Determine la deflexión máxima de una viga simplemente apoyada que porta un cilindro hidráulico de una máquina utilizada para insertar bujes a presión en una pieza fundida, como se muestra en la figura. La fuerza ejercida durante la operación de prensado es de 15 kN. La viga es rectangular, de 25mm de espesor y 100mm de altura, y está hecha de acero.

II- Diagramas.

1.6 m

0.8m

Viga

Cilindro

Hidráulico

Buje

1.6m

0.8m 0.8m

R1=7.5kN 15kN R2= 7.5 kN

7.5

0

-7.5

0

-6.0kN-m

1.4 Método de superposición.

Si un patrón particular de carga y apoyo se puede separar en componentes, de modo que, cada una sea como uno de los casos por el cual se dispone una fórmula, entonces la deformación total en un punto de la viga es igual a la suma de las deflexiones provocadas por las demás cargas por lo que recibe el nombre de superposición.

Procedimiento

• Analizar la redacción del problema.

• Analizar el tipo de viga y perfil para la utilización adecuada de las tablas.

• Observar el diagrama y distribuir la viga según los efectos que en ellas se encuentren para determinar fórmulas para cada una.

• Hacer el diagrama de deflexión indicando Ymax.

• Hacer el análisis de rigidez donde se exponen las fórmulas para cada efecto o caso.

• Sacar los valores para cada termino y si es posible sacando conversiones para trabajar con una sola unidad y evitar complicaciones.

• Localizar el valor del módulo de elasticidad “E” en la tabla A-13

• Todo lo anterior se hace con el fin de encontrar Y1, Y2, YT.

• Por último se tomará en cuneta si cumple con las especificaciones. Ymax= 1L / 360

En la figura se muestra una viga que soporta una carga de techo uniformemente distribuida de 800 lb/ft y también una parte de un equipo de proceso que produce una carga concentrada a la mitad. Calcular la deflexión máxima producida en la viga.

II- Diagramas

W=800lb/ft

8ft 8ft

2500lb

2500lb

Y1

W=800lb/ft

Y2

y x

Y1

1.5 Método de integración sucesiva o doble integración para deflexión de vigas

Procedimiento

• Determinar las relaciones en los apoyos de las vigas

• Dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes e identificación de puntos críticos.

• Dividir la viga en segmentos en los que el diagrama de fuerza cortante es continuo identificando los puntos donde ocurren cambios repentinos con subíndices.

• Establecer ecuaciones para la curva.

• Para cada segmento se calculará M = Vdx + c y después el proceso EI = Mdx + C

• Establecer condiciones de frontera y después evaluar todas las constantes de integración.

• Sustituir las constantes de integración de nuevo en las ecuaciones de la pendiente.

La figura muestra una viga utilizada como una parte de la estructura especial de una máquina . La carga de 20 kLb en “ A “ y la de 30kLb en “ C “ representan los puntos de apoyo del equipo pesado. Entre los dos apoyos B y D. La carga uniformemente distribuida de 2klb/ft se debe a materiales agranel almacenados en un recipiente soportado por una viga. Para mantener la presión de los productos producidos por la máquina, la deflexión máxima en la viga debe ser de 0.05 in. Especifique una viga de acero del patín ancho aceptable y además verifique el esfuerzo de la viga.

II Diagramas

20 klb 30klb

6ft 2ft

3ft 2klb/ft

A B C D

8ft

20 klb 30klb

6ft 2ft

3ft 2klb/ft

A B C D

8ft

RB= 43klb RD= 23klb

23

11

3ft 2ft

0

6ft

-20 -19

-23

42

A B

0 C D

-60

b) Calcular el valor de las constantes

{Criterios} y

y=0 y=0

x=0 x=0 x

a

Con (2)

dy/dx = 0 x=?

Analizando condiciones de apoyo

Punto B

x= 3ft y=0 Sustituimos en la ecuación #3

EIy= -10/3 x3 + 21.5/3 (x-3)3-5(x-9)3-1/12(x-3)4 + c1x + c2

-10/3(3)3 + 21.5 (3-3) - 5(3-9)- 1/12 (3-3)4 + c1(3) + c2

0 Negativo 0

ð 0= -90+ 3c1 + c2

Punto D

x=11ft y=0 Sustituimos en la Ecuación #1.

EI d2y / dx2 = 20x + 43(x-3)-30(x-9)-(x-3)

0= -10/3 (11)3 + 21.5/3 (11-3)3 - 5(11-9)3 - 1/12 (11-3)4 + c1 (11) + c2

γ 0=-1148.33 + 11c1 + c2

0= -90 + 3c1+ c2 0= -90 + 3(132.3)+ c2

0=1148.33 -11c1 -c2 c2= -306.87

1058.33 = 8c1

c1=132.2916

Se sustituyen valores en la Ecuación #3

EIy= -10/3 x3 + 21.5/3 (x-3)3-5(x-9)3-1/12(x-3)4 + c1x + c2

EIy= -10/3 x3 + 21.5/3 (x-3)3-5(x-9)3-1/12(x-3)4 + 132.2916 -306.87

c) Calcular lo requerido

EIy= -10/3 x3 + 21.5/3 (x-3)3-5(x-9)3-1/12(x-3)4 + 132.3 -306.87

EI dy / dx= EIð = 10x2 + 21.5(x-3)2 - 15(x-9)2-1/3(x-3)3 + 132.2916

ð= dy/dx

dy/dx =0 Condición x=? Ymax

Con (2)

dy/dx=0 x=?

ð = 10x2 + 21.5(x-3)2 - 15(x-9)2-1/3(x-3)3 + 132.2916

Punto x=0

x=0

x=3.836 0= 132.2916 No es raíz.

x=8.366

Con (3)

x=0

x=3.836

x=8.366

d) Selección de perfil

Tabla A-7

W= 18x40 Opción

W= 14x43 Recomendada

Caso II

Calcule la máxima deflexión de la viga utilizando el método de integración sucesiva y diga donde ocurre, la viga es un perfil de patín ancho de acero.

W 18x25

I - Interpretación.

1.6 Método de la ecuación de los tres momentos.

Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga.

Los términos directos de cada caso de apoyo están en la tabla 1.6

Planteamiento del problema.

P Q W S

Deflexión

Ecuación 1

Ecuación 2

Ecuación 3

Ecuación n-2

L= Tramo

R= Reacción

n= Número de apoyos.

(1) M1L1 + 2M2 (L 1+L2) + M3 L2 + 6A
1/L1 + 6A
2/L2 = 6EI ( h1/L1 + h3+L2)

(2) M2L2 + 2M3 (L 2+L3) + M4 L3 + 6A
2/L2 + 6A
3/L3 = 6EI ( h2/L2 + h4+L3)

Se tiene que analizar la combinación de cargas distribuidas, cargas concentradas mostrada en la figura, para determinar las reacciones en los tres apoyos y diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos.

I- Diagrama 20kN

15kN 18kN

12kN 3m 4m

4m 4m 2m

W= 30 kN/m 50kN/m

B C

8m 7m

RA RB Rc

a)D.C.L

• • •

(1) (2) (3)

L1 L2

e1

111.1 227

51.1 88

(+) 36.1 (+) 68

b)D.F.C x

(-) (-) (-)

-12 (-)

-143

-72 -72

-162

y 100 • •

c)D.M.F

x

-84• •

-281

d)D.Def (1) (2) x

III- Análisis de fuerzas.

Momentos de continuidad.

+

MB= (ðM)der. = -281.18 kN-m

MB = Rc (7) - 20(3) -50(7)(3.5) = -281.18 kN-m

Rc= [-281.18 kN-m + 20(3) + 50(7)(3.5)] / 7

Rc= 147.40 kN

+

MB= (ðM)izq.. = -281.18 kN-m

MB = RA(8) - 12(10) -15 (6) - 18(2) +-30(10)(5) = -281.18

RA = [-281.18 + 12(10) + 15(6) + 18 (2) + 30 (10)(5)] / 8

RA= 183.10 kN

Suma de fuerzas.

ð ðFy = 0

RA + RB + Rc -12-15-18-20-30(10)-50(7) =0

RB= 12+15+18+20+30(10)+50(7)-183.10-143.40

RB= 388.6 kN

IV. Análisis de rigidez

YD=?

Ecuación de los tres momentos.

_

MoLo +2M1(Lo + L1) + M2L1 + 6A
0/L0 + 6Ab1/L1 = ( ho/Lo + h2/L1) 6EI

Cálculo de términos

h0= -YD L0= 2m

h2=0

( ho/Lo + h2/L1) 6EI= -3EIYD

EIYD= ?

_

6A1b1/L1 -315+270+3840=4425kN-m2

_

6A0a0 / L0 = Pa /L0 (L0-a2) + WL0/4

_

6A0a0/L0= 3(2)3/4 = 60kN-m2

6A1b1/L1 = Pb/L1 (L12-b2) + Rb/L1 (L12-b2) + WL3/4

= 15(6)/8 (82-62) + 18(2)/8 (82-62) + 30(8)3/4

YD = -185 /EI

Diagrama

20kN-m

1.8 m

20kN-m

RA RB

L1 L2

y

Suma de fuerzas.

ð ðFy = 0

RA + RB - 20kN/m (1.8m)=0

RA= [20kN/m (1.8m)] - 13.5 kN

RA= 22.5 kN

MA=M2

MA= -8.1kN-m

IV Análisis de rigidez

Calcular la rigidez a la mitad del claro

Definir los puntos de aplicación de la ecuación

M1 L1 = (-8.1)(0.9) =-7.29

b)Calcular la ecuación

_

M1L1 + 2M2 (L1+L2) + M3L2 + 6A
1/L1 + 6A2 a2 /L2 = 6EI (h 1/ L1 + h3/L2)

Calcular los términos.

h1 = +Yc L1 = L2 = 0.9 m

h3 = +Yc

M1 L1= (-8.1) (0.9) = -7.29

M2 = +(ðM)der. = (13.5)(0.9) -(20)(0.9) (0.9/2)

M2 = 4.05 kN-m

2M2(L1+L2) = 2(4.05)(0.9+0.9) = 14.58 kN

EIYc=?

M1L1 2M2 M3 = (ðM) der.=0 6A1a1 /L1 = WL3/4

-7.29 + 14.58 + 0 + WL3/4 20(0.9)3/4

EIYc= -7.29 +14.58+0+3.645+3.645 / 6 (1/0.9 + 1/0.9)

EIYc = 1.0934 kN-m3/N-m2

Yc=1.0935 x 103 m

Yc= 1.15 x 103 m/EI

II- ESFUERZOS COMBINADOS.

2.1 Teoría y procedimiento

Existen varios caos prácticos que implican esfuerzos combinados que se pueden resolver sin recurrir a los procedimientos más rigurosos y tardados.

Procedimiento.

• Dibujar diagrama y calcular la magnitud de las fuerzas.

• Calcular esfuerzos.

• Por medio de los esfuerzos flexionantes, determinar los momentos flexionantes causado por estos esfuerzos.

• Para las zonas sometidas a momentos flexionantes máximo, calcular el esfuerzo flexionante por medio de σ= M/S. El momento será la fibra más alejada . Calcular todos estos.

• Suponer por medio de la superposición los σcombinados teniendo en cuenta su sentido.

σcomb= + F/A + M/S

2.2 Esfuerzo normal directo.

P P

σ ð P / A

P P

σ ð (+) σ ð ( - )

Presión Compresión

• Distribución de esfuerzos.

Sección A-A

σ Constante o Uniforme

P Punto Crítico

Estado de esfuerzos: Punto para fines de análisis mecánicos, se considera un cubo (el cuadrado), esta representando el esfuerzo al que se somete en forma tridimensional, en el plano un cuadrado .

Tensión

P σ σ

P σ σ

Estado tridimensional Estado plano

Compresión.

P σ σ

P σ σ

Estado tridimensional Estado plano

2.3 Esfuerzos cortantes por torsión.

c ð= Esfuerzo cortante debido a un par

ð J= Momento polar por inercia

ð ð Tc/ J ð ð 16TD/ ð D3 ð ð ð 16TD/ð (D4-d4)

Distribución de esfuerzos.

ðmax

Estado esfuerzos

ðT ðT

ð

ð Estado Tridimensional Estado Plano

σ ðT

ð ð σ

ðT

ð

2.4 Esfuerzo de flexión

A B

C

RA Rc

- - - Compresión- - -

+ + + +

+ + + + + + + +

Distribución de esfuerzo normal por flexión

Compresión

σmax

Centroide B

• σ=0 Superficie neutra

σmax

Tracción

Estado de esfuerzos.

P

Punto S Punto I

Superior

S I

Inferior

RA Rc

2.5 Esfuerzo cortante por flexión.

S Normal ð=0 Sección rectangular ð=3V/2A

ð = VQ / Ib

Sección circular ð=4V/3A

b= ancho de la viga

ð=0

Estado de esfuerzos.

P

ð

RA Rc

2.6 Ejemplos

d= 50 mm

ð

ð

Estado de esfuerzos de una flecha.

P

T

Q

Q

T

L/2 L/2

RA Rc

Estado de esfuerzos

Axial + Cortante + Flexión + Torsión

=

(-2.036)

= σ=2.03

ð=1.35 Mpa

=

σ=P/A ð= 4V/3A σ=MC/I ð = 16T/ðd3

III- ECUACIÓN PARA DETERMINAR ESFUERZOS EN CUALQUIER DIRECCIÓN.

En general cuando hablamos de un esfuerzo combinado se refiere a los casos en que 2 o más tipos de esfuerzos actúan en un punto dado al mismo tiempo. Los esfuerzos pueden ser nomrales (tensión o compresión) o esfuerzos cortantes.

Elemento sometido a esfuerzo completo .

σy(Compresión -)

ðxy

σx σx(Tensión -)

SH

ðx SAH

σy

Esfuerzos máximos.

v u

ð

ðvu ðuv

ðuv

σu σv

Ejemplo

Para el estado de esfuerzos mostrado (cuadro elemental) .Calcular los esfuerzos principales, esfuerzo cortante máximo y direcciones de los mismos, muestre los resultados en cuadros elementales respectivos.

-300MPa

400MPa

200MPa

I Cuadro elemental

II Aplicar las fórmulas

σmax = σð = ½ [400 + (-300)] + [ ½ (400- (-300)] 2 + (200)2

σð = 50 + 403.11 = 453.11

σmin = σð = ½ [400 + (-300)] - [ ½ (400- (-300)] 2 + (200)2

σð = 50 - 403.11 = 353.11

ðmax= + - [ ½ (400- (-300)] 2 + (200)2

ðmax= +- 403.11

III Obtención de dirección de esfuerzos.

ð1= σ1

ð2= σ2

ð1= ðmax

ð1= ½ tan-1 -ð xy_____ = ½ tan-1 -200_______ = ½ tan -1 - (200/350)

½ (σx-σy) ½ [400-(-300)]

ðð= -29.74

b) Verificación de la dirección 2 ð

σu = ½ (σx+σy) + ½ (σx-σy)cos 2ð - ðxysen2ð

σu = ½ (400-300) + ½ [400-(-300)]cos 29.74 - 200sen29.74

σy = 50+350(0.8)+99.08=453.83

ð= 29.74/2 = 14.87

σ1= 453.11

c) σ1= 353.11 MPa = ð2= 90-14.87= 75.13

2ð2= 151

|ð1| +|ð2| =90°

σ1+σ2 = σx+σy

453.11 + (-353.11) = 400 + (-300)

100=100

d) ð= ½ tan-1 [ ½ (σx+σy) / ðxy]=

2ð= tan-1[ (σx+σy) / 2ðxy]= tan-1 [ 400 -(-300) / 2(-200)]

2ð1= 60.25 ð1= 30.127°

ðuv = ½(σx-σy) sen2ð1- ðxycosð

ðuv = ½[400-(ð300)] sen 60.25- ðððcos 60.25

ðuv = (-303.86) + (-99.01) = -403.11MPa

ð = -403.11

ð1= 30.127

2ð11= 30.127 + 90 = 120.12

|2ð| +|2ð1| + |2ð1| +|2ð2| = 29 + 151+ 60.25+120.12= 360.37

Esfuerzos principales

σ2=-353.11

ðð= 75.13°

ðð= 14.87°

σ1=-453.11

Esfuerzo cortante máximo

σprom

ðvu ðð= 30.12°

463.11 ðmax

50MPa σprom

Esfuerzo promedio

σprom= σx+σy/2 = (400-300)/2 = 50MPa

IV -MÉTODO GRÁFICO PARA LA OBTENCIÓN DE ESFUERZOS.

Pasos para el círculo de Mohr

• Obtener las coordenadas de los puntos “x” y “y”

x(σx,σxy) Dependiendo si están en tensión o compresión

y(σy,σyx)

• Trazar los ejes σ eje horizontal y σ eje vertical ubicados estratégicamente.

• Localizar los puntos “x” y “y” en el plano σ eligiendo una escala adecuada.

• Unir los puntos “x” y “y” con una línea recta.

• Trazar el círculo de Mohr con un compás haciendo centro en el punto de intersección del eje σ con la línea que une los punto “x” y “y”

• Localizar todos los punto localizados en la figura obtener sus valores gráficamente.

Ejemplo

Para el estado de esfuerzos mostrado (cuadro elemental) .Calcular los esfuerzos principales, esfuerzo cortante máximo y direcciones de los mismos, muestre los resultados en cuadros elementales respectivos.

Calcular por el método gráfico

-300MPa

400MPa

200MPa

V- MÉTODO SEMIGRÁFICO DE OBTENCIÓN DE ESFUERZOS.

Pasos para resolver un problema.

• Obtener las coordenadas de los puntos “x” y “y”

x(σx,ðxy) = x ( , )

y(σy,ðyx) = y ( , )

• Trazar el círculo de Mohr.

-Trazar ejes σ y ð ubicando adecuadamente el eje ð ya que el esfuerzo σ conviene colocarlo a la mitad.

-Escogiendo una escala adecuada ubicar los puntos “x” y “y”

-Unir los puntos

-Trazar el círculo haciendo círculo en la intersección. Localizar los puntos y zonas de interés.

• Calcular los esfuerzos σ1,σ2. ðmax

• Por medio del triángulo originado en el círculo de Mohr cuya hipotenusa es el eje x

x

σprom = (σx+σy)/2

2ð __

C F Fx = |ðxy|

__

CF = |σx| - |σprom|

Cx = Fx2 + CF2

__

Sen 2ð= Fx / Cx

2ð= sen-1 Fx/Cx

5.3 Caso especial de esfuerzos en el mismo cuadrante

Pasos para resolverlos

• Obtener σx , σy, ðxy

• Establecer los puntos x( , ) y( , )

• Trazar el círuclo de Mohr

• Ubicando los ejes σ y ð

• Ubicar puntos “x” y “y”

• Trazar la línea que los une

• Trazar el círculo C1 y ubicar σ1 σ2 donde σ1 será más positivo y σ2 más negativo

• Trazar C2 haciendo centro en las coordenadas (σ2/2 ó σ1/ σ2 ) (σ2 /2, 0) si el C1 si el queda en la parte positiva del eje σ ó (-σ2 /2, 0) si el C1 queda en la parte negativa del eje σ

• Trazar C3 haciendo centro en

(σ1/2, 0), si el C1 queda en la parte positiva del eje σ

(σ3/2, 0), si el C1 queda en la parte negativa del eje σ

• Ubicar los puntos principales

• Calcular esfuerzos

Resolviendo el triángulo

x

σprom OC1

OC1 = (σx+σy)/2

C1 I xp = |ðxy|

C1p = σx-OC1

_

C1x = C1p2 + xp

Cálculo de esfuerzos

__ _

σ1 = OC1 + C1x

__ _

σ2 = OC1 - C1x

σ3 = 0

ðmax = σ1 /2

ðmax = (σ1 ð σ2 )/2

Ejemplo

Para el estado de esfuerzos mostrado (cuadro elemental) .Calcular los esfuerzos principales, esfuerzo cortante máximo y direcciones de los mismos, muestre los resultados en cuadros elementales respectivos.

Calcular por el método gráfico

120

40

VI- CASO SPECIAL DE ESFUERZOS COMBINADOS.

6.1 Teoría

• La primera combinación a considerar es la flexión con tensión o compresión directa. En cualquier problemas de esfuerzo combinado conviene visualizar la distribución del esfuerzo producido por diversos componentes del patrón del esfuerzo total.

6.2 Ejemplos

Se utiliza un tubo de acero cedula 40 de 2 ½ in como soporte de un tablero de baloncesto como se muestra en la figura. Esta firmemente afianzado en el suelo. Calcule el esfuerzo que se desarrollaría en el tubo si un jugador de 230lb se cuelga de la base de la canasta.

10ft 4ft F= 230lb

Tubo ced. 40 de 2 ½

III- Análisis de esfuerzos

A B

P

σp= P/A

σm=MCi/I

Tensión Compresión σm=MCd/I

Ci • Cd

σA σB

Calcule el esfuerzo máximo en la viga de grúa mostrada en la figura a la mitad de la duela de 12kN

1.5m

Viga W16x12 32°

C

B

12kN

1.2m 1.2m

Análisis de fuerzas

a) Diagramas de fuerzas

A B FCD

Ax ð

Ay

12kN

1.2m 1.2m

Análisis de fuerzas internas

12kN

Ax TCDx

Ay TCDy

(+) Mmax

(-)

D.F.C

Mmax

D.M.F

( - ) ( - ) TCDx

IV Análisis por resistencia

σp= -P/A σM=MCs/I σc = -σp - σM

E

Ax

F

Ay σp= -P/A σM=MCs/I σt = -P/A + MCi/I

Conclusiones

En el transcurso de la elaboración de este manual aprendimos la importancia que tiene en el ramo de la Ingeniería la Mecánica de Materiales. Además se entendió adecuadamente como resolver los problemas siguiendo procedimientos adecuados para hacer la resolución más entendible y precisa en la aplicación de dichos problemas así como entenderlo desde su planteamiento. Este material nos dejo muy claro la teoría para cada tema ya mencionado en el manual y se hace mas clara y exacta en la aplicación de la Mecánica de Materiales.

Universidad Autónoma de Nuevo León Mecánica de Materiales II

8

III- Análisis de rigidez.

De la tabla A-22 teniendo en cuenta que P es al centro.

Ymax= -PL3 / 48EI

250mm

Sección Transversal 100mm

I= bh3 / 12

I= [(250 x 10-3m)(100x10-3m)]/12

I= 2.08 x 10-6m4

b) EAL= 207x 109 N/m2 Tabla A-13

Sustituyendo los valores.

Ymax=[(15x103N)(1.6m)3]/[48(207x109N/m2)(2.08x10 -6m4)]

Ymax= 2.97x10-3m o 2.97 mm

IV- Conclusiones

Ymax=(1/360) L

Ymax=(1.6x10-3/360) = 4.4mm

4.4>2.97

Si cumple con las especificaciones.

III- Análisis de rigidez.

Fórmulas

Caso 1 Y1= -PL3/48EI

Caso 2 Y2= -5W2L42/384E2I2

YT= Y1+Y2

b)Valor de cada término.

L1=L2 = (16ft)(12in/1ft)= 192in

E1=E2 = 30x 106 lb/122 Tabla A-13

I1=I2 = 103 in4

P1 = 2500 lb

W2= 800 lb/ft ( 1ft /12in )= 66 lb / in

c) Calcular Y1 Y2

Y1= -2500lb (192in)3/48 (30 x 106 lb/122) (103 in4)

Y1= -0.911 in

Y2= -5 (66.66 lb/in)(192in4)/384 (30x106 lb/in2)(103in4)

Y2= -0.382 in

YT = (-0.911in)+(-0.382in)

YT = -0.501 in

Calcular Ymax

Ymax= 1/360 L = 192in/360 = 0.533 in

YT< 5.33

La viga si cumple con las especificaciones

II- Aplicación d la ecuación de los tres momentos.

Número de tramos y ecuaciones.

L= n-1 n - # de apoyos

e = L-1

Ecuación para calcular la reacción.

_

(1 ) M1L1 + 2M2 (L1+L2) + M3L2 + 6A
1/L1 + 6A2 b2 /L2

Calcular los términos de la Ec. 1

L1= 8m

+

M1= (ðM)izq.(12)(2) -(30)(2)(1)

M1= -84kN-m

M1L1= -672 kN-m2

L2= 7m

2M2 (L1 + L2 ) = 2M2 (7 + 8 ) = 30M2

+

M3L2= (ðM)der. = 0

M3L2= 0

6A
1/L1 = Pa/L1 (L12 - a12) + Pa/L1 (L12 - a12)+ WL13/4

6A
1/L1 = 15(2)/8 + (82 - 22) + 18(6)/8 (82 - 62) + 30(8)3/4

6A
1/L1 = 4443 kN-m2

_

6A2 b2 /L2 = Pb/L2 (L22 - b2) + WL23/4

_

6A2 b2 /L2 = 4664.64kN-m

Sustituir términos.

-672 + 30M2 + 4443 + 4664.64=0

Solución de ecuaciones resultantes.

M2= (672 - 4443 - 4664.64) 30

M2= -281.18kN-m

II- Aplicación d la ecuación de los tres momentos.

Número de tramos y ecuaciones.

L= n-1 n - # de apoyos

e = L-1 L = 2 e= 1

Ecuación para calcular la reacción.

_

(1 ) M1L1 + 2M2 (L1+L2) + M3L2 + 6A
1/L1 + 6A2 a2 /L2

Calcular los términos de la Ec. 1

M1L1= imaginario =0

2M2 (L1 +L2 )= M2 no se puede deteminar por el empotramiento

2M2 (L1 +L2 )= 3.6M2

+

M 3L 3 = (ðM)der.=0

M 3L 3 = 0

6A
1/L1 = imaginario =0

6A
2/L2 = WL2/4 = [(20kN/m) (1.8m)2]/4 =29.16kN-m

d) Sustituir los términos.

3.6M2 + 29.16 kN-m =0

e) Resolver ecuaciones

M2= -29.16 /3.6

M2= -8.1 kN-m

III- Análisis de fuerzas.

Momento de continuidad

+

M2= (ðM)der = -8.1 kN-m

RB (1.8) - {20 (1.8)[(1.8)/2]}= -8.1

RB = -8.1+{20 (1.8)[(1.8)/2]}

1.8

RB= 13.5kN

σ = Esfuerzo normal directo

P = Carga

A = Área

Sección crítica: Sección donde se presenta el máximo esfuerzo cualquier sección del tramo más cargado.

Punto crítico : La más propensa para fractura por cuestiones de la carga cualquier sección.

Sección crítica: Cualquier sección del tramo más cargado.

Punto crítico: Cualquier punto de la periferia.

Esfuerzo normal por flexión

σ= Mc / I

Mc= Distancia del eje neutro a la fibra más alejada.

I = Inercia

Sección crítica : Sección de fuerza cortante máxima

Punto crítico: Generalmente es sobre el eje neutro cuando hablamos de un cuadrado

P= 6kN

T= 4kN-m

C σ ð P / A = 6kN / [0.7854(50x10-3)2m2

ð = 16 T / ðd3 = 16( 4x 103N-m) / ð ( 50 x 10-3)m3

= 64000N-m / 3.9 x 10-4m2

=164 x 10 6 N/m2

II - Análisis de fuerzas

a)

ðMB= 0

20(3) + RD (8) - 30 (6) - 8 (2) (4) = 0

RD= 23 klb

b)

ðFy= 0

RB + RD -20-30-2(8)=0

RD = 23klb

IV Análisis de rigidez

Mx = EI d2y / dx

Mx= (ðM)izq. } Corte

Mx= -20x + 43 (x-3) -30(x-9) - [(x-3)(x-3)]/2

EI d2y / dx2 = 20x + 43(x-3)-30(x-9)-(x-3)

1a Integral

" undu = un+1/n+1 + L

EI dy / dx= (-20/2) x2 + 43/2 (x-3)2 - 30/2 (x-9)2 - 1/3(x-3)3 + c1

EI dy / dx= 10x2 + 21.5(x-3)2 - 15(x-9)2-1/3(x-3)3 + c1

2a Integral

EIy= -10/3 x3 + 21.5/3 (x-3)3-5(x-9)3-1/12(x-3)4 + c1x + c2

y= -306.8748 lb-ft3

EIy=16.62 klb-ft3

EIy=113.5 klb-ft3

I= (306.874)(1x103)(12) / (30x106)(0.05in) = 354in4

20klb Perfil de la viga

10ft

20klb

A

RA

W18x55 Ymax =?

200klb-ft Diagrama de la ecuación general de momentos (D.E.G.M)

A

20

x

II- Análisis de fuerzas

(a) + ðMA =0 (b) + ðFy =0

MA- 20(10) =0 RA -20 =0

MA = 200 klb-ft RA= 20 klb

III- Análisis de rigidez.

(1) Mx= (ðM +)izq

Mx= EI dy2/dx2

1a Integral 2a Integral

EI dy2/dx2 = 20/2 x2 - 20 x + c (γ) Eiy = 10/3x3 - 200/2 x2 + c1 + c2

(ð) EI dy/dx = 10x2 -20x + c1

Calcular el valor de las constantes.

Puntos de apoyo

Punto A Punto A

x=0 y=0 x=ð

Sustituir en Ecuación γ ð=dy/dx=0

0=0-0-c1(0) + c2 Sustituir en Ecuación ð

c2=0 c1=0

(ð) EI dy/dx = 10x2-200x

(ð) EI y = 10/3x3-100x2

Deflexión máxima

Punto B Tabla A-7 Sustituir en Ecuación γ

x= 10ft I= 890 Ymax= [10/3(10)3-100(10)](10)3(12)3 / (30x106)(890)

y= Ymax W18x55 Ymax = 0.151 in

Para acero

E= 30x 106lb/m2

IV Conclusiones

Cumple con las especificaciones

Ymax = 1/360 Ymax 10(12)/360 = 0.33 in Si cumple

Caso III

Calcule la máxima deflexión de la viga y diga donde ocurre utilizando el método de la integración sucesiva o doble integración. La viga es un perfil patín ancho W24x76

II Diagramas.

10ft 20klb

4klb/ft

20klb

MA

4klb/ft

10ft

RA

4klb/ft

x

60klb

Esfuerzo normal en la dirección de u (σu)

σu= ½ (σx + σy) + ½ cos 2ð -ðxysenð

Esfuerzo cortante que actúa en la cara del elemento

ðuv= - ½ (σx - σy) senð - ðxycosð

ð= ½ tan-1 [-ðxy / ½ (σx - σy)]

Ángulo que localice el esfuerzo principal máximo o sea

σu = σmax = σ1

Ángulo que localice el esfuerzo cortante máximo ðuv= ðmax

ð= ½ tan-1 [ ½ (σx - σy) / ðxy]

Esfuerzo principal máximo(σ1) σmax = σ1 = ½ (σx - σy) + [ ½ (σx + σy) ]2 + σxy2

Esfuerzo principal mínimo (σ2) σmax = σ1 = ½ (σx - σy) + [ ½ (σx + σy) ]2 + σxy2

Esfuerzo cortante máximo (ðmax) ðmax= + - [ ½ (σx - σy) ]2 + (ðxy)2

Esfuerzo normal que actúa en el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo σprom σprom = σx+ σy / 2

III- Análisis de fuerzas.

ððMA=0

MA - (4klb/ft)(10ft)(5ft) -20klb(10ft) =0

MA= 200klb-ft + 200 klb-ft

MA= 400klb-ft

ððFy=0

0= RA-20klb -4klb/ft+ (10ft)

RA= 60klb

IV Análisis de rigidez.

(1) Mx= +(ðM)izq.

Mx= 60(x) - 4x(x/2) - 400x0

(2) Mx= EI d2y/dx

(ð) EI d2y/dx2 = 60x-2x2-400x0

1a Integral

EI dy/dx= 60/2 x2 - 2/3 x3 -400x + c1

(ð) 30x2- 2/3 x3-400x+ c1

2a Integral

EIy= 30/3 x3 -2/3 x4- 400/2 x2 + c1x + c2

(γ) EIy = 10x3 - 1/6 x4 - 200x2 + c1x + c2

Calculo de constantes

x=0 c1x=0

y=0 c2=0

EIy = 10x3 - 1/6 x4 -200x2

Ymax= (10x3 - 1/6x4 -200x2) / EI

E= 30x106

I =2100in4

Ymax= [ 10(10)3 - 1/6 (10)4 -200(10)2] (103)(123) / (30x106)(2100)

Ymax= 0.32 in

V Conclusión

Y= 1/360 = 120 in 7 360 = 0.33 in

Si cumple con las especificaciones.

D=50 mm

L= 500mm=0.5m

Q=4kN

T=4kN-m

P=4kN

RA=Rc= P/2=2kN

D.M.F

M= (ðM+) izq

MB = RA (L/2)

MB= 2kN (0.5m/2)

MB= 0.5 kN-m

Maxial

S.N

D.F.C

Momento determinado por el signo

Diagrama de estados de esfuerzos

Diagrama axial Esfuerzo cortante Esfuerzo máximo Cs compresión

σmax Ci

Momento Esfuerzo máximo tracción

Punto D

Axial

σ= 4 x10 3 N

ð/4 ( 50x10-3)2m

σ= 2.03 x 106 N/m2

Cortante

0

Flexión

σ= MC/I = ( 0.5x103N-m)(25x10-3m)/ 3.06x10-7m4

σ= 40.8 MPa

I= ðd4/64 = ð(50x10-3m)4/64= 3.06x10-7m4

Torsión.

ð = 16T/ðd3= 16(4x103N-m)/ð(50x10-3m)3

ð = 164MPa

Punto E

Acial

Igual al punto D

Cortante

ð v= (4/3) (2x103)N

ð/4 (50x10-3)m2

ð v= 2000/1.96x10-3 (4/3) = 1.35MPa

Punto F

Axial

2.03 MPa

Cortante

0

Flexión

40.80+2.03 Sentidos = 42.8

Torsión

162.97 MPa

Si se llega a fracturar la pieza debido a las cargas será en el punto F

σx= 400MPa

σy= -300MPa

σxy= 200MPa

a) Diagrama de fuerzas

4ft

F

M

P = Fuerza interna

Carga axial

Giro

Movimiento

σx= 400MPa

σy= -300MPa

σxy= 200MPa

I- Análisis de fuerzas externas (No necesario)

Diagrama de fuerzas

Aplicación de condiciones de equilibrio

Resultados

II- Análisis de fuerzas internas.

Punto de fractura

F F

Rx d

Ry M

ðFx=0

ðFy=0

ðM=0 Respecto al corte.

-Ahora obtener esfuerzo

ðð

σ1= |σprom| + |Cx|

__

σ1= |Cx|- |σprom|

b) Aplicación de condiciones de equilibrio

ðFy=0

P-F =0

P=F

P= 230lb

ðM=0

F(4ft) -M

M= 4ft (230)

M= 920 lb.ft

M= 11040lb-in

Punto B crítico

σ= -P/A - MC/I

σ= -P/A - MC / S = (-230lb/ 1.704in)-(11040lb-in / 1.064in2)

σB = 10510.9 lb/in2

σB = -P/A - MC/I

σA = P/A -MC/I

ðTan = c.o / c.a = 1.5 / 2.4

ð= tan-1 1.5/2.4 = 32°

b) Aplicar las condiciones de equilibrio

+ðMA=0

0= -12(1.2) + FCDsen32° (2.4)

FCD=11.32 kN

ðFy=0

Ay= -12kN +FCDsen32°

Ay=6kN

Mmax= Ay (1.2) 7.2kN

Ax= TCDx = 9.59 kN

Ay= TCDy = 6kN

Viga W6x12 S= 7.31 in3

Apéndice A-7 A= 3.55in2

σc E σc

Punto E

σc= -P/A - M/S

S= 7.31 in3 (25.4mm/1in)3 = 1.19x 105 mm3

A= 3.55in2 (25.4mm/1in)2 = 2.29x103mm2

σc= [-9.59x103 / 2.29x103 mm2 ]- [7.2x103N/ 1.19x105mm3]

Conclusión

El máximo esfuerzo permitido es 4.247 MPa