TRABAJO 1

PROBABILIDAD

CONCEPTOS BÁSICOS

Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.

Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.

Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.

Los fenómenos observables se pueden clasificar en:

Deterministicos. Se puede predecir el resultado.

Aleatorios. No se puede predecir el resultado.

Espacio Muestral (Resultados). Es el conjunto de todos los posibles resultados que hay en un fenómeno aleatorio. El espacio muestral se clasifica en:

Espacio muestral Discreto. Es aquel donde se puede contar el número de posibles resultados.

Espacio muestral Continuo. No se puede enumerar los posibles resultados, debido a que, el espacio muestral continuo esta definido sobre la recta de los números reales.

Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta característica común. Los eventos pueden ser:

Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.

Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.

Evento complementario. Es aquel evento que esta compuesto por los eventos que no están en este evento.

Eventos mutuamente excluyentes. Para que un evento sea mutuamente excluyente debe cumplirse que A"B=Ø.

Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral.

TÉCNICAS DE CONTEO

Principio fundamental del conteo.

Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuo con el procedimiento n2 maneras diferentes y si después de efectuados estos, n3 otro procedimiento de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de formas o maneras en los que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1·n2 · n3··· nr =nT.

El número total (nT) de formas o maneras en que puede realizarse un evento es

n1·n2 · n3··· nr =nT

Diagrama de árbol

Es un dibujo que se usa para numerar los resultados de un experimento, cuento con los siguientes elementos:

• Nodo inicial. Puede o no representar un evento.

• Nodos finales o terminales. Son el número de alternativas.

• Ramas. Une a dos nodos.

PERMUTACIONES

Es un arreglo en orden particular que forma un conjunto.

El número de permutaciones de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos distintos es

o, en forma factorial

donde:

n = tamaño de la población

r = tamaño de la muestra

• Permutaciones con repetición

COMBINACIONES

Una combinación es una selección de objetos en donde no importa el orden sino la pertenencia al grupo.

El número de formas en que r objetos pueden elegirse de un conjunto de n objetos distintos es

TEOREMA DEL BINOMIO

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CLÁSICA

Sea un experimento un espacio de resultados (S), con n resultados igualmente posibles en el cual define un evento A con nA resultados posibles en él, entonces

PROBABILIDAD FRECUENTISTA

Repetición de un experimento bajo las mismas condiciones muchas veces y repetirlo casi hasta que llegue a la probabilidad clásica, entonces

PROBABILIDAD SUBJETIVA

Un punto de vista alternativo que actualmente ha tenido popularidad es interpretar las probabilidades como evaluaciones personales o subjetivas. Tales probabilidades expresan una creencia sobre las incertidumbres involucradas, y se aplican especialmente cuando poca o ninguna evidencia; así que no hay otra opción que considerar evidencias paralelas (indirectas), conjeturas fundamentadas y quizás intuición u otros factores subjetivos.

Entonces

Probabilidad = O !! el evento no ocurrirá

Probabilidad = 1 !! seguro el evento ocurre

AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

Axiomas

P(A) " 0

P(S) = 1

Si A"B = Ø entonces, P(AUB)=P(A) + P(B)

Teoremas

0 " P(A) "1

P(Ø) = 0

P(A') = 1-P(A)

P(A) " P(B)

P(AUB)=P(A) +P(B) - P(A"B)

PROBABILIDAD CONJUNTA

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro.

Ahora

a lo anterior se le conoce como propiedad multiplicativa de ocurrencia conjunta.

EVENTOS INDEPENDIENTES

A y B son independientes sí y sólo sí cumplen con las siguientes condiciones

P(A/B) = P(A)

P(A"B) = P(A)P(B)

PROBABILIDAD TOTAL

Si B1,B2, B3, ...Bn, son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entonces

TEOREMA DE BAYES

VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es una función que va a relacionar cada uno de los resultados de los experimentos con los números reales. Las variables aleatorias se clasifican

Variables aleatorias discretas. Se puede contar el número de resultados posibles

Variables aleatorias continuas. No se puede saber el número de resultados posibles, ya que esta dentro de la recta de los números reales.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

• Función o distribución de probabilidad

Una función de probabilidad es una función que asigna un número P(x) a cada valor posible de x.

Propiedades:

P(xi) = 1

P(xi) " 0;

• Función de probabilidad acumulada

Propiedades:

0 " F(xi) " 1

F(xi) " F(xj) V xi " xj

P(x>x) = 1 - F(x)

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

• Función densidad de probabilidad

La función densidad debe cumplir:

f(x) "0

P(a" x"b)=

• Función de distribución acumulada

Propiedades:

0" F(xi)"1

P(a" x"b)= F(b) - F(a)

VALOR ESPERADO

• Caso discreto

E(x) = xP(x)

• Caso continuo

E(x) =

Propiedades:

E(c) = cte

E(cx) = cE (x)

La esperanza de una suma = la suma de las esperanzas

Esperanza de una función de variable aleatoria

Sea g(x) una función de x

• Caso discreto

E[g(x)] = g(x)P(x)

• Caso continuo

E[g(x)] =

Variancia

• Caso discreto

• Caso Continuo

MOMENTOS

Momentos con respecto al origen (')

• Caso discreto

'= xr P(x)

• Caso continuo

' =

Momentos con respecto a la media

• Caso discreto

• Caso continuo

VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS

VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS DISCRETAS

• Función de probabilidad conjunta

Propiedades:

P(x,y) "0

• Función de distribución acumulativa conjunta

• Funciones marginales de probabilidad

Px(x) =Pxy(x,y) ; Vy

• Esperanza

• Covarianza

• Coeficiente de correlación

• Distribución de probabilidad condicional

• Independencia estadística

P(x/y)=Px(x) ; V x,y

P(x,y)= Px(x)Py(y)

VARIABLE ALEATORIA CONJUNTA CONTINUA

• Función de densidad acumulativa conjunta

Propiedades:

f(x,y) "0

f(x,y) dxdy =1

P(a1"x1"b1, a2"y2"b2) =

• Función de distribución acumulativa conjunta

• Funciones marginales de probabilidad

• Esperanza

• Variancia

• Covarianza

• Coeficiente de correlación

• Independencia estadística

f(x/y)=fx(x)

F(x,y) = fx(x)fy(y)

• Distribución de probabilidad condicional

MODELOS ANALÍTICOS DE FENÓMENOS ALEATORIOS CONTINUOS

PROCESO DE BERNULLI

P(éxito) = P

P(fracaso)= q= 1 -P

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

¿Cuántos éxitos en n intentos?

E(x) =x = nP

2x =nPq

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

P(x;P) = Pqx-1

E(x) = 1/P

2= q/p2

DISTRIBUCIÓN DE PASCAL

* si k = 1 , entonces es Dist. Geométrica

E(x) = k/p

2x =qk/p2

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

¿Cuántos éxitos en n intentos?

=

2x =

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

E(x) =

2= 

= t= frecuencia media

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Es la distribución de probabilidad en el tiempo, espacio o distancia en la que ocurre el primer evento.

=

DISTRIBUCIÓN NORMAL (DE GAUSS)

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA

BIBLIOGRAFÍA

M.I. Marina esastigue R.

Apuntes de probabilidad (semstre 2000-3)

UNAM-FI

México, 20000