ESTADISTICA

PIEGI / UTFSMCS

20 de Junio 2002

TAREA ESTADISTICA

DEMOSTRACIONES DE PROBABILIDAD

Tarea:

Si A y B son independientes:

Desarrollo:

Se sabe que si A y B son independientes: A y Bc son independientes

Ac y B son independientes

Ac y Bc son independientes

Sea T= A-B

W=B-A

Sean T y W independientes

P(T
W) = P[(A-B)
(B-A)]

P(T
W) = P[(A
Bc)
(Ac
B)]

P(T
W) = P[(A
Ac)
(B
Bc)]

P(T
W) = P[(
)
(
)]

P(T
W) = 0

P(T)*P(W) = 0 ecc.(1)

Por otro lado:

P(T) = P(A-B)

P(T) = P(A
Bc)

P(T) = P(A) * P(Bc)

P(W) = P(B-A)

P(W) = P(B
Ac)

P(W) = P(B) * P(Ac)

En consecuencia:

P(T)*P(W) = P(A) * P(Bc) * P(B) * P(Ac)

P(T)*P(W) = P(A) * (1 - P(B)) * P(B) * (1 - P(A))

Ordenando:

P(T)*P(W) = P(A) * P(B) * (1 - P(B)) * (1 - P(A)) ecc.(2)

No son independientes ya que ecc.(1) y ecc.(2) no son iguales.

2) ¿A y (B-A) son independientes?

Sea T= A

W=B-A

Sean T y W independientes

(T
W) = A
(B-A)]

(T
W) = A
(B
Ac)

(T
W) = A
Ac
B

P(T
W) = P(
B )

P(T
W) = P(
)

P(T
W) = 0

P(T)*P(W) = 0 ecc.(3)

Por otro lado:

P(T) = P(A)

P(W) = P(B
Ac)

P(T)*P(W) = P(A) * P(B
Ac)

P(T)*P(W) = P(A) * P(B) * P(Ac)

P(T)*P(W) = P(A) * P(B) * [1-P(A)]

P(T)*P(W) = P(A) * P(B) - P(B) * [P(A)]2 ecc.(4)

Como ecc(3) no es igual a ecc(4) no son independientes

3)¿A y (A-B) son independientes?

Sea T= A

W=A-B

Sean T y W independientes

(T
W) = A
(A-B)]

(T
W) = A
(Bc
A)

P(T
W) = P(A
A
Bc)

P(T
W) = P(A
Bc)

P(T)*P(W) = P(A) * P(Bc) ecc.(5)

Por otro lado:

P(T) = P(A)

P(W) = P(A
Bc)

P(W) = P(A) * P(Bc)

P(T)*P(W) = P(A) * P(A) * P(Bc)

P(T)*P(W) = [P(A)]2 * P(Bc) ecc.(6)

Como ecc(5) no es igual a ecc(6) no son independientes, excepto para P(A) = 1

4)¿B y (B-A) son independientes?

Sea T= B

W=B - A

Sean T y W independientes

(T
W) = B
(B-A)]

(T
W) = B
(B
Ac)

(T
W) = (B
B
Ac )

(T
W) = (B
Ac)

P(T
W) = P(B
Ac)

P(T)*P(W) = P(B) * P(Ac) ecc.(7)

Por otro lado:

P(T) = P(B)

P(W) = P(B - A)

P(W) = P(B
Ac)

P(W) = P(B) * P(Ac)

P(T)*P(W) = P(B) * P(B) * P(Ac)

P(T)*P(W) = [P(B)]2 * P(Ac) ecc.(8)

Como ecc(7) no es igual a ecc(8) no son independientes, excepto para P(B) = 1

5)¿B y (A-B) son independientes?

Sea T= B

W= A - B

Sean T y W independientes

(T
W) = B
(A-B)]

(T
W) = B
(A
Bc)

(T
W) = (B
A
Bc )

P(T
W) = P(B
Bc
A)

P(T
W) = P(

A)

P(T)*P(W) = P(
)

P(T)*P(W) = 0 ecc.(9)

Por otro lado:

P(T) = P(B)

P(W) = P(A - B)

P(W) = P(A
Bc)

P(W) = P(A) * P(Bc)

P(T)*P(W) = P(B) * P(A) * P(Bc)

P(T)*P(W) = P(B) * P(A) * [1 - P(B)]

P(T)*P(W) = P(B) * P(A) - P(A)* [P(B)]2 ecc.(10)

Como ecc(9) no es igual a ecc(10) no son independientes.