Unidad III

Análisis de esfuerzo y deformación.

3.1 Esfuerzo en una Dirección.

Para entender este tema hay que saber lo que se indica en el siguiente dibujo

Una bara prismática sometida a una fuerza axial F de tensión, el esfuerzo en la sección recta (a-a) normal al plano YZ y cuya área es A, tiene un valor uniforme: F

0z = A

Este esfuerzo 0z es la medida de los esfuerzos internos desarrollados por la fuerza F en la sección recta A y representa la acción reciproca entre las dos porciones de barra producidas por la sección recta A debe ser igual a la fuerza F. Si se considera una sección oblicua (aI-aI) normail también al lano YZ y cuya áreaes A , obtenida por una rotacón l contra las manecillas, de la sección recta, la fuerza F desarrollará en ella esfuerzos internos cuyo valor uniforme es fz. Como A es mayor que A, fz es menor que 0z,

F _ A F cos l l = 0 fz = 0z

Fz = A A = cos l fz = A = 0zcos l para l = /2 fz = 0

La ecuación muestra que la fuerza F produce un esfuerzo máximo en la sección recta. La suma de esfuerzos fz en la sección oblicua A debe ser también igual a la fuerza F.

El esfuerzo fz en la sección oblicua puede descomponerse en dos esfuerzos: 0n perpendicular a a la seciá, aI-aI y llamado esfuerzo normal y tangencial a la sección aI-aI y lllamado esfuerzo cortante como se muestra en la siguiente figura.

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Si la fuerza F es de compresión, 0z tiene signo negativo y los esfuerzos normales y cortantes resultan con el signo correspondiente. Los signos de los esfuerzos normal y cortante seguirán la convención que muestra la suiente figura.

El esfuerzo normal de tensión es positivo y el de compresión es negativo; el esfuerzo cortante es positivo al de tensión es positivo cuando parece girar según las manesilas y es negativo en el caso contrario.

3.2 Círculo de esfuerzos

El círculo que muestra la siguiente figura tiene su centro en el eje Z y es tangente al eje Y y su ecuación es :

CK2 + GK2 = CG2 (z - R)2 + y2 y2 = z D - z2 D = z2 + y2

Z

Esta ecuación queda satisfecha si se dan los valores siguientes:

D = oz z = 0n = 0z cos 2 l y = = 0z sen l cos l

Luego, el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas son (0n - ) y (0'n - `) es el círculo mostrado en la figura anterior en el cual el diametro es 0z. A cada punto del círculo de sfuerzos, corresponderá una sección normal al plano YZ en la barra y la abscisa y la ordenada del punto en el círculo, séran los esfuerzos normal y cortante respectivamente en la sección correspondiente de la barra. Los esfuerzos normal y cortante en los planos (A - O) (G - G') y (H - H') de la barra, serán las abcisas y ordenadas respectivamente, de los puntos correspondientes en el círculo como se muestra en la siguiente figura.

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3.3 Deformaciones en el caso de esfuerzo en una dirección.

Una barra sostenida a una fuerza axial F de tensión, actúa en la direción del eje Z un esfuerzo 0z que produce en la misma dirección un alargamiento unitario z y en las direcciones transversales X - Y produce contraciones x y y. Estas deformaciones unitarias se expresan:

Z = 0z x = y= - 0z

E E

Y son las deformaciones lineales de una partícula unitaria (1x1x1) tomada de la barra, cuyas dimensiones finales serán : (1= z) (1 - x) (1 - y) y el volumen final de la partícula será, despreciando las potencias segunda y tercera de :

(1 = z) (1 - x) (1- - y) = 1+ z - x - y

La variación de volumen de la partícula, que es la variación unitaria de volumen se representa

por : = z - x - y = 0z - 2 0z = 0z (1 - 2 ) = z (1 - 2 )

E E E

Si la barra está sometida a compresión, se invierten los signos de 0 y .

3.4 Esfuerzos en dos direcciones perpendiculares.

El cuerpo que muestra la siguiente figura está sometida a la acción simultánea de dos fuerzas axiales de tensión perpendiculares entre sí: F según el eje Z y F según el eje Y. El esfuerzo en la sección recta A es 0z y el esfuerzo en la seción recta B es y . Considérese una partícula unitaria limitada por las caras A y B perpendiculares al plano YZ, en las cuales actuarán respectivamente los esfuerzos 0z y 0y que muesra la siguiente figura

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En la seccón G normal al plano YZ y que forma con la sección A un ángulo l medido contra las manesillas, 0z producira los esfuerzos:

0'n = 0z cos2 l ½ 0z sen 2 l y 0y producirá: 0n = 0y sen 2 l = - ½ 0y sen 2 l

En las sección G' normal a la sección G y al plano YZ y que forma con el plano B un ángulo l medido contra las manecillas, 0z producirá los esfuerzos:

0'n = 0z sen2 l ½ 0z cos2 l y 0y producirá: 0n = 0y cos2 l = - ½ 0y sen 2 l

Los esfuerzos totales en los planos G y G' son los mostrados en la figura anterior en la suposición de que 0z es mayor que 0y y tendrán los valores siguientes:

en el plano G 0n = cos2 l = 0y sen2 l = sen 2 l (0z - 0y)

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en el plano G' 0n = sen2 l = 0y cos2 l `= sen 2 l (0z - 0y)

2

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Unidad IV

Círculo de Mohr (Esfuerzos)

El círculo de esfuerzos para la partícula sometida a 0z y 0y. es un razo formado por los tres círculos (A-B), (A-O) Y (B-O) de la figura siguente. El Círculo (A-B) corresponde a las secciones normales al plano YZ; el círculo (A-O) a las seciones normales al plano XZ y el círculo (B-O) a las secciones normales al plano XY. Los puntos situados en el área comprendida enre los tres círculos corresponden a secciones oblicuas cualesquiera. Los planos A y B se laman principales por soportar esfuerzo normal máximo y esfuerzo cortante nulo; los planos H, J y K son también importantes por soportar esfuerzo cortante máximo.

4.1 Deformaciones en el caso de dos esfuerzos perpendiculares.

En la partícula unitaría sometida a los esfuerzos de tensión 0z y 0y,que son perpendiculares entre sí, 0z produce un alargamiento 0z/E según el eje z y acortamientos - 0z/E según los ejes X y Y; 0y produce un alargamiento 0y/E según el eje Y y acortamientos - 0y/E según los eje X y Z.

Las deformaciones lineales da la partícula unitaria según los res ejes se designan por x, y, y

Z y sus valores son:

X = - 0z - 0y y = 0y - 0z z = 0z - 0y

E E E E E E

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Caso particular.

La partícula unitaria está sometida a dos esfuerzos iguale pero de signo contrario; 0z es tensión y 0y es compresión y 0z = - 0y

El cículo de esfuerzos es el mostrado en la figura anterior, que está formado por tres círculos, de los cuales el mayor es el diámetro AB que corresponde a las seciones normales al plano YZ. Los puntos A y B del círculo corresponden a las seccioines rectas A y B y los puntos H y H' del cículo corresponden a las secciones H - H' que forman Ángulos de 45 con las secione A y B. Las cordenadas del punto H son 0n = 0 y = 0z y las del punto H' son 0'n = 0 y `= - 0z.

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Esfuerzos en tres direcciones perpendiculares.

La siguiente figura muestra una parícula unitaria sometida a esfuerzos 0z, 0y, y 0x en tres direcciones perpendiculares y tales que 0z > 0y > 0x y los tres son signo positivo

Entre todas las seciones que se pueden establecer en la partícula, las más importantes sos A , B y D ya que son secciones rectas y en ellas el esfuerzo normal es máximo y el esfuerzo cortante es nulo; por esta razón se llaman planos principales y los esfuerzos normales que en ellos actúan se llaman esfuerzos principales. Según la siguiente figura el círculo AB corresponde a las secciones normales al plano Yz; el círculo AD corresponde a las secciones normales al plano XZ y el círculo BD corresponde a las seciones normales al plano XY.

Deformaciones en el caso de tres esfuerzos perpendiculares.

Las deformaciones que los tres esfuerzos 0z, 0y y 0x producen en las tres direcciones Z, Y y X

Puede tabularse en la forma siguiente:

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dirección Z dirección Y dirección X

0z produce + 0z - 0z - 0z

E E E

0y produce - 0y + 0y - 0y

E E E

0x produce - 0x - 0x + 0x

E E E

La suma de estas deformaciones dará las deformaciones lineales según los ejes Z, Y y X en la partícula unitaria:

z = 0z - 0y - 0x y = 0y - 0z - 0x x = 0x - 0z - 0y

E E E E E E E E E

Suponiendo positivos los valores de , el volumen final de la partícula, despreciando las potencias segunda y trecera de es :

(1+ z) (1+ y) (1+ x) = 1 + z + y + x y la variación unitaria de volumen :

= z + y + x = (1 -2 ) (0z + 0y + 0x)

E

En el caso particular en que los tres esfuerzos 0z,0y y 0x son iguales y con signo negativo:

- 0z= -0y= -0x= -0 = - 3 0 (1-2 ) y si en esta expresión se hace K = E

E 3(1 - 2 )

Se obtiene: = - 0 K = - 0

K

K es la relación entre el esfuerzo compresivo y la correspondiente deformación unitaria de volumen por esta razón recibe el nombre de módulo de elasticidad de volumen.

Esfuerzos principales.

En una partícula sometida a esfueros, existen planos en los cuales el esfuerzo normal en máximo o mínimo y el esfuerzo cortante es nulo. Esos planos se llaman principales y los esfuerzos normales que en ellos actúan se llaman esfuerzos principales. En los círculos de esfuerzo de las siguientes figuras se observa que los puntos A,B y D cuyas abcisas son máximas o mínimas y cuyas ordenadas son nulas, corresponden a secciones A, B y D sometidas sólo a esfuerzos normales, ya que en ellas los esfuerzos cortantes son nulos. Las secones A,B y D son por lo tanto seciones prncipales y los esfuerzos normales que en elas actuán son los esfuerzos principales en la partícula.

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Supongamos ahora que del intrior de ua pieza estructural se extrae ena partícula y que ésta se halla sometida a esfuerzos normales y cortantes en dos direcciones perpendiculares: en las caras G actúan la tensión 0z y el esfuerzo cortante positivo ; en las caras G' actúan la tensión 0y y el esfuerzo cortante positivo ; en las caras G' actúan la tensión 0z y el esfuerzo cortante negativo `

Como se muestra en las siguientes figuras:

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Indice.

Unidad III

Análisis de esfuerzo y deformación………………………………………………………………..………..……………………………………3

3.1 Esfuerzo en una dirección……………………………………………………………………..………………………………..………………..3

3.2 Círculo de esfuerzos……………………………………………………………………………………………..………………………………….4

3.3 Deformaciones en el caso de esfuerzo en una dirección……………………………………………..……………….....5

3.4 Esfuerzos en dos direcciones perpendiculares……………………………………………………………..………………….…5

Unidad IV

Círculo de Mohr (esfuerzos)……………………………………………………………………………………………………………………………7

4.1 Deformaciones en el caso de dos esfuerzos perpendiculares…………………………………..………………………7

4.2 Caso partícular…………………………………………………………………………………………………………………………………………….8

4.3 Esfuerzos en tres direcciones perpendiculares…………………………………………………………………………………..9

4.4 Deformaciones en el caso de tres esfuerzos perpendiculares…………………………………………………………9

4.5 Esfuerzos principales…………………………………………………………………………………………………………….………………..10

Conclución….…………………………………………………………………………………………………………………………………….………………...12

Bibliografía………………………………………………………….………………………………………………………………………..…………………...13

Conclución.

Haciendo el resumen de este trabajo me quedo mas claro o que fueron estas dos últimas unidades lo que son los esfuerzos y deformaciones al igual que los círculos de esfuerzo, a mi en lo particular me gusto este curso ya que entendi bien los temas y pude resolver los problemas sin tanta dificultad como en otros cursos ya que la maestra tiene gran conocimiento e esta area y es arquitecta, tamien aprendi lo que significa esta materia aplicandola a la arquitectura ya que hicimos ejercios para comprender mejor esta materia como el ejercicio de los palillos.

Bibliografía.

Libro:Resistencia de Materiales

Capítulo IV Páginas. 87 - 121