Planimetría

1. Diferentes formas de determinación planimétrica de puntos

Por coordenadas cartesianas

El sistema de referencia son dos ejes perpendiculares entre si. Un punto P cualesquiera quedará definido por las dos distancias a los ejes x (abscisa) e y (ordenada).

Lo bueno de este sistema nos sirve tnt para el levantamiento como para el replanteo.

A la hora del replanteo, colocamos jalones (barras de hierro) alineados con el eje vertical de la mira formando lo q se denomina alineación. Se colocan del punto más alejado al más próximo, de manera q solo vea el jalón más próximo a traves de la mira.

Tras realizar la alineación se replantea y se marcan las líneas principales con yeso

Para los replanteos en construcción, para edificios pequeños, se utilizan las camillas, dejándolas lo más alejadas posibles para q trabajen las máquinas y si se pierde na linea, poder recuperarla. Para marcar sobre hormigón => azulete.

Si la obra es grande, mejor utilizar instrumentos topográficos.

Por coordenadas cartesianas => sistema de ejes cartesianos

x

Y

Por coordenadas polares

El sistema de referencia será un eje y un punto cualquiera (polo), de este modo un punto P quedará definido por la distancia del polo al punto y por el ángulo q forma con el eje de referencia

Y P α (OP, α)

Por coordenadas lineales bipolares

El sistema de referencia quedará definido por dos puntos y la recta q los une, así, el punto P quedará definido por las distancias existentes desde dicho punto a cada uno de los polos. P

A B (AP, BP)

Por coordenadas bipolares angulares

Idéntico al anterior. El P queda definido por los ángulos α y β

P

α β

A B (α,β)

Por doble intersección

2. Levantamiento planimétrico

Se llama levantamiento planimétrico al conjunto de operaciones a realizar para determinar en proyección horizontal una cierta extensión de terreno

Estas operaciones se dividen en :

• trabajos de campo

• trabajos de gabinete

Llamaremos trabajo de campo al conjunto de operaciones a realizar insitu y con los instrumentos correspondientes para conseguir una serie de datos (datos de campo)= para determinar una extensión de terreno en proyección horizontal

Llamaremos trabajos de gabinete al conjunto de operaciones a realizar en el gabinete (despacho, estudio,..) con los datos obtenidos de campo, para obtener los resultados buscados ( longitud, superficie, ángulos,..)

Métodos planimétricos

• método de coordenadas cartesianas

• método de descomposición de triángulos

• método de radiación

abierto

• método de itinerario cerrado

encuadrado

directa

inversa

• método de intersección trisección directa

trisección inversa

Los diferentes métodos planimétricos para levantar una determinada extensión de terreno están colocados en el cuadro de + a - precisión.

La precisión estará directamente relacionada con la mayor o menor extensión del terreno a levantar => los métodos más precisos sirven para levantar grandes superficies de terreno

De lo anterior dicho se deduce q los métodos más precisos son los de intersección y q sirven para levantar grandes extensiones de terreno

Los dos primeros, apenas se usan en topografía, relegándose principalmente a trabajos de agrimensura. En todo caso se utilizarán en topografía para levanta extensiones pequeñas o como auxiliares de los planimétricos

a. Método de coordenadas cartesianas

Se basa en la determinación planimètrica de puntos por coordenadas cartesianas.

Un polígono cualquiera quedará definido por las dos distancias perpendiculares entre si, existentes desde cada eje a los vértices del polígono.

El instrumento utilizado en este método será el longímetro.

Punto	X	Y
1	x1	y1
2	x2	y2
3	x3	y3
4	x4	y4

1 2

3 4

b. Método de descomposición de triángulos

Este método es fundamental en la determinación planimétrica por coordenadas bipolares lineales

Se usa el longímetro.

Punto	Base	Triangulo	Cord. Izq	Cord. Dch.
1	23	123	31	42
2	34	324	32	42
5	34	354	45	35
6	45	465	46	35

1 2

3 4 base

5 6

Se subdivide el polígono en dos polígonos + o - iguales, operando de dos formas independiente => 2 errores independientes

Se opera siempre teniendo en cuenta la base y la dirección en la q vamos

Método :

1. Se unen dos puntos cualesquiera del polígono obteniendo la base de partida o referencia, cuya única condición es q se divida en dos partes aprox. Iguales al polígono

2. A partir de dicha base se irán definiendo los distintos puntos del polígono, teniendo en cuenta q para cada punto iremos cambiando la base de referencia

El hecho de tomar la base de referencia por el centro, es con el fin de q los errores se subdividan en dos partes totalmente independientes, una por encima de la base y otra por debajo

En topografía hay q tener en cuenta a la hora de medir una magnitud cualquiera, q cuanto mayor sea el nº d operaciones intermedias, mayor será el error q cometamos y además, hay q tener en cuenta q al determinar cada punto del polígono en función de otro anterior, los errores se irán acumulando.

c. Método de radiación

Se basa en la determinación planimétrica de puntos por coordenadas polares

Los instrumentos q se utilizan son el goniómetro para la medición de ángulos y el estadímetro o longimetro para la medición de distancias (según se midan de forma indirecta o directa)

Consiste en hacer una estación en un punto + o - central del polígono a levantar, y desde dicho punto se visa cada uno de los vértices del polígono, obteniendo los ángulos horizontales correspondientes

Previamente a realizarlo habrá q orientar el aparato en una dirección determinada, así los ángulos horizontales, serán medidos a partir de dicha orientación

Una vez obtenidos los ángulos, por coordenadas polares solo quedará medir las distancias existentes desde la estación a cada uno delos vértices. Estas distancias se podrán tomar de forma directa o indirecta.

Estac.

PV

Áng. horiz

Dist. Horiz..

Coordenadas

Long Lados

Ängulo interior

X

Y

E

1

δE1

E1

X1

y1

12

α1

2

δE2

E2

x2

y2

23

α2

3

δE3

E3

x3

y3

34

α3

4

δE4

E4

x4

y4

45

α4

5

δE5

E5

x5

y5

51

α5

Y

1

5 2

X

4 32

α1 = δE2 - δE1 ,..... α4 = 400 + δE1 - δE5

A partir de los datos de campo se calcularán las coordenadas cartesianas de cada vértice del polígono

Se tomará como eje de ordenadas la dirección del origen de ángulos (y y como eje de abcisas la dirección perpendicular a la anterior pasando por la estación

Límite de percepción visual; la mínima distancia a la q podemos separar dos líneas paralelas para detectar q lo son. Está establecido en 0,2 mm. Actualmente este límite gracias a AutoCad, ya no es un problema.

Para calcular la longitud de los lados, podemos utilizar dos métodos:

- por Pitágoras; los lados los hacemos hipotenusas de triángulos rectángulos cuyos

lados son x2 - x1 ,e y1 + y2, respectivamente, de ahí d = (x2 - x1)2 + (y1 + y2)2

- para calcular las distancias por el método del coseno se aplica directamente:

d= E12 + E22 + 2 x E1 x E2 x cos α

A partir de los datos de campo dados calcular:

• coordenadas cartesianas de todos lo vértices del polígono

• ángulos centrales

• longitudes de ángulos

• representar gráficamente a 1: 500 el polígono

Est.	PV	Ángulos		Lectura hilos extremos		g	d	Coordenadas		Ángulo central	Lados polígono
								horiz..	Vert.							X	Y
	E	1	314.50	109.70	1.150	0.500
		2	364.50	113.22	1.195	0.700
		3	32.20	103.63	1.237	1.00
		4	42.00	92.08	1.230	0.600
		5	84.25	11.12	2.174	1.500
		6	146.50	88.62	1.632	1.000
		7	189.00	91.70	1.171	1.200
		8	223.25	108.34	1.373	0.800
		9	257.50	112.54	1.150	0.500
		10	281.00	92.84	1.372	1.000

Enlace de estación

En aquellos casos q por algún motivo exista algún punto q no pueda ser visado por la estación, se recurrirá a una estación auxiliar desde la q si podamos divisarlo.

Esta estación E2, debe situarse de forma q sea visible desde E1 y a su vez de manera q desde ella podamos visar los puntos no alcanzados desde la primera estación

Con el instrumento situado en E1 y orientado en una dirección cualquiera visando todos los puntos alcanzados desde dicha estación (incluyendo la segunda estación), anotamos los ángulos horizontales y las distancias reducidas correspondientes a cada punto ( o los datos suficientes para calcularlo)

Seguidamente se lleva el instrumento a E2 y la enlazamos directamente con la anterior E1, para a continuación visar desde E2 a los puntos q no alcanzábamos desde la primera anotando sus ángulos y distancias horizontales correspondientes.

Con lo anterior expuesto, quedarán definidos por el método de radiación todos los puntos

Coordenadas relativas

E1

E2

Coordenadas absolutas 1(X,Y) => x1 + x E1

Enlace directo; se entiende por enlazar directamente dos estaciones a :

Situar en la estación E2 unos ejes paralelos a los q se hubiera formado en E1, y más concretamente, en orientar el instrumento en E2 como lo hubiéramos hecho en E1

Calcular las coordenadas cartesianas de E2 con respecto a E1.

1 3

E2

E1E2 4

E1

2

δ1E1, δ2E1, δE2E1, ángulos

Sabemos q δE1E2 = δE2E1 + 200g; desde E1 tenemos los datos de

E11, E12, E1E2, distancias

δ3E2, δ4E2, δE1E2, ángulos

Y q desde E2

E23, E24, E2E1, distancias

El enlace directo entre ambas estaciones consistirá en situar los 0º del limbo horizontal en paralelo a como lo hicimos en E1; posteriormente determinar las coordenadas cartesianas de E2 respecto a E1.

Para situar en el campo el instrumento en E2, con 0 º en dirección paralela a la tomada en E1 habrá q operar de la siguiente forma; teniendo en cuenta q entre dos estaciones cuando el origen de ambas es paralelo, los ángulos recíprocos difieren siempre 200 g.

Con el cero del limbo horizontal en una dirección cualquiera, marcamos sobre dicho limbo el ángulo reciproco al δE2E1 para a continuación y por medio del movimiento general visar de E2 a E1 marcando el 0º del limbo horizontal la dirección paralela a la tomada en E1.

X3

XE2 x3

E2 y3

YE2 Y3

E1

De este gráfico obtenemos q:

δE2E1 = δE1E2 - 200g => δE1E2 = δE2E1 + 200g;

E1E2 + E2E1

E1E2 p = ; es el promedio, la q utilizaremos

2

XE2 = E1E2 p x sen δE2E1

Las coordenadas absolutas de E2

YE2 = E1E2 p x cos δE2E1

Las coordenadas absolutas de 1 y 2 son las mismas q las relativas, ya q se encuentran en los ejes absolutos =>

X1 = x1 = E11p x sen δ1E1 ; Y1 = y1 = E11 p x cos δ1E1

X2 = x2 = E12 p x sen δ2E1 ; Y2 = y2 = E12 p x cos δ2E1

Para 3 y 4, hay q sumarles a sus coordenadas relativas, la distancia con las absolutas =>

x3 = E23 p x sen δ3E2 X3 = XE2 + x3 = XE2 + E23 p x sen δ3E2

y3 = E23 p x cos δ3E2 Y3 = YE2 + y3 = YE2 + E23 p x cos δ3E2

x4 = E24 p x sen δ4E2 X4 = XE2 + x4 = XE2 + E24 p x sen δ4E2

y4 = E24 p x cos δ4E2 Y4 = YE2 + y4 = YE2 + E24 p x cos δ4E2

Error y tolerancia en un enlace directo de estación

En un enlace de estaciones el error quedará constituido por la diferencia en valor absoluto de las 2 distancias existentes entre ambas estaciones

En general se llama tolerancia a la cota o limite superior de un error. Para calcular la tolerancia en un enlace directo, en primer lugar hay q tener en cuenta q se ha obtenido experimentalmente q el error máximo q se puede cometer al medir una distancia es de 1/200 de la misma

emax = 1 200 x d

donde :

• K; coeficiente de mayoración o seguridad q se tomará siempre mayor o igual a 1, siendo normalmente entre 1 y 1'5

• Emax; error máximo total q podemos cometer al medir dos veces la distancia existente entre ambas estaciones.

Se calculará sumando los errores máximos q podemos cometer al medir cada una de las distancias (E1E2, E2E1).

Esta suma no deberá ser algebraica, sino cuadrática (raiz cuadrada de la suma de los cuadrados) ; ya q trabajamos con valores máximos a priori conocidos y es mucho suponer q en ambos casos nos equivocamos lo máximo y en el mismo sentido.

• K; en aquellos casos en q nos pidieran la tolerancia mínima, mas estrecha o más reducida, habrá q tomar k = 1, incluso cuando no especifiquen k = 1

Luego de sacar la tolerancia se comprueba q emax < T => el enlace se ha realizado correctamente. Si no cumple, hay q repetirlo todo y volver a tomar datos

Ejercicio:

A partir de los siguientes datos de campo, completar la tabla, calcular el error cometido en enlace de estaciones y la tolerancia :

Est		PV	Ángulos		Lectura hilos extremos		g	d	c.relativas		c. absolutas
										Horiz	Vert					x	y	X	Y
E1											0	0
		1		176.26	104.42	1.63	1.10
		2		312.68	93.21	1.48	0.90
		3		45.37	98.40	1.38	1.20
		E2		112.64	96.45	2.73	2.00
	E2
		E1		312.64	106.28	2.43	1.70
		4		376.29	100.00	1.61	1.10
		5		172.41	99.46	1.12	0.60

Método de itinerario

Se fundamenta en la determinación planimétrica de puntos por coordenadas polares, pero con una clara diferencia respecto al método de radiación; en este, cada punto está levantado desde una estación distinta, formando, como su nombre indica, una especie de camino, de forma q un punto, por lo general, es primero un punto visado y posteriormente una estación.

Los instrumentos empleados en este método son:

• Teodolito o goniómetro para ángulos

• Longímetro o estadímetro para distancias, según estos se obtengan de forma directa o indirecta, respectivamente.

• Tb se puede usar el taquímetro, para obtener de forma simultanea ángulos y distancias

Tipos de itinerarios

Existen 3 tipos de itinerario

• Abierto

• Cerrado

• Encuadrado

Abierto

Es aquel en q el último punto es un punto cualquiera, a priori desconocido, no existe posibilidad de comprobar ni corregir errores. Por este motivo no se suele utilizar.

Para corregir errores, se suelen cerrar estos itinerarios mediante ejes auxiliares

Encuadrado

Es aquel en el q el primer punto y el ultimo del mismo son conocidos, es decir, se disponen como datos de partida de coordenadas de primer u último punto. Por este motivo si se pueden comprobar y corregir los errores

Procedimiento:

Con el instrumento en el primer punto del I y orientado en una dirección cualquiera visaremos el segundo punto del I, anotando el ángulo horizontal, seguidamente para definir dicho segundo punto, habrá q determinar la distancia existente entre el punto 1 y el punto 2. Una vez determinado este punto, moveremos la estación, colocándola en el punto 2, y operamos de la misma forma hasta definir todos los puntos del itinerario.

Una vez q tenemos todos los puntos definidos, pasaremos a calcular las coordenadas cartesianas de cada punto respecto al anterior, coordenadas q llamaremos calculadas, para lo cual se establece en cada punto un sistema de ejes cartesianos, colocados de forma paralela en todos los puntos mediante enlace directo de estaciones.

Una vez determinadas las coordenadas calculadas o relativas, habrá q pasarlas a definitivas, todas respecto a un sistema de referencia, el cual podrá coincidir con el primer punto o estar fuera de el. EN el primer caso las coordenadas del primer punto serán (0,0), mientras q en el segundo caso deberán ser un dato

En aquellos casos en q no se especifique nada en los enunciados de los problemas, se tomarán siempre las coordenadas del primer punto como (0,0) estas coordenadas absolutas se determinarán sumando algebraicamente a las coordenadas absolutas del punto anterior, las relativas de este

Cerrado

Cuando el último punto coincide con el primero o el departida

Todo lo visto para los itinerarios encuadrados será valido para estos itinerarios tb. Asi mismo tb es posible corregir y comprobar errores en estos itinerarios, más concretamente los angulares y los lineales

Error angular en itinerario cerrado

El error angular de un itinerario cerrado es la diferencia entre el ángulo б12 inicial y el tomado al repetir estación en ese mismo punto una vez finalizado el itinerario

Se entiende por compensación al numero por el q hay q multiplicar el ángulo obtenido para poder sanear los errores:

Siendo n el número de ángulos a compensar

La compensación del error angular será siempre del signo contrario al error, y esta compensación se obtendrá dividiendo o repartiendo el error entre el número de ángulos a compensar, teniendo en cuenta las siguientes cuestiones:

• El ángulo considerado como bueno (б12), nunca se compensa

• La compensación al igual q el error deberá ser siempre acumulativa, es decir se deberá compensar hasta cada punto la compensación total

• La compensación del ultimo ángulo será siempre exactamente igual y de sentido contrario al error angular

Una vez obtenida la compensación para cada ángulo, se obtendrán los ángulos compensados, sumando algebraicamente los ángulos q teníamos inicialmente con sus correspondientes compensaciones

Una vez obtenidos los ángulos compensados, serán estos los q tendremos en cuenta a la hora de emplearlos en cualquier operación

Ejemplo:

Est	Pv	Ángulo	Compen.del ángulo	Angulo compensado
1	2	70.00	─	70.0
2	3	120.60	-0.05	120.55
3	4	240.20	-0.10	240.10
4	1	360.80	-0.15	360.65
1	2	70.20	-0.20	70.00

ea = б12* - б12 => ea = 70.20 - 70.00 = 0.20

Ca = -e/ n => Ca = -0.20 / 4 = -0.5

En el caso del q error no sea divisible entre el número de ángulos a compensar, se harán compensaciones por defecto donde al ángulo de mayor valor absoluto se dará la compensación exacta por exceso, suficiente para q el error total quede compensado al final

Est	PV	Angulo	Compen angular	Angulo compensado
1	2	70.00	──	70.00
2	3	120.30	-0.3	120.57
3	1	240.20	-0.3-0.4	240.13
1	2	70.10	-0.7-0.3	70.00

ea = б12* - б12 => ea = 70.20 - 70.00 = 0.20

Ca = -e/ n => Ca = -0.20 / 3 = -0.33333...

El error angular se determina dando la vuelta al itinerario y estacionando nuevamente el instrumento en el primer punto, enlazándolo directamente con el punto anterior

A partir de esta nueva orientación se visa de nuevo al punto segundo, debiéndose verificar q si o existe error, los orígenes de ángulo en 1, al inicio y tras dar la vuelta completa, deben coincidir, por lo q el ángulo de 1 a 2 debe ser el mismo al principio q al final; existiendo error en caso contrario.

Error lineal de un itinerario cerrado

Llamamos error lineal de un itinerario cerrado al q se comete en las coordenadas relativas en cada punto respecto al anterior

x' +

∑ xi = 0 <= ∑ x'i + = ∑ x'i - ∑ yi = 0 <= ∑ y'i + = ∑ y'i -

Una vez calculadas la coordenadas negativas, se suman con sus signos correspondientes por un lado la Y y por otro las X

Estas sumatorias, por ser cerrado el itinerario, deben ser nulos. En caso contrario hay un error, en abcisas u ordenadas.

Si ∑ xi ≠ 0 => error en X => ex Si ∑ yi ≠ 0 => error en Y => ey

Tanto el error en la X como en la Y, coincidirán con las sumatorias previamente calculadas, como hemos comprobado, el error de un itinerario cerrado coincide en valor y signo con la sumatoria de las coordenadas obtenidas / calculadas

La compensación de los errores, se realizará siempre con el signo contrario al del error, y de forma directamente proporcional al valor de cada coordenada, por lo q para obtener la compensación correspondiente a cada una de las coordenadas habrá q realizar las siguientes “reglas de tres”:

∑ ‌‌‌ xi ‌ ex

Cxi = ex ‌ xi ‌

xi Cxi ∑ ‌‌‌ xi ‌

Forma de operar:

	X'	Cx	X*
	x'1	+C1	x'1*
	x'2	+C2	x'2*
	x'3	+C3	x'3*
	x'4	+C4	x'4*

Una vez obtenidas todas las compensaciones de cada uno de las coordenadas, habrá q sumar dichas compensaciones y obtener así la compensación total, debiéndose verificar siempre q la compensación total será igual al error cambiado de signo, y en caso e q no se verifique esta igualdad, se deberá hacer ajuste de compensación, q es en definitiva + o - alguno o algunos de los resultados para q de lo q tiene q dar (el error correspondiente).

Una vez obtenidos las compensaciones de las coordenadas correspondientes, se calcularán las coordenadas compensadas q serán las mismas q las relativas, pero sin error, es decir, la suma algebraica deberá dar 0

Estas coordenadas compensadas, se obtendrán sumando algebraicamente las calculadas con sus correspondientes compensaciones

Por último a partir de las coordenadas compensadas, determinamos las definitivas o absolutas compensadas, de todos los punto del itinerario.

Nota:

En las coordenadas definitivas siempre se tendrá q verificar q las del primer punto coinciden exactamente con el dato, pero hay q tener en cuenta q esta condición es necesaria pero no suficiente; siempre q compensemos exactamente se verificará lo anterior, independientemente q este bien o mal el problema.

Calcular las coordenadas cartesianas definitivas, compensadas del siguiente itinerario cerrado, sabiendo q la coordenadas de a son A (200,200)

Est

PV

Rumbo

Compen rumbo

Rumbo compen

d

C. calculadas

C. compen.

C definitivas

X

Cx

Y

Cy

A

B

216.80

130.00

B

C

353.00

85.00

C

A

61.60

110.00

A

B

216.74

Determinar, a partir de los datos de campo adjuntos, las coordenadas definitivas compensadas de los puntos, sabiendo q la posición de 1 es 1 (200,300)

Est	PV	Rumbo	Compen rumbo	Rumbo compen	d	C. calculadas				C. compen.		C definitivas
												X	Cx	Y	Cy
1	2	148.52
2	3	116.61
3	4	257.61
4	5	186.01
5	6	309.72
6	7	347.35
7	1	53.21
1	2	148.58

Itinerarios encuadrados

Son aquellos en los q el último punto es conocido, más concretamente, tanto el primer como el último punto del itinerario son datos del problema, de los cuales conocemos las coordenadas.

Error y compensación angular en un itinerario encuadrado

Un itinerario se puede comprobar de dos formas diferentes:

• Cerrando el itinerario para la comprobación de dicho error angular.

En este caso procedemos a trabajar de igual forma q si tuviéramos un itinerario cerrado:

2

1(x1,y1)

E	PV	Rumbo	comp. ang	Ang. comp
1	2	Б12	-	Б12
2	3	Б23	+C	Б23 +C
3	4	Б34	+2C	Б34 +2C
4	1	Б41	+3C	Б41 +3C
1	2	Б12*	+4C	Б12*+4C

1 Datos

3 2(x2,y2)

4

• Sin necesidad de cerrar el itinerario, calculando el error angular a partir de las coordenadas del primer y último punto, q siempre deberán ser dato del problema

En este caso, el ángulo q determina el error angular no es dato => habrá q determinarlo analíticamente a través de las coordenadas del primer y último punto

En este caso no se estaciona de nuevo el instrumento en 1 => no hay 2 ángulos para comprobar. Se puede calcular analíticamente a partir delas coordenadas del ángulo Б41

2

1(x1,y1)

E	PV	Rumbo	comp. ang	Ang. comp
1	2	Б12	-	Б12
2	3	Б23	+C	Б23 +C
3	4	Б34	+2C	Б34 +2C
4	1	Б41	+3C	Б41 +3C

1 Datos

3 2(x2,y2)

Б41

4

Para calcular analíticamente Б41:

dy y1 - y4

tgα = dy /dx => α = arctg dy/dx = arctg

dx x1 - x4

Б41 = 300g + α ex = (Б41)e - Б41 Ca= -ex /n ; n= nº de ángulos a corregir

Error y compensación lineal en itinerario encuadrado

2

1(x1,y1)

1 Datos

3 2(x2,y2)

4

Σ xi = dx => no hay error Σ yi = dx => no hay error

dx = x4 - x1 dy = y4 - y1

Σ xi ≠ dx => hay error Σ yi ≠ dx => hay error

Tolerancias de errores angulares y lineales en todo tipo de itinerarios:

Tolerancia de un error angular

La tolerancia se determina a partir de la siguiente fórmula:

T = 2n x ξ

donde;

n = número de ángulos(coincidirá con el numero de ángulos compensados)

ξ = máximo error cometido al medir un ángulo (de 1 a 1'5 m)

debiéndose verificar q el error angular cometido en cada itinerario no supere la tolerancia. En caso contrario, tendríamos q decir q el error angular no es tolerable o q esta fuera de tolerancia.

En aquellos casos en los q no se diga nada o se pida la tolerancia mínima, más estrecha o reducida, deberíamos tomar ξ igual a 1.

La tolerancia se debe calcular siempre aunq no se diga nada

Tolerancia del error lineal

Para q un itinerario de error lineal este dentro de tolerancia, deberán estarlo a su vez los errores cometidos en la X y en las Y

Hay q tener en cuenta q el error máximo cometido en las coordenadas es del mismo orden q el cometido en las distancias; el error máximo debe ser igual o menor a la doscientosava parte de longitud de cada coordenada.

x= d x sen δ x= (d + d/200) x sen δ

d (sin error) d (con error)

y = d x cos δ y = (d + d/200) x cos δ

max ex = x - x' => Ex = d x sen δ - d x sen δ + d/200 x sen δ

Ex = x/200 ; Ey = y/200

max ey = y - y' => Ey = d x cos δ - d x cos δ + d/200 x sen δ

tolerancia en “x” = Tx = k x Emax ; tolerancia en “y” = Ty = k x Emax

Tx = k x Σ xi 2 200 Ty = k x Σ yi 2 200

En aquellos casos q no se diga nada o q se pida la tolerancia mínima, más estrecha o más educida, k = 1.

Para poder decir q el error esta dentro de la tolerancia se debe cumplir q:

ex = Tx ey = Ty

Itinerario con el origen de ángulos en cada estación y con distancias distintas.

(si se nos olvida hacer enlace directo de estaciones)

Hay q tener en cuenta q los ángulos recíprocos cuando los orígenes de ángulos en 2 estaciones tengan misma dirección (o direcciones paralelas) siempre tienen q diferir 200g

Por el contrario, cuando los orígenes de los ángulos no sean paralelos, no existe ninguna relación entre ángulos recíprocos

Hay q tener en cuenta q en este tipo de problemas siempre se tendrá q dar como dato la orientación definitiva, la buena, y en esta dirección será en la q haremos coincidir el eje de ordenadas para determinar posteriormente las coordenadas cartesianas de cada punto respecto al anterior

α

δBC δBC

δBA

Dato Corregido Sin corregir

δBA

δAB

δBA = δAB + 200 => δBA = δBA + α ; siendo α el ángulo de desfase

Llamaremos desfase de los orígenes de ángulos en una estación cualquiera, al ángulo q forman la orientación tomada en el campo con la q deberíamos haber tomado si hubiéramos hecho enlace directo de estaciones

Hay q tener en cuenta q las lecturas angulares siempre se obtienen a partir del origen girando en sentido horario, independientemente del origen de ángulos q hayamos tomado

Hay q tener en cuenta q el ángulo q forman 2 ejes consecutivos del itinerario siempre se podrá calcular por diferencia de lecturas angulares de la forma siguiente:

Le - Lf (lectura a espalda - lectura al frente);

independientemente de donde este situado el origen de ángulos.

Por otro lado cuando un itinerario forme un polígono cerrado, se podrá determinar de la forma anteriormente expuesta, los ángulos interiores del polígono y comprobar el error angular sumando todos los ángulos interiores sabiendo q la suma deberá ser siempre igual a tantas veces 2 ángulos rectos como lados tiene el polígono menos 2

Hay q tener cuidado con esta forma de corregir ya q únicamente podemos utilizar la sima de los ángulos cuando se trata de los ángulos interiores de un polígono cuando el itinerario forme un único polígono cerrado, en cualquier otro caso no podríamos usar este método

Método de intersección

Intersección directa

Se utiliza para medir n punto en el q no podemos estacionar

Consiste en delimitar un punto P cualquiera tras haber estacionado e A y en B, habiendo mirado desde ellas a P

δPA ángulos interiores

δPB ángulos exteriores

P q δBP

δAP γ β B δBA no conocido

δAB α conocido

A

Si el punto P es accesible, se puede realizar una comprobación angular

En primer lugar se sitúa en el punto A la estación y una vez marcadas unas coordenadas, viso P y luego B, hallando los ángulos δAp y δAB

A continuación se vuelve a estacionar en B, haciendo enlace directo con A, miramos luego a P y obtenemos δBP.

Con estos ángulos y la distancia AB, el punto P queda totalmente definido

A partir de estos datos se determinan las coordenadas de P.

Para determinar P, se puede emplear métodos gráficos poco exactos, o el método analítico, q consiste determinar las coordenadas en función de uno de los puntos de la base

Para determinar este eje de coordenadas, hay q delimitar un sistema cartesiano q nos resulte cómodo

Para hallar P analíticamente:

Determinar los ángulos interiores del triángulo (α, β, γ)

; ;

Si => error angular

La compensación angular será siempre de =>

Una vez obtenidos estos ángulos se determinar sin problema las distancias por el th. del seno

a

B C

c b

A

Calcular los ángulos acimutales corregidos

Hay q tener en cuenta q a la hora de variar un ángulo este puede variar de dos formas distintas:

• de forma proporcional

• dejando fijos dos puntos

Si nos indican q tiene q ser corregido de forma proporcional, o simplemente no nos indican nada, debemos proceder de la siguiente forma:

P

δAP ½ Ca P'

δAPc αc B'

½ Ca B

α

A

; siendo Ca del total a corregir

Si nos indican q no se puede mover la base, o nos dan las coordenadas de A y B, q son fijas, debo corregir de forma q no varíe la posición de A o B.

P

δAP P'

δAPc αc

B

α

A

Se calculan las coordenadas

Con el ángulo ya corregido y la distancia obtenida, respecto a A y respecto a B, calculo las coordenadas, q me deberían dar igual. Si no es así la solución sería la media aritmética de las obtenidas por A y de las obtenidas por B

21

e = │ E1E2 - E2E1│

T = k x Emax

(E1E2 )2 + (E2E1)2

Emax =

200

Ejes del itinerario

3

1

2

4

Vértices del itinerario

2

4

3

1

2

3

1

x1

y1

x4

y4

4

3

2

4

1

2

23

12

3

1

41

34

4

e = б12* - б12

C = e /n

x'2

x'3

2

y'2

y'3

1

3

y'1

y'4

x'4

x'1

4

α