

poliedros regulares son los cinco que aparecen en la figura 2: el

tetraedro, con cuatro caras triangulares; el cubo, con seis caras

cuadradas; el octaedro, con ocho caras triangulares; el

dodecaedro, cuyas doce caras son pentágonos regulares y el

icosaedro, con veinte caras triangulares. A veces se les

denomina cuerpos geométricos platónicos, pues aparecen en los

escritos del filósofo griego Platon, representando al fuego, aire,

tierra, agua y al universo completo.

Un poliedro convexo es aquel en el que un segmento rectilíneo

que une dos vértices cualesquiera del poliedro contiene sólo

puntos que pertenecen a una cara o al interior del poliedro. En

los poliedros convexos existe una relación entre el número de

vértices v, caras c y aristas a dada por v + c - a = 2. Por

ejemplo, el cubo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas, lo que da

8 + 6 - 12 = 2. El valor de v + c - a para un poliedro cualquiera

se denomina número de Euler de la superficie del poliedro, que

toma el nombre del matemático suizo Leonhard Euler . Se puede

calcular para un poliedro genérico utilizando los métodos de la

topologia, una rama de las matemáticas.

Matemáticas.-

Estudio de las relaciones entre cantidades,

magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas

utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades

desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas

como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como

en la geometria), a los números (como en la aritmetica), o a la

generalización de ambos (como en el algebra). Hacia mediados

del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar, como

la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce

condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica

matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar

símbolos para generar una teoría exacta de deducción e

inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y

reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y

teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas

siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas

son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños

prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se

pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del

interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo

primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos

de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran

abundancia de sistemas numericos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las matemáticas en la antigüedad.-

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del

tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas

estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en

medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos

matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C.,

muestran un sistema de numeración decimal con distintos

símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100, …),

similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se

representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como

unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces

como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para

sumar números, se sumaban por separado las unidades, las

decenas, las centenas, … de cada número. La multiplicación

estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el

proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto

con la fracción B, para expresar todas las fracciones. Por

ejemplo, E era la suma de las fracciones 3 y <. Utilizando este

sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas

aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos

elementales. En geometría encontraron las reglas correctas

para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el

volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto,

pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios

utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo,

valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi

(3,14), aunque su valor (3,16) es un poco mayor que la

antedicha constante.

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del

egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias

muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña

sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha

representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores

que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un

proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número

60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1,

y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su

posición en el número completo. Por ejemplo, un número

compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y

terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10.

Este mismo principio fue ampliado a la representación de

fracciones, de manera que el ejemplo anterior podía también

representar:

2 × 60 + 27 + 10 × (†), o 2 + 27 × (†) + 10 × (†)-2

Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan

útil como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas

más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces

positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron

incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones

de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados

utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron

una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y

de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto.

Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas

y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de

cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de ¸.

Las matemáticas en Grecia.-

Los griegos tomaron elementos

de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La

innovación más importante fue la invención de las matemáticas

abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones,

axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este

avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de milenio y

Pitagoras de Samos. Este último enseñó la importancia del

estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos

de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la

teoría numérica y la geometría, que se atribuyen al propio

Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras

fueron el filósofo atomista Democrito de Abdera, que encontró

la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e

Hipocrates de Cos, que descubrió que el área de figuras

geométricas en forma de media luna limitadas por arcos

circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este

descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la

cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a

un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que

tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un

ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo

volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos

problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos,

utilizando instrumentos más complicados que la regla y el

compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para

demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden

resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático anónimo descubrió

que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la

diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es

inconmensurable. Esto significa que no existen dos números

naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el

lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los

números naturales (1, 2, 3, …), no pudieron expresar

numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un

cuadrado (este número, ¸, es lo que hoy se denomina número

irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría

pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que

crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el

siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, cuya solución

se puede encontrar en los Elementos de geometría de Euclites.

Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar

rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante

aproximaciones sucesivas.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandria, también escribió tratados sobre óptica,

astronomía y música. Los trece libros que componen sus

Elementos contienen la mayor parte del conocimiento

matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan

diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría

numérica, la teoría de los inconmensurables, la geometría del

espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge

de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos

de Arquimides de Siracusa y de un joven contemporáneo,

Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método

teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente

pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y

volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas

habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado

Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de

Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida

aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los

centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos

flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición

que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su

contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos

sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e

hipérbola. Sirvió de base para el estudio de la geometría de

estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés Rene descartes en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo

ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de Herón de

Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la

tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios

convivieron con las construcciones lógicas de los grandes

geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III

d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose

de problemas más complicados. En ellos Diofante encuentra las

soluciones enteras para aquellos problemas que generan

ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas

ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el Analisis diofantico.

Las matemáticas aplicadas en Grecia.-

En paralelo con los

estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se

llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía.

Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y

Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos.

Unos años después de Apolonio, los astrónomos griegos

adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de

fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las

cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado,

estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del

ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado

incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y

coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la

primera versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia el 150

a.C.— los arcos crecían con un incremento de 71°, de 0° a 180°.

En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la

maestría griega en el manejo de los números había avanzado

hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su

Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con

incrementos de 1°, que, aunque expresadas en forma

sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver

problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema —

que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría—

para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de

otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las

herramientas necesarias para resolver problemas de

astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico

que sería usado hasta la época del astrónomo alemán Johannes

Kepler.

Las matemáticas en la edad media.-

En Grecia, después de

Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de

estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de

enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta

nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin

embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del

estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

Las matemáticas en el mundo islámico.-

Después de un

siglo de expansión, en la que la religión musulmana se difundió

desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un

territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los

límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a

su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los

traductores instituciones como la Casa de la Sabiduría de

Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por

donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los

trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900 el periodo de incorporación se había

completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a

construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros

avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de

posiciones decimales en aritmética de números enteros,

extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el

matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios

de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular

raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático

árabe, Al- jwarizmi (de su nombre procede la palabra

algoritsmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la

palabra álgebra) desarrolló el algebra de los polinomios; al-

Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número

de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan,

continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y

volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las

cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los

matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon

trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los

indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se

convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la

publicación del De triangulis omnimodis del astrónomo alemán

Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes

avances en la teoría numérica, mientras otros crearon una gran

variedad de métodos numéricos para la resolución de

ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas

adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el

siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los

árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron

los principales responsables del crecimiento de las matemáticas

durante la edad media. Los matemáticos italianos, como

Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes

tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que

desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron

principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Las matemáticas durante el renacimiento.-

Aunque el

final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios

matemáticos sobre problemas del infinito por autores como

Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se

hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en

Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de

las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en

1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars

magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por

los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones

similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta

búsqueda la que a su vez generó los primeros trabajos sobre la

teoría de los grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de

ecuaciones del matemático francés Evariste Galoiste a

principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los

modernos signos matematicos y algebraicos. El matemático

francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre

la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran

influencia en muchos matemáticos del siglo posterior,

incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Neuton en

Inglaterra.

Avances en el siglo XVII.-

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes

avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y

Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los

logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper),

cuya gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon

Laplase a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el

trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la

vida.

La ciencia de la teoria numerica, que había permanecido

aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los

avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios

de la antigüedad clásica. La obra La aritmética de Diofante

ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la

teoría numérica. Su conjetura más destacada en este campo, fue

que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y

c enteros positivos si n es mayor que 2. Esta conjetura, conocida

como Ultimo teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de

trabajos en el álgebra y la teoría numérica.

En la geometría pura, dos importantes acontecimientos

ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en el

Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento

de la geometria analitica, que mostraba cómo utilizar el álgebra

(desarrollada desde el renacimiento), para investigar la

geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo

descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso del método,

junto con una serie de pequeños tratados con los que fue

publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de

Isaac Newton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó

a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés

Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría

proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por

Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su

terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado

la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de

sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del

matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la

aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la

correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema

presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos.

Esta trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés

Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre

robabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars

coniectandi del matemático suizo Jakob Bernoulli. Tanto

Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina

del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para

avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía

grandes aplicaciones para pujantes compañías de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del

siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento, por parte

de Newton, de los calculos diferencial e integral, entre 1664 y

Newton se basó en los trabajos anteriores de dos

compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en

los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes,

Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde

y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el

alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo

y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de

notación de Leibniz es el que se usa hoy en día en el cálculo.

Situación en el siglo XVIII.-

Durante el resto del siglo XVII

y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se

basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de

física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo

tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los

hermanos Johann y Jakob Bernoulli inventaron el cálculo de

variaciones y el matemático francés Gaspart Monge la

geometría diferencial. Joseph Luis Lagrange, también francés,

dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en

su gran obra Mecánica analítica (1788), en donde se pueden

encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas

dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de

las ecuaciones diferenciales y la teoría numérica, y desarrolló

la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría

analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica

celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de 'el Newton

francés'.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler,

quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas

de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos

sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en

modelos a seguir para otros autores interesados en estas

disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros

matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como

físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de

un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del

cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinética y las

velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento

de Lagrange era completamente algebraico y basado en el

concepto de las secuencias infinitas. Todos estos sistemas eran

inadecuados en comparación con el modelo lógico de la

geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo

posterior.

Las matemáticas en el siglo XIX.-

En 1821, un matemático francés,Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y

apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo

en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta

solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica

de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy

estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático

alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición

adecuada para los números reales basada en los números

racionales, que todavía se enseña hoy en día; los matemáticos

alemanes GeorgCantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron

otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más

importante que surgió al intentar describir el movimiento de

vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo

XVIII— fue el de definir el significado de la palabra funcion.

Euler, Lagrange y el matemático francés BaronJoseph Forier

aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G.

Dirichlet quien propuso su definición en los términos

actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado

a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos

del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta

materia. A principios del siglo, Carl Friedereich Gauss dio una

explicación adecuada del concepto de numero complejo; estos

números formaron un nuevo y completo campo del análisis,

desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el

matemático alemánBernhard Rieman. Otro importante avance

del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas

infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se

conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy

útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales

a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos

infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de

Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y

criticada como "enfermedad de la que las matemáticas se

curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de las

matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva

aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e

inútil en su tiempo fue la geometria no euclidea. En esta

geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una

recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta.

Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la

controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos

resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el

matemático rusoNikolaiIvanovichLobachevsky y por el húngaro

Janos bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en

su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de

las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos

de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.

Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia.

Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros

años había realizado grandes descubrimientos en teoría

numérica, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae

marca el comienzo de la era moderna. Cuando tenía sólo

18 años, Gauss demostró que un polígono regular de m

lados se puede dibujar utilizando sólo la regla y el compás si m es una potencia de dos veces primos distintos de la forma 2n +

En su tesis doctoral presentó la primera demostración

apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo

combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo,

desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que

investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto,

realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del

magnetismo, o estudiaba de la geometría de superficies curvas a

la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del

teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta

sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los

polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Un paso importante en esa dirección fue la invención del

álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avance

destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que

tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos

sistemas se encuentran las cuaternas del matemático

irlandésWilliam Rowan Hamilton, el análisis vectorial

delmatemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y

los espacios ordenados de n dimensiones del matemático

alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante

fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos

de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para

generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos

con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento

el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán

Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el

álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las

geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado

Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de

ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de

transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX,

el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría

conocida como Topologia.

También los fundamentos de las matemáticas fueron

completamente transformados durante el siglo XIX,

principalmente por el matemático inglés George Boole en su

libro Investigaciones sobre las leyes del pensamiento (1854) y

por Cantor en su teoria de conjuntos. Sin embargo, hacia finales

del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de

Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de

estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto.

Los matemáticos resolvieron este problema construyendo

teorías de conjuntos lo suficientemente restrictivas como para

eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar

si podrían aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si

estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han

encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la

teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es).

Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en

1931 por el lógico estadounidense Kurt Godel, según la cual en

cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado

como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar

proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del

sistema.

Las matemáticas actuales.-

En la Conferencia Internacional

de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático

alemánDavid Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era

catedrático en Göttingen, el hogar académico de Gauss y

Riemann, y había contribuido sustancialmente en casi todas las

ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la

geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en

colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en

París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él

creía podrían ser las metas de la investigación matemática del

siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado

gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez

que aparecen noticias de que otro de los "problemas de Hilbert"

ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera

los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un

hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del

ordenador o computadora digital programable, primordial en

las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las

computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y

Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la

Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar

operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista

de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La

imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo,

y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y

después la del transistor cuando la computación programable a

gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran

impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis

numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas

de investigación matemática como el estudio de los algoritmos.

Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan

diversos como la teoría numérica, las ecuaciones diferenciales y

el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido

encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se

habían podido resolver anteriormente, como el problema

topológico de los cuatro colores propuesto a mediados del siglo

El teorema dice que cuatro colores son suficientes para

dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países

limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue

finalmente demostrado en 1976 utilizando una computadora de

gran capacidad de cálculo en la universidad de Illinois (Estados

Unidos).El conocimiento matemático del mundo moderno está

avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran

completamente distintas se han reunido para formar teorías más

completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas

más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de

Riemann siguen sin serlo. Al mismo tiempo siguen apareciendo

nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las

matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.