ÍNDICE

CONDICIONES QUE GARANTIZAN EL PARALELISMO

Dos rectas en el espacio pueden estar situadas de tres distintas maneras:

Pueden intersecarse en un punto. En este caso, tienen que ser coplanarias.

Pueden no intersecarse y no ser coplanarias. En este caso, se llaman rectas alabeadas. Por ejemplo consideremos la recta L1, trazada desde la parte de atrás hasta el frente en el piso del salón de clase y la recta L2 trazada de lado a lado en el techo. Ésas son rectas alabeadas.

Finalmente, las dos rectas pueden estar en un mismo plano sin intersecarse. En este caso, decimos que las dos rectas son paralelas.

RECTAS ALABEADAS - DEFINICIÓN

Dos rectas que no están en un mismo plano se llaman rectas alabeadas

RECTAS PARALELAS - DEFINICIÓN

Dos rectas son paralelas, si (1) están en un mismo plano y (2) no se intersecan.

TEOREMA 9 - 1.

Dos rectas paralelas están exactamente en un plano.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

TEOREMA 9 - 2

Dos rectas en un plano son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

TEOREMA 9 - 3

Sea L una recta y P un punto que no esta en L. Entonces hay al menos una recta que pasa por P y es paralela a L.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

SECANTE A DOS RECTA - DEFINICIÓN

Una secante a dos recta coplanarias, es una recta que las interseca en dos puntos diferentes.

ÁNGULOS ALTERNO INTERNO - DEFINICIÓN

Se dan dos rectas L1 y L2, cortadas por una secante T en los punto P y Q. Sea A un punto de L1 y b un punto de L2, tal que A y B están en lados opuestos de T. Entonces, el ðAPQ y el ðPQB son ángulos alterno interno.

TEOREMA 9 - 4

Si dos rectas son cortadas por una secante, y si do ángulos alternos internos son congruentes, entonces los otros dos ángulos alternos internos son también congruentes.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

TEOREMA 9 - 5 EL TEOREMA AIP

Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

En la figura siguiente, los ángulos marcados a y a' se llaman ángulos correspondientes.

Análogamente, b y b' son ángulos correspondientes, lo mismo que c y c' y también d y d'.

Figura

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES - DEFINICIÓN

Si dos rectas cortadas por una secante de modo que el <x y el <y son ángulos alternos internos, y los ángulos <y y <z son opuestos por el vértice, entonces el <x y el < z son ángulos correspondientes.

POSTULADO DE LAS PARALELAS

Por un punto externo dado hay solamente una recta paralela a una recta dada.

Se observara que el postulado necesita solamente decir que la paralela es única, ya que hemos demostrado que la paralela existe.

TEOREMA 9 - 8 EL TEOREMA PAI

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

TRIÁNGULOS

TEOREMA 9 - 13

Para todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es 180.

Figura

Demostración: Se da el ð ABC. Sea L la recta que pasa por B, paralela a AC. Sean los ángulos <x, <x', <y, <y' y <z como se indican en la figura.

PROPOSICIONES RAZONES

1. m <x = m <x'. 1. Son ángulos alternos internos.

2. m <y = m <y'. 2. Son ángulos alternos internos.

3. m <ABD = m <z + m <y'. 3. Postulado de la adición de ángulos.

4. m <x' + m <ABD = 180. 4. Postulado del suplemento.

5. m <x' + m <z + m <y' = 180 5. Prop. 3 y 4.

6. m <x + m <z + m <y = 180. 6. Prop. 1, 2 y 5.

CUADRILÁTEROS EN UN PLANO

Figura

Enunciamos nuevamente la definición de cuadrilátero:

Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos no están alineados, y los segmentos AB, BC, CD Y DA se intersecan solamente en sus extremos, entonces la reunión de lo cuatro segmentos se llama cuadrilátero. Los cuatro segmentos se llaman lados, los puntos A, B, C y D se llaman vértices. Los ángulos <DAB, <ABC, <BCD y <CDA, se llaman ángulos del cuadrilátero.

El cuadrilátero mismo se indica por ðABCD. Los ángulos del ð ABCD se indican brevemente por <A, <B, <C y <D.

CUADRILÁTERO CONVEXO - DEFINICIÓN

Un cuadrilátero es convexo, si dos cualesquiera de sus vértices no están en lados opuestos de una recta que contiene a un lado del cuadrilátero

DEFINICIONES

Dos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan. Dos ángulos son opuestos, sí no tienen común un lado del cuadrilátero. Dos lados son consecutivos si tienen un extremo común. Dos ángulos son consecutivos si tienen común un lado del cuadrilátero. Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento determinado por dos vértices no consecutivos

Figura

Así, en el ðABCD, los siguientes pares de lados y de ángulos son opuestos: AB y CD, BC y AD, <A y <C, <B y <D. Algunos de os pares consecutivos son: AB y BC, BC y CD, <D y <A, <A y <B. Las diagonales del ðABCD son AC y BD.

TRAPECIO - DEFINICIÓN

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos.

Figura

Se observa que la definición permite la posibilidad de que ambos pares de lados opuestos sean paralelaos. Si eso sucede, tenemos un paralelogramo.

PARALELOGRAMO - DEFINICIÓN

Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual ambos pares de lados opuestos son paralelos,.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS - DEFINICIÓN

La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de cualquier punto de una de ellas a la otra.

TEOREMA 9 - 22

El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud.

De otro modo

Se da el ð ABC. Si D y E son los puntos medios de AB y BC, respectivamente, entonces DE es paralelo a AC y DE = ½ AC.

Figura

Demostración: Sea F el punto del rayo opuesto a ED tal que EF = DE. Ahora, tenemos la situación descrita por las marcasen la figura. La notación en la demostración siguiente corresponde a la figura:

PROPOSICIONES RAZONES

1. EF = DE 1. Definición de F

2. EB = EC 2. Definición de punto medio.

3. <x = <y 3. Ángulos Opuestos por el vértice.

4. ð EFC ð ð EDB 4. LAL

5. <v ð <w 5. Ángulos correspondientes

6. AB // CF 6. Teorema 9-5 AIP

7. DB = FC 7. Lados correspondientes.

8. AD = DE 8. Definición de punto medio

9. AD = FC 9. Prop. 7 y 8

10. ðADFC es un paralelogramo 10. Teorema 9 - 20.

11. DE // AC 11. Definición de Paralelogramo.

12. DE = ½ DF 12. Prop. 1

13. DE = ½ AC 13. Prop. 12 y teorema 9-15

ROMBO, RECTÁNGULO Y CUADRADO

DEFINICIONES

Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre si.

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.

Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre si.

Figura

TEOREMA 9 - 26

La longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

TEOREMA 9 - 27 EL TEOREMA DEL TRIÁNGULO 30-60-90

Un ángulo agudo de un triángulo rec­tángulo tiene medida 30, entonces la longitud del lado opuesto es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

TEOREMA 9 - 28

Si la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto tiene medida 30.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

SECANTES A VARIAS RECTAS PARALELAS

Si una secante corta a dos rectas L1, L2 en los puntos A y B, entonces decimos que L1 y L2 determinan o marcan el segmento AB en la secante.

Figura

TEOREMA 9 - 29

Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante T, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier secante T' paralela a T.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

TEOREMA 9 - 30

Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, en­tonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.

Figura

PROPOSICIONES RAZONES

1.

2.

Página 12

___21011___1.doc

L1

L2

E

L1

L2

L

Q

P

R?

L1

L2

L

Q

P

L1

L2

L

P

L1

L2

T

a

P

a'

b'

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L1

L2

T

a

P

a'

Q

L1

L2

a

c'

d'

b

b'

a'

c

d

z

y

x

L1

L2

T

a

P

a'

Q

B

A

x

y

z

C

y'

x'

L

B

A

C

D

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A

C

D

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A

C

D

A

C

D

B

A

C

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D

A

C

B

D

B

A

C

D

y

E

x

F

w

v

B

A

C

D

B

A

C

D

B

A

C

D

B

A

C

D

M

B

A

C

M

30°

60°

B

A

M

C