Posició relativa de rectes i plans

2.1. Posició relativa de plans

• Posició relativa de dos plans

Plans paral·lels

Si A / A' = B / B' = C / C' " D / D', els dos plans són paral·lels.

El sistema és incompatible, ja que rang M =1 i rang M' = 2, sent M la matriu del sistema i M' l'ampliada.

Si A / A' = B / B' = C / C' = D / D', els dos plans són coincidents.

En aquest cas rang M = rang M' = 1. Les dues equacions són iguals o proporcionals i representen el mateix pla.

Plans secants

Si rang M = rang M' = 2, que és el màxim rang que poden tenir les dues matrius, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

La solució general del sistema expressada amb un paràmetre ens dóna les dues equacions paramètriques de la recta r intersecció dels dos plans.

• Posició relativa de tres plans

El sistema és compatible indeterminat amb dos graus de llibertat. En aquest cas els tres plans són coincidents. Els vectors associats són linealment dependents.

El sistema és incompatible. Els tres plans no tenen cap punt en comú. Com a mínim dos d'ells són paral·lels i el tercer o és paral·lel als altres dos o coincideix amb algun d'ells.

El sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Els tres plans tenen en comú una recta determinada per dos qualssevol d'ells, l'equació del tercer pla és una combinació lineal de les altres dues.

El sistema és incompatible. Els tres plans no tenen cap punt en comú. Dos d'ells es tallen segons una recta, i el tercer pot ser paral·lel a un d'ells o determinar una altra recta. Els tres plans són secants dos a dos.

El sistema és compatible determinat. Els tres plans tenen un punt en comú. La solució del sistema ens donarà les coordenades del punt comú als tres plans. Es diu que els tres plans formen un tríedre.

2.2. Posició relativa de recta i pla

El sistema és compatible indeterminat. La tercera equació ha de ser una combinació lineal de les altres dues. Qualsevol punt de la recta verifica l'equació del pla. La recta r està continguda en el pla ".

El sistema és incompatible. La recta i el pla no tenen cap punt en comú. La recta r i el pla " són paral·lels.

El sistema és compatible determinat. La recta r i el pla " tenen un punt en comú. Es diu que són secants o incidents. La solució del sistema ens dóna les coordenades del punt intersecció.

En aquesta equació, A ( x0 + u1 ) + B ( y0 + u2 ) + C ( z0 + u3 ) + D = 0, la incògnita és . En resoldre-la ens podem trobar amb tres casos:

L'equació es verifica per a qualsevol valor de . No és tal equació, és una identitat. Això indica que la recta està continguda en el pla.

b) 0 = k k " 0

L'equació no té solució i el sistema és incompatible. Per tant, la recta i el pla són paral·lels.

c)  = k k " 0

L'equació té una solució única. El sistema és compatible determinat i la recta i el pla tenen un punt en comú. Per trobar les coordenades d'aquest punt cal substituir el valor de  obtingut en les equacions paramètriques de la recta.

2.3. Posició relativa de dues rectes

• Les rectes estan expressades com a intersecció de dos plans

Sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Les dues rectes són coincidents.

El sistema és incompatible. Les dues rectes no tenen cap punt en comú, un dels plans que conté una recta també conté l'altra. Les rectes són coplanàries i no tenen cap punt en comú, les dues rectes són paral·leles.

El sistema és compatible determinat. La solució del sistema ens dóna les coordenades del punt intersecció: les dues rectes són secants.

El sistema és incompatible. Les dues rectes no tenen cap punt en comú. Les rectes no són coplanàries: les dues rectes s'encreuen.

• Equacions de les dues rectes estan expressades en forma paramètrica

Considerem les rectes:

r: x = x0 +  u1 s: x = x1 + µ v1

y = y0 +  u2 y = y1 + µ v2

z = z0 +  u3 z = z1 + µ v3

Cal emprar lletres diferents per als paràmetres de cada recta.

En primer lloc, cal observar els dos vectors directors:

u = (u1, u2 u3) i v = (v1, v2 v3)

Si els dos vectors són linealment dependents, les dues rectes són paral·leles, i si comprovem que, a més, un punt d'una d'elles és de l'altre, les dues rectes són coincidents.

Descartats els dos casos anteriors, caldrà veure si tenen un punt en comú. Per això cal resoldre el sistema que s'obté en igualar les expressions respectives:

x0 +  u1 = x1 + µ v1

y0 +  u2 = y1 + µ v2

z0 +  u3 = z1 + µ v3

En aquest sistema les incògnites són els dos paràmetres  i µ:

u1 - v1µ = x1 - x0

u2 - v2µ = y1 - y0

u3 - v3µ = z1 - z0

És un sistema de tres equacions i dues incògnites.

Aquest sistema és compatible determinat; si rang M = rang M' = 2 i les dues rectes tenen un punt en comú, són secants.

Això implica que |M'| = 0

El sistema és incompatible si rang M = 2 i rang M' = 3. Les dues rectes no tenen cap punt en comú i, com que ja hem descartat que fossin paral·leles, les dues rectes s'encreuen.

En la pràctica es pot resoldre el sistema format per dues de les equacions i substituir la solució obtinguda pels dos paràmetres en la tercera equació. Si la verifica, el sistema és compatible; si no, no ho és.

2.4. Perpendicularitat

• Plans perpendiculars

Dos plans són perpendiculars si els seus vectors associats ho són.

• Recta i pla perpendiculars

Una recta és perpendicular a un pla i, recíprocament, un pla és perpendicular a una recta si el vector director de la recta i el vector associat al pla són linealment dependents.

• Rectes perpendiculars

Dues rectes són perpendiculars si ho són els seus vectors directors.

2.5. Projeccions ortogonals

• Projecció ortogonal d'un punt sobre un pla

El punt P' és la projecció ortogonal de P sobre el pla  si P' és el peu de la perpendicular a  per P.

• Projecció ortogonal d'una recta sobre un pla

La projecció ortogonal d'una recta r sobre un pla  és una altra recta r' que s'obté com a intersecció de  amb el pla que conté r i és perpendicular a .

• Projecció ortogonal d'un punt sobre una recta

La projecció ortogonal d'un punt P sobre una recta r és el punt P' intersecció del pla perpendicular a r per P amb la recta r.