POLINOMIOS

Son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

Grado de un polinomio:

Es el grado del término de mayor grado.

El término de primer grado se llama término lineal.

El término de grado cero se denomina término independiente.

Valor numérico de un polinomio:

Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones indicadas.

Adición de polinómios:

Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Sustracción de polinomios:

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Expresiones algebraicas:_

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas.

Definición y ejemplos de polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

Ejemplo 8.- Son polinomios las expresiones siguientes:

a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a)

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 ; 2x + 3 son dos binomios

Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios.

Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.

Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8.

En el caso b) el grado es 4.

Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman también coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5 respectivamente en el caso b).

" Lo más habitual que nos vamos a encontrar son polinomios del tipo del caso b), por tanto con una sola letra, que habitualmente será la x". En este caso a la letra se le suele llamar variable.

Suma y resta de polinomios

La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrán sumar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma.

"A partir de este momento trabajaremos ya sólo con polinomios con una sola letra (x) por considerar que son los más utilizados en la práctica "

Ejemplo 9.- Para calcular la suma de los polinomios:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x )

Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está.

Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+--- - 5x3 --- x2 +2x
_____________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5

Por tanto: Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.

Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados.

Ejemplo 10.- Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )

Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base")

Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.

En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos polinomios de varios términos.

Ejemplo 11.-

En la práctica no suele indicarse la multiplicación como en esta imagen, sino que suelen colocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Así:

Ejemplo 12.- ( - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) · (x + 1) = (-2x4 +3x3 -2x2 + 5x - 2x3 + 3x2 - 2x + 5) = - 2x4 + x3+ x2 +3x + 5

Igualdades notables

Se denominan así a algunas operaciones con polinomios de especial interés ya que aparecerán frecuentemente en los cálculos.

Las más usuales son:

Cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2

Naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego:

(a + b)2 = (a + b ) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

" El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo "

De modo similar: (a + b)2 = a2 - 2ab + b2 ( igual que antes pero cambiando el signo central).

"En cualquier caso se debe tener en cuenta que el primer término "a" también puede ser negativo y por tanto cambiar el signo central". "En general se puede considerar siempre como una suma y para cada término asignarle el signo que le preceda (ver ejemplo 13 - b)

Ejemplo 13.-

a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y + (3y)2 = 4x2 +12xy + 9y2

b) (- x + 3)2 = (-x)2 + 2 · (-x) · 3 + 32 = x2 - 6x + 9

Suma por diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por la diferencia de ellos mismos:

(a + b) · (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2

Siempre recordamos que " suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados" .

Otras igualdades importantes pero menos utilizadas pueden son:

Cubo de una suma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

Cuadrado de un trinomio: (a + b + c)2 = a2+ b2 +c2 + 2ab+ 2ac + 2bc

División de polinomios

La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:

Con los polinomios dividendo y divisor ordenador de mayor a menor grado:

- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente
- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial
- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor. En la imagen siguiente se puede ver una división completa:

Ejemplo 14.-

Como se ve se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto - 3x + 2.