Los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene noticia, sólo estaban orientados por puntos de vista puramente prácticos. Pueblos como los babilonios, los egipcios o los hindúes ya conocían unos cuantos resultados aritméticos y geométricos, pero su teoría se caracterizaba por el tanteo y la inducción, despreocupándose por su validez general. A partir del siglo VI a.C. aparece en escena una nueva cultura que cambiaría el rumbo de las matemáticas: la cultura griega, uno de cuyos máximos exponentes fue la Escuela Pitagórica.

Orígenes del mundo griego

Las primeras grandes civilizaciones en suelo europeo las encontramos en la costa oriental del mar Mediterráneo. A mediados del segundo milenio a.C. florece una cultura extendida en la Grecia continental y en las islas del mar Egeo, en especial en la isla de Creta. Se trata del período micénico en la península y el minoico en Creta, en el suntuoso palacio real de Cnossos (2000 a.C.), cuyo lenguaje (llamado Lineal A), con excepción del sistema de numeración, aún no ha sido descifrado.

Estas culturas fueron invadidas por los eolios, jonios y aqueos (protagonistas estos últimos de las famosas guerras de Troya, hacia el 1200 a.C.), y más tarde por los dorios.

Luego, y durante cerca de medio milenio, la historia enmudece respecto de los pueblos egeos.

Mientras tanto los fenicios establecen en las costas del Mediterráneo un activo intercambio comercial, fundando allí numerosas colonias, e introduciendo, además, el alfabeto.

El mundo griego abarcaba entonces la región comprendida entre los mares Egeo y Jónico, y las colonias establecidas en las costas de los mares Negro y Mediterráneo. Y fue precisamente en las ciudades que se encontraban fuera del Peloponeso donde surgiría la matemática griega.

En el siglo VI a.C. un comerciante griego nacido en Mileto, llamado Tales, comenzaría a transformar la matemática en la ciencia deductiva que hoy conocemos. En sus viajes a las tierras del Nilo, Tales entra en contacto con el saber egipcio, y luego regresa a su tierra natal para convertirse en uno de los siete sabios de Grecia.

Se cree que entre sus discípulos se hallaba un personaje semilegendario, uno de los más importantes hombres de ciencia de la Grecia antigua; aquél que dio nombre al teorema más famoso, quizá, de toda la matemática: Pitágoras.

Es poco lo que se conoce de este maestro griego. Se sabe que en la Antigüedad se escribieron unas cuantas biografías, pero todas ellas se han perdido. No existe ninguna obra escrita por él; la información que se tiene está basada en una tradición que ha persistido a través de los años.

Nació alrededor del año 569 a.C. en la isla de Samos, colonia jónica de griegos en las costas del mar Egeo. Ésta era una potencia comercial en creciente progreso. Por aquel entonces, Polícrates, su dictador, había destruido el poder de la aristocracia terrateniente y gobernaba la isla con el apoyo de los comerciantes.

Es probable que Pitágoras haya realizado viajes a Egipto, Babilonia y la India, donde habría entrado en contacto con los saberes matemáticos y religiosos de aquellos lugares. Es destacable el hecho de que fuera contemporáneo de Buda, Confucio y Lao-Tsé.

Al regresar luego a Samos y encontrarla dominada por los persas, decide emigrar al sur de Italia, la llamada Magna Grecia. Se establece, entonces, en la ciudad de Crotona, la "ciudad esotérica", una de las más florecientes colonias griegas.

Allí comienza a disertar sobre filosofía y matemática. A su cátedra acuden entusiastas de todas las clases, incluso lo hacen las mujeres, quienes tenían prohibido, por ley, asistir a reuniones públicas. Entre estas mujeres se encontraba Theano, la joven y hermosa hija de su posadero Milo, con la cual se casó. Theano escribió más tarde una biografía de su esposo que desgraciadamente se ha perdido.

La Escuela Pitagórica

La influencia de este gran maestro fue tan notable, que los más interesados de sus discípulos se constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad. Se los conoció como la Escuela Pitagórica.

La comunidad pitagórica fue una hermandad religiosa dedicada a la práctica del ascetismo y al estudio de las matemáticas. Los miembros de esta fraternidad se comprometían, con un solemne juramento, a mantener en secreto las enseñanzas de la Escuela. Éstos debían hacer examen de conciencia diariamente. Creían en la inmortalidad del alma y en su transmigración, con el resultado de que no debería ser sacrificado ningún animal ante el temor de que pudiera ser la nueva morada del alma de un amigo muerto. Así, a sus miembros se les imponía un severo régimen vegetariano.

La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una clave para resolver el enigma del Universo y un instrumento para la purificación del alma. Aristóteles sintetizó la labor de los pitagóricos con las siguientes palabras: "los pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que perfeccionaron y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas."

Todos los descubrimientos que la Escuela realizaba eran atribuidos al mismo Pitágoras, por lo que resulta casi imposible diferenciar lo producido por él y lo elaborado por sus alumnos.

Los pitagóricos fueron los primeros en establecer la demostración en la matemática, mediante el razonamiento deductivo. A ellos se les debe, incluso, la misma palabra Matemática que, según la acepción más difundida, significa "ciencia por excelencia"; matemáticos eran los miembros científicos de la secta. Se clasificó a la Matemática, además, en cuatro ramas: aritmética, geometría, música y astronomía, clasificación que se mantuvo durante más de dos milenios en lo que constituyó el famoso Quadrivium de las ciencias.

A causa del poder político que adquirió, contraria a las ideas democráticas de la época, la Escuela Pitagórica fue objeto de sospechas por todos los que no formaban parte de ella. En el año 501 a.C. se produce una revuelta popular e incendian la casa de Milo, que por aquel entonces ocupaba la hermandad. Perece allí, un gran número de sus miembros más notables. Pitágoras hubo de refugiarse en Tarento y después en Metaponto, donde un año después fue asesinado en otra conmoción popular. A pesar de la muerte de Pitágoras y de la destrucción de su Escuela en Crotona, sus discípulos se reorganizaron en Tarento, formando una nueva escuela que continuó durante 100 años.

Entre los principales sucesores de Pitágoras se encontraban Hipaso, Filolao y Arquitas.

Más tarde, cuando los miembros de la sociedad se dispersaron, la regla del silencio cayó en desuso y se divulgaron sus doctrinas. El primer libro lo escribió Filolao en el 370 a.C.. Sin embargo, la gloria de todos los descubrimientos que se realizaban seguían siendo patrimonio de su fundador.

La estrella pentagonal

El símbolo distintivo de la hermandad fue la estrella pentagonal, que ellos llamaban pentagrama. Este emblema es la figura que resulta al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular.

El pentágono estrellado ya había aparecido con anterioridad en el arte babilónico.

Una propiedad importante del pentagrama es relatada por Carl Boyer en su "Historia de la Matemática": "Si comenzamos por un pentágono regular ABCDE y trazamos las cinco diagonales, éstas se cortarán en los puntos A'B'C'D'E' que forman otro pentágono regular. Observando que el triángulo BCD', por ejemplo, es semejante al triángulo isósceles BCE, y teniendo en cuenta también los varios pares de triángulos congruentes que aparecen en la figura, resulta fácil ver que los puntos A'B'C'D'E' sobre las diagonales las dividen de una manera sorprendente. En cada caso, uno de estos puntos divide a una diagonal en dos segmentos distintos y tales que la razón de la diagonal completa al mayor de los dos segmentos es la misma que la de éste al segmento menor. Esta subdivisión de la diagonal es la conocida sección áurea de un segmento."

El "Número"

Los pitagóricos le adjudicaron especial importancia al número. Esto se refleja en las siguientes palabras de Filolao: "y, en verdad, todas las cosas que se conocen poseen número, pues ninguna cosa podría ser percibida ni conocida sin éste." El mismo Pitágoras declaraba: "Dios es, en efecto, número.", y por número se refería al número natural común.

Pero para los pitagóricos, no sólo todas las cosas poseen número, sino que los números son concebidos como cosas; las expresiones: "números cuadrados" o "números triangulares", no son metáforas; esos números son, efectivamente, ante los ojos y ante el espíritu, cuadrados y triángulos.

El número es definido, desde el punto de vista geométrico, como una suma de puntos representados en el espacio, y las figuras (líneas, superficies o volúmenes), que están constituidas por esos puntos materiales llamados mónadas, también representan números. De esta manera, identificaron al número uno con el punto, al dos con la línea, al tres con la superficie, y al cuatro con el volumen, de acuerdo con el número mínimo de puntos necesarios para definir cada una de esas dimensiones.

Según Filolao, el número tiene dos formas propias: el impar y el par. Existía una tercer especie: el par-impar. Esta última denominación, que ha sido aplicada algunas veces a la unidad, designa también los números pares, como el seis y el diez, que a la primer bisección dan números impares.

Los pitagóricos clasificaron a cada número considerando sus divisores, pero exceptuando al mismo número (es lo que se llamará sus partes alícuotas) y sumándolos. Esta suma será, en general, mayor o menor que el mismo número, que será llamado, en consecuencia, abundante o deficiente. Por ejemplo, 12 es abundante, porque la suma de sus partes alícuotas es: 1+2+3+4+6=16. En cambio el 8 es deficiente, pues 1+2+4=7.

Pero existen ciertos números en los cuales la suma de sus partes alícuotas dan como resultado el mismo número. Estos números eran llamados perfectos.

Por ejemplo:

6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+ +124+248

Dice Euclides: `'partiendo de la unidad, se forma la progresión geométrica de razón 2, y si la suma de sus términos es un número primo, el producto de este número primo por el último término de la progresión es un número perfecto.'' Por ejemplo:

1+2+4+8+16=31 y 31 es un número primo. Luego, 31.16=496, que es un número perfecto.

Ciertos números que también llamaron la atención de los pitagóricos, fueron los números cuadrados. Estos se formaban tomando a la unidad como punto de partida y agregando a ésta la serie ascendente de los números impares. La progresión aritmética que así se forma goza de la propiedad de que en cada uno de los pasos de su construcción en que uno se detenga, la suma de la unidad y de los números impares constituye un número cuadrado. Por ejemplo:

1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16

Todos los números cuadrados están dados por este proceso de formación. Además, la adición sucesiva de un número impar permite pasar de un cuadrado al cuadrado siguiente (por ejemplo, si a la serie 1+3 le sumo 5, se pasa del cuadrado 4 al cuadrado 9). Así, todo número impar se define como la diferencia de dos superficies cuadradas que tienen respectivamente por lados dos enteros consecutivos. Utilizando el ejemplo anterior: 1+3+5=9 ; luego 9 - 4 = 5. El número impar 5 es la diferencia de dos cuadrados, 9 y 4, que tienen por lados dos enteros consecutivos, 3 y 2. A tal número impar se lo llamó gnomon. Geométricamente hablando el gnomon es un borde rectangular de brazos iguales en forma de L, añadido a un determinado cuadrado para formar el cuadrado siguiente:

Esta definición geométrica explica la constitución interna del número impar; él es la suma de un cuadrado de lado igual a la unidad y de dos rectángulos iguales cuyo lado menor es también igual a la unidad.

Por ejemplo:

5=1+2+2
7=1+3+3
9=1+4+4

Los pitagóricos descubrieron también que, a partir de la suma de los números naturales, era posible representar puntos que denotaban la unidad, dispuestos en forma de triángulo. De esta manera, y sumando tales puntos se obtenían los números triangulares, como por ejemplo, el 1, el 3, o el 6:

También existían los números pentagonales, hexagonales, etc..

Si, por otra parte, sumamos los números pares consecutivos, obtenemos una serie de números llamados oblongos, en donde cada uno es el doble de un número triangular. Esta serie constituye sumas de progresiones aritméticas que son al mismo tiempo productos de dos factores, y por consiguiente, superficies. Uno de los factores es igual a la mitad del último número par de la progresión. El otro es el primer factor aumentado en uno.

Por ejemplo:

2+4=6 6=2.3

2+4+6=12 12=3.4

2+4+6+8=20 20=4.5

La superficie tiene pues sus dos lados desiguales, por lo que se llama heterómaca o rectangular.

Llamaron números amigos a aquellos en donde cada uno era igual a la suma de los divisores del otro. Por ejemplo:

220 y 284, pues

220=1+2+4+71+142, que son los divisores de 284 y 284=1+2+4+5+10+11+20+

+22+44+55+110, que son los divisores de 220.

La palabra número se usaba sólo para los enteros positivos. A las fracciones se las consideraba como una razón o relación entre dos números enteros . Tal como lo expresaba Euclides (Elementos Libro III): "Una razón es una cierta relación con respecto al tamaño de dos magnitudes del mismo tipo."

No cabe duda que la más famosa realización de los pitagóricos la constituye el llamado Teorema de Pitágoras, sin el cual no es posible concebir la Matemática en el sentido más amplio de la palabra.

El enunciado del Teorema es conocido por todos: "en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."

Los egipcios ya conocían esta relación en los triángulos de 3, 4 y 5 unidades de longitud. Los hindúes también la conocían para los triángulos de 5, 12 y 13 unidades. Pero fue Pitágoras el primero que enunció y demostró el Teorema para todos los triángulos rectángulos. De acuerdo con un relato, cuando Pitágoras descubrió este admirable resultado, en su alborozo, sacrificó un buey, aunque esto es bastante improbable dadas sus estrictas reglas vegetarianas.

Los pitagóricos encontraron la formación de ciertas ternas de números que cumplen el teorema:

con m entero impar.

Pitágoras aprendió en Babilonia tres medias: la aritmética, la geométrica y la armónica.

Dados dos números a y c, la media aritmética es un número b tal que:

Del mismo modo, la media geométrica es un número b tal que:

Así como también, la media armónica es un número b tal que:

Los pitagóricos también conocían la "Proporción Perfecta" o "Divina Proporción", que relaciona dos de las medias: el primero de dos números es a su media aritmética como su media armónica es al segundo de ellos:

La "música" pitagórica

La contribución de los pitagóricos a la música es sumamente interesante. Demostraron que los intervalos entre notas musicales pueden ser representados mediante razones de números enteros, utilizando una especie de guitarra con una sola cuerda, llamada monocordio. Éste poseía un puente móvil que al desplazarse producía, en ciertas posiciones, notas que, comparadas con la emitida por la cuerda entera, resultaban más armoniosas que otras. El más básico de tales intervalos es la octava. En el monocordio es el intervalo entre la nota emitida por la cuerda entera y la emitida por otra de longitud igual a su mitad. Es decir, cuando la cuerda tiene longitud 2 de una determinada nota base, suena una octava más alta que la nota original. Si su longitud es 3/4 de la primitiva, la cuerda emite la cuarta de la nota base, y si su longitud es 2/3 de la inicial, la nota que suena es la quinta de la nota base. Partiendo de una nota base DO se tiene el siguiente esquema:

DO(base) RE MI FA(cuarta) SOL(quinta) LA SI DO

Según el relato de Boecio, un escritor que vivió en el siglo VI de la era cristiana: "Pitágoras, obsesionado por el problema de explicarse matemáticamente los intervalos fijos de la escala, al pasar frente a una herrería, le llamó la atención la musicalidad de los golpes de los martillos sobre el yunque. Entró y observó largamente. Luego, al experimentar, utilizó cinco martillos. El peso de cuatro de ellos estaba en la proporción de 12, 9, 8 y 6. El quinto, cuyo peso no correspondía a relación numérica alguna con el resto, era el que echaba a perder la perfección del repiqueteo. Fue retirado, y Pitágoras volvió a escuchar. El mayor de los martillos, cuyo peso era doble del más pequeño, daba la octava más baja. Como los pesos de los otros dos martillos (9 y 8) correspondían a las medias aritmética y armónica respectivamente de los primeros pesos (12 y 6), pensó que aquellos dos martillos le darían las otras notas fijas de la escala."

Cosmología

La cosmología de los pitagóricos es muy curiosa e importante. Describía el Universo en términos numéricos.

Así, "las matemáticas -según explica Farrington- contribuían a mantener el alma de los adeptos libre de contactos con lo terreno y material, y se adaptaban al temperamento cambiante de un pueblo en el que el desprecio por el trabajo manual se hermanaba con el incremento de la esclavitud."

Los pitagóricos definieron, aunque no probaron, que los cuerpos celestes eran esferas perfectas, que describían órbitas perfectamente circulares, teniendo aquí la palabra perfecto, significación moral y matemática.

Según Aristóteles, los pitagóricos creían que todo el cielo era una escala musical y un número, y que los movimientos de los cuerpos celestes originaban sonidos acordes, aunque inaudibles; la razón por la cual no los oímos, de acuerdo con una versión, reside en que estamos habituados a ellos desde nuestro nacimiento.

Según Filolao, el centro del Universo es una masa invisible de fuego y la Tierra gira en torno a él, así como los demás cuerpos celestes, el Sol y la Luna. Pero introduce un segundo cuerpo invisible, la Anti-Tierra, que gira alrededor del fuego central, interior y opuesto a la Tierra. Observando desde el centro hacia el exterior se tendría: el fuego central, luego la Anti-Tierra, a continuación la Tierra y exteriormente a ésta, la Luna, el Sol y los planetas.

De acuerdo con Aristóteles la Anti-Tierra es un artilugio que los pitagóricos utilizaron para hacer coincidir sus teorías con sus propios argumentos matemáticos y opiniones. Como sostenían que el número diez era sagrado y los cuerpos que se mueven en los cielos son nueve (la esfera de las estrellas fijas, considerada como uno; dos planetas inferiores: Mercurio y Venus; tres planetas superiores: Marte, Júpiter, Saturno; el Sol, la Luna y la Tierra), para satisfacer esa condición, inventaron un décimo, la Anti-Tierra.

La característica más interesante de esta visión cosmológica de los pitagóricos es que retira a la Tierra del centro del Universo. Según Aristóteles, no se consideró a la Tierra lo suficientemente noble para ocupar la posición más importante del Universo.

Misticismo numérico

Los pitagóricos dieron a ciertos números significados que podrían parecer, quizás, caprichosos. Al número uno se lo identificó con la razón y se lo consideraba como el origen de todos los números. El dos con la opinión, y es el primer número par o hembra. El tres es el primer número macho o el número de la armonía. El cuatro con la justicia, inmutable y equitativo. El cinco sugería el matrimonio, la unión del primer número par con el primer número impar auténtico. El seis es el número de la creación. A la diosa virgen Atenea se le atribuyó el número siete, porque el siete es el único de la década que no tiene ni factores ni productos.

El número diez, tetractys sagrado, fue un símbolo muy venerado por la hermandad. La virtud de este número reside en que, estando constituido por la suma de los cuatro primeros números: 1+2+3+4, encierra la naturaleza de las diversas especies de números: la de los pares, de los cuales el primero es el dos; la de los impares, de los cuales el primero es el tres; la del par-impar, que es aquí la unidad; la de los cuadrados perfectos, de los cuales el primero es el cuatro. En boca de Filolao, el número diez "es la norma del Universo, la potencia ordenadora de los hombres y de los dioses."

Descubrimiento de los irracionales

Los pitagóricos se esforzaron por alcanzar la armonía en el reino de los números y de este modo lograr abarcar con la mirada todo el Universo, captándolo mediante números enteros. Así podían sentir que se hallaban en los umbrales del misterio de la existencia. Pero una potencia infernal destrozó este sueño implacablemente, a la vez que engendró los más altos hallazgos y de más vasto alcance: el descubrimiento de los números irracionales.

El concepto que tenían los helenos de este descubrimiento es ilustrado en el libro décimo de los Elementos de Euclides: "Se dice que el hombre que por primera vez llevó a la luz, desde la oscuridad, el estudio de los números irracionales, pereció en un naufragio. Y esto ocurrió porque lo inexpresable y lo inimaginable debió haber quedado en el misterio. Por esta razón, también aquellos que divulgaron y tocaron esta imagen de lo viviente fueron instantáneamente destruidos y relegados al mismo lugar del surgimiento, donde permanecen apresados para siempre por las olas eternas."

El problema radicó en el hallazgo de magnitudes que no podían ser expresadas en términos de otras, a las que llamaron inconmensurables, es decir, imposibles de medir.

Este descubrimiento de las magnitudes inconmensurables, que hoy en día representan los irracionales, tuvo trágico lugar en el triángulo rectángulo isósceles. Por ejemplo, en el de catetos iguales a 1, el cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 2, ya que
, y el valor, entonces de dicha hipotenusa es igual, en el modo actual de escritura a
. Pero, por más que se busque todo lo que se quiera, no existe número entero ni fraccionario que multiplicado por sí mismo, reproduzca exactamente el número 2. El número
es inexpresable. Sin embargo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, es decir, la diagonal de un cuadrado, se presenta de un modo tan neto, tan determinado y tan evidente, que no es posible distinguirla de ningún otro segmento de recta.

Sin embargo, actualmente se sugiere que los pitagóricos llegaron a la noción de inconmensurabilidad a través de la figura del pentágono regular, ante la imposibilidad de medir su diagonal con el lado.

También se encontraron magnitudes inconmensurables en las secciones áureas. Esto es, cuando una línea x es dividida en dos partes p y q, tal que la razón de x a la parte p, es igual a la razón de p a la otra parte q. Si lo expresamos en la notación simbólica:

La presencia de
indica la irracionalidad.

Cuerpos cósmicos

Del estudio de los polígonos se llegó al estudio de los cuerpos o poliedros. En la Geometría del espacio sólo existen cinco poliedros regulares. Los tres más simples: el cubo, el tetraedro y el octaedro, ya eran conocidos en el antiguo Egipto. Los pitagóricos descubrieron los otros dos: el dodecaedro, compuesto por doce pentágonos regulares; y el icosaedro, limitado por veinte triángulos equiláteros.

Parece ser que Hipaso fue el primero que logró inscribir un dodecaedro regular en la esfera. Se cuenta que, en contra de la acostumbrada reserva de los pitagóricos, hizo público este descubrimiento y pereció en el mar a causa de este sacrilegio.

Se designaron a estos poliedros como cuerpos cósmicos. Esta denominación se halla probablemente relacionada con la representación post-pitagórica y atomística de la estructura del Universo. Según esta escuela, los elementos estarían formados por pequeñas partículas, las cuales, en el caso del fuego, tienen la forma de tetraedro; en el aire, octaedro; en el agua, icosaedro; y en la Tierra, cubo. Como la forma del dodecaedro no figura entre las partículas constitutivas de los elementos, se afirmaba que dicha forma servía de plan de construcción del Universo, y hacía las veces de contorno del mismo.

La doctrina pitagórica no sólo sucumbió frente a sus propias contradicciones internas, sino también ante las críticas que le dirigieran las doctrinas de la Escuela de Elea, cuyo fundador fuera Parménides. Entre sus discípulos se encontraba Zenón de Elea, uno de los mayores críticos de las concepciones pitagóricas. Sus paradojas (Aquiles y la tortuga, la flecha en el aire, etc.) demuestran los absurdos implicados en la concepción de los cuerpos como suma de puntos, o del tiempo como suma de instantes, o del movimiento como suma de tránsitos de un punto a otro.

Sin embargo, a pesar de que sus descubrimiento matemáticos les sirvieron como confirmación de sus creencias sobrenaturales, dichos descubrimientos constituyen justamente el aporte más valioso de sus pensamientos.

"Un conocimiento profundo de las cosas no lo obtendremos ni ahora ni nunca, en tanto que no las contemplemos en su crecer desde el principio."
Aristóteles

"Excepto las fuerzas ciegas de la naturaleza, no se mueve nada en el mundo que no sea griego en sus orígenes."
Sir Henry James Sumner Maine

La figura de Pitágoras nos aparece coloreada y fuertemente fabulada por la pluma de sus hagiógrafos tardíos Diógenes Laercio y Porfirio, del siglo III d. de C., y Iámblico, del siglo IV. Pero ya incluso en el siglo V a. de C. Herodoto mismo presenta un Pitágoras mítico confundido con una figura tan fabulosa como Zalmoxis, medio héroe, medio dios. Y también la figura que Aristóteles dibuja de Pitágoras en los fragmentos que se conservan aparece entre las brumas de la leyenda. Es lástima que la obra que Aristóteles dedicó a los pitagóricos, bajo este título, oi Pythagoricoi, no haya llegado hasta nosotros, pues sin duda con ella tendríamos una visión mucho más cabal del pitagorismo primitivo, aunque probablemente no mucho mejor sobre Pitágoras mismo.

Lo que sobre la vida de Pitágoras se sabe con relativa seguridad es lo siguiente. Nació en la isla de Samos, junto a Mileto, en la primera mitad del siglo VI. Fue hijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante de Samos. Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viajó al sur de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagórica. Murió muy anciano en Metaponto.

Se discute sobre los siguientes datos de su vida. Año de su nacimiento (600? Eratóstenes, 570? Aristoxeno). Cronología exacta de sus viajes. Qué sucedió con él cuando los ciudadanos de Crotona expulsaron a los pitagóricos en 509. Si murió violentamente o no en Metaponto.

Se pueden distinguir tres etapas en su vida: la primera en el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia y Egipto y la tercera en lo que más tarde se llamó la Magna Grecia (Sur de Italia), con un intermedio en Samos entre la segunda y la tercera etapas.

Poco se sabe de las dos primeras. Iámblico cuenta que Pitágoras visitó a Tales en Mileto, lo que cronológicamente es acorde y geográficamente muy posible por la proximidad entre Samos y Mileto. También allí pudo conocer al filósofo Anaximandro personalmente. Como su maestro se cita sobre todo a Ferekides de Siros (Aristóteles, Aristoxeno, Dicaiarcos) a quien Aristóteles caracteriza como teólogo y taumaturgo.

Sobre los viajes a Oriente de Pitágoras existen muchas leyendas que sus biógrafos posteriores narran en detalle. Pero el hecho de sus estancias en Egipto y Babilonia aparece ya atestiguado en escritores mucho más antiguos como Isocrates (IV.a. de C), Herodoto (V a. de C.) y Aristoxeno (IV a. de C). Por otra parte el parentesco de muchas de las ideas pitagóricas primitivas, tanto matemáticas y astronómicas como religiosas, delatan claramente el fuerte influjo oriental y egipcio y se puede pensar con confianza que pertenecen al acervo de enseñanzas iniciales de Pitágoras mismo.

Según algunas tradiciones, al volver Pitágoras a Samos se le pidió que enseñase sus ideas a sus propios conciudadanos. Al parecer les resultó demasiado abstracto y su enseñanza tuvo poco éxito. Esto, junto con la opresión del tirano Policrates, le debió de conducir a tomar la decisión de emigrar.

En 529 Pitágoras se trasladó a la polis (ciudad-estado) de Crotona, fundación aquea del siglo VIII a. de C., en la parte sur del golfo de Tarento. Las colonias griegas del sur de Italia gozaban entonces de una gran prosperidad, sobresaliendo entre ellas Síbaris, famosa en el mundo griego por sus riquezas y su vida lujosa. Crotona era su principal rival y vecina. Allí llegó Pitágoras con un sistema de pensamiento más o menos perfilado después de su larga experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad le pidió que expusiera sus ideas y, según la tradición, Pitágoras dirigió por separado cuatro grandes discursos a los jóvenes, al Senado a las mujeres y a los niños. El contenido de estos cuatro discursos tal como ha sido transmitido por diversos conductos, está lleno de reconmendaciones morales de gran perfección, derivadas fundamentalmente de la necesidad de ajustar la conducta humana a los cánones de armonía y justeza que se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con elementos específicos de la mitología de los habitantes de Crotona. Como consecuencia de este primer contacto surgió, al parecer, no sólo en Crotona, sino en toda Italia un gran entusiasmo por Pitágoras.

Durante algún tiempo, muchos historiadores recientes han considerado a los biógrafos posteriores de Pitágoras como poco más que novelistas que pretendían exclusivamente proponer una imagen edificante del santo patrón del pitagorismo de su tiempo, tanto en su actividad como en su enseñanza religiosa y científica. Hoy existe una cierta tendencia, representada sobre todo por la obra reciente de van der Waerden Die Pythagoreer (1979), que me sirve de pauta principal en mi exposición, a concederles una mayor verosimilitud, teniendo en cuenta que ellos, muy probablemente, pudieron disponer de documentos antiguos, hoy perdidos, testimonios de tradiciones mucho más cercanas a los orígenes del movimiento pitagórico.
Pitágoras nace en la isla de Samos, una isla que esta en el hermoso Mar Egeo, muy cerca de la costa de Turquia, fue en el año 580 a. C.. La historia comienza cuando oye hablar de una gran ciudad en la actual Italia; esta ciudad era fruto de una serie de colonias que los griegos hicieron florecer entre los siglos VIII y VI antes de Jesucristo. Los Griegos llegaron por mar y desembarcaron en el actual puerto de Brindisi y en Tarento, fundando varias ciudades entre ellas Síbaris y Crotona, que muy rápido pasaron a ser las más pobladas. De Síbari se dice que llegó a tener mas de trescientos mil habitantes, llegó a ser tan célebre gracias a los lujos que había en ella, que hoy en día por su nombre se ha inventado un adjetivo "sibarita" que es un sinónimo de refinado.

En esta ciudad solo trabajaban los esclavos, los cuales tenían prohibido realizar actividades ruidosas a la hora de la siesta, pudiendo así con sus ruidos molestar a los habitantes de tan gran ciudad, quienes se ocupaban tan solo de la moda, la cocina y los deportes. Alcístenes envío a confeccionarse ropa la cual luego Diógenes de Siracusa la vende por quinientos millones de liras y Esmíndrides se hacia acompañar por una "tropilla" de mil servidores. Los cocineros de esta ciudad poseían la particularidad de que podían patentar sus platos por un período de un año, lo que ayudaba para que los creadores solo trabajaran un par de años de su vida y luego vivían de los derechos de autor de sus platos. Además de todo esto, no existía el servicio militar.

Lamentablemente hacia finales del siglo VI a.C. esta feliz ciudad quiso obtener el poderío político además de tener el placer y la comodidad con la que ya contaba, y este fue su grave error, pues las dos cualidades que poseía se llevaban mal con la política en aquella época, por lo cual entra en un importante litigio con su hermana Crotona que era menos rica pero mucho mas seria. Al enfrentarse los ejercitos de ambas ciudades, se comenta que los de Crotona contaban solamente con flautas que al hacerlas sonar los caballos del ejército de Síbaris, acostumbrados mas a los espectáculos que a la guerra, comenzaron a danzar como si se tratara de un espectáculo circense. Síbaris fue arrasada de modo tal que un siglo después de este hecho, el famosos historiador Heródoto no encontró rastros de ella. Y Crotona una vez ganada la batalla terminó por copiar la forma de vida de Síbaris y murió por su misma enfermedad, el sibaritismo.

Pitágoras oye esto, como si de una gran metrópoli se tratara, una capital donde los estudios florecían con una particular lozanía. El ya había estado de visita por casi todo el mundo antiguo, se comenta que había llegado hasta visitar la India. Cuando vuelve de su viaje al llegar a su Isla se encuentra con que estaba en el gobierno un dictador, Polcrates, y como el mismo Pitágoras era demasiado dictador, se dio cuenta que no había lugar para los dos, además él detestaba a Polcrates; por lo cual decide transladarse a vivir a Crotona, donde funda la más totalitaria de todas las academias.

En ella podían ingresar personas de ambos sexos, pero no sin antes comprometerse a castidad y a realizar una dieta que excluía el vino, los huevos y las habas. El porqué de las habas hasta el día de hoy no se conoce, muchos piensan que es porque él las detestaría. Todos allí se debían vestir de la manera mas sencilla y decente posible, se prohibía reír y al final de cada curso los alumnos debían realizar en público "la autocrítica", o sea confesar sus propias desviaciones.

Los alumnos estaban divididos en dos grandes grupos, los externos, quienes volvían a sus casas luego de las clases, y lo internos quienes vivían allí en una especie de monasterio. El "maestro" dejaba al primer grupo a cargo de sus ayudantes, mientras que él mismo y solo, se ocupaba de la enseñanza de los internos, "los esotéricos" que constituían el restringido grupo de verdaderos iniciados. Pero también los alumnos externos veían a Pitágoras en persona solamente después de cuatro años de curso, durante los cuales ellos recibían las lecciones escritas de él, estas mismas estaban autentificadas con la formula "autos efa" que significa "lo que ha dicho él", para dar a entender que no existía discusión alguna posible. Luego de esta parte preparatoria de los alumnos, el maestro Pitágoras se dignaba a aparecer en persona ante ellos e impartirle, ya, directamente los frutos de su sabiduría.

Iniciaba a sus alumnos con las matemáticas, pero no al nivel que lo hacían en esa época los "groseros y utilitarios" egipcios, que la habían inventado solo con objetivos prácticos; sino que Pitágoras se les hacía ver como una teoría abstracta para llevar a las mentes hacia la deducción lógica, hacia la exactitud de las relaciones y a su comprobación. Una vez que los alumnos habian aprobado este nivel, los llevaba a enseñarles geometría, que gracias a Pitágoras se articula definitivamente en sus elementos básicos: axioma, teorema y demostración.

Sin conocer a Tales de Mileto, él mismo descubrió varios teoremas, como el que dice "la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos y otro que dice el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Quizás el maestro hubiera anticipado muchisimos teoremas mas, pero es que él consideraba estas cosas demasiado humildes para su genio. Apolodoro hace un comentario en sus libros acerca de Pitágoras la cual no es demasiado creible, pues decía que "Pitágoras sacrificó cien reses en agradecimiento a los dioses por haberlo iluminado para descubrir su teorema". No es creible, puesto que Pitágoras se jactó toda su vida de no haberle tocado nunca el pelo a un animal, además obligaba a sus alumnos a que siguieran este consejo. El único ejercicio que le procuraba felicidad al maestro no era la formulacion de sus teoremas o el descubrimiento de uno nuevo, sino la especulación de esto en la teoría abstracta.

En el tercer estadio, los alumnos veían Aritmética, pero no como un instrumento de la contabilidad, sino como el "estudio de las proporciones", y gracias a esto es como él descubre las relaciones numéricas que regulan la música. Cuenta la historia que un día pasó por una herrería y se quedó estupefacto al darse cuenta de la rítmica regularidad con la que el herrero hacía repicar el martillo sobre el yunque; tal fue su admiración de este echo, que llegado a su casa se puso a experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensión, pero de distinta longitud. De esta manera pudo concluir que las notas dependían del numero de vibraciones, esto mismo Pitágoras lo calculó y concluyó que la música no era más que una relación matemática de las vibraciones medidas según intervalos. Aún más se atrevió a definir al silencio como música, que el oído humano no percibe por la simple razón de ser continua, osea carente de intervalos. "Es la música de las esferas, que los planetas, como los demás cuerpos cuando se mueven, producen en su girar alrededor de la Tierra, puesto que también la Tierra es una esfera". Dijo Pitágoras mas de dos mil años antes que Copérnico o Galilelo Galilei, además continuó diciendo: "gira sobre si misma de Oeste a Este y está dividida en cinco zonas: ártica, antártica, estival, invernal y ecuatorial; y, con los demás planetas forma el cosmos". Además de afirmar todo esto se conoce que sus seguidores llamados "pitagóricos" fueron los primeros en el mundo en afirmar que la tierra giraba en torno al sol.

No queda ninguna duda del genio y la mente del gran maestro Pitágoras, y que muchas veces desestimaba su sabiduría, el mundo de hoy sería muy distinto si se hubieran aplicado todos estos conocimientos, no obstante todo esto hizo que fuera uno de los más grandes fundadores de la ciencia y el que más ha contribuido a su desarrollo. Timón de Atenas que estaba en condiciones de alcanzar la grandeza e inteligencia del maestro, lo describió como "un sabiazo del lenguaje solemne que logró adquirir importancia a cópia de dársela". Sin duda en las palabras de Timón hay muchísima verdad, pues aquel "liberal" que había huído de su Samos natal por una dictadura, instaló una él mismo despues, en Crotona la cual seguramente hubiera llenado de envidia a Hitler o a Stalin. Pitágoras no se limitaba a vivir castamente, con una dieta rigurosa, con una actitud contenida y sosegada, sino que esto era un instrumento de publicidad también.

Encerrado en su orgullo, y convenciendose cada vez más de estar constituyendo una clase selecta y predestinada por los dioses a poner orden en el pueblo de los hombres comunes, los pitagóricos diciden a todo esto adueñarse del Estado y fundar en Crotona, sobre la base de las verdades filosóficas que habian sido elaboradas por "el maestro" , la república ideal. Una república en la cual se prohibiría el vino, la carne, los huevos, las habas, el amor y la risa, obligándolos en compensación, a la autocrítica.

No se sabe como sucedió, pero se sabe que en determinado momento los habitantes de Crotona se dieron cuenta de que todas las magistraturas estaban ocupadas por pitagóricos, que eran personas austeras, muy serias, aburridas, competentes y sosegadas y estaban a punto de convertir a Crotona en lo que Pitágoras había convertido su academia, una especie de cárcel. Entonces cuenta la historia de que los habitantes de Crotona movidos por esto, rodearon la academia; Pitágoras intuyendo las intenciones huyó de esta en ropa interior, de noche, pero el destino le jugó una muy mala pasada, puesto que guió a sus pasos hacia un campo de habas, que con el odio que él les tenía, se negó a agacharse en él para esconderse, con lo que fué alcanzado y muerto.

Ya contaba con hermosos ochenta años cuando la muerte le llegó, pero lo que nadie sabía era que sus conocimientos y creencias ya estaban puestas a salvo en las manos de su hija Damona, quien era la más fiel de sus seguidores, para que que ella misma las divulgase por todo el mundo.

TEOREMA DE PITAGORAS sobre el triángulo rectángulo, el cual, era ya conocido de los babilonios y de los hindúes. Los pitagóricos consideraban que las formas matemáticas más perfectas son: entre las superficies, el círculo, y entre los cuerpos, la esfera. Así, llegaron a la idea de que los cuerpos celestes son esféricos, tanto la Tierra, como los astros, y a la idea de que los planetas se mueven en órbitas circulares; de este modo, crearon los fundamentos de la astrología, aunque sería desarrollada por las generaciones pitagóricas siguientes. Todo ello les movió a ver en el mundo un cosmos, un orden normativo fundado en números y la medida.

LA COMUNIDAD PITAGÓRICA. GENERACIONES DE MATEMÁTICOS.

Los ciudadanos de Crotona propusieron, al parecer, a Pitágoras que continuase su labor de formación moral e intelectual de jóvenes y adultos. Los esfuerzos de Pitágoras se debieron de centrar, en lo que concierne a la formación personal completa, en los jóvenes a quienes encontró más flexibles y con más capacidad de absorber el espíritu pitagórico plenamente. Puesto que su sistema de pensamiento estaba basado en el descubrimiento y contemplación de la armonía del cosmos y a ello se habría de llegar muy fundamentalmente a través de la introducción en consideraciones científicas, muy difíciles para los más adultos, ocupados en los asuntos de la ciudad, estableció de modo natural dos formas distintas de enseñanza. Así es como explica Iámblico (Vita Pyth. 88) la existencia en la primitiva comunidad pitagórica de dos clases de miembros, los matemáticos (mathematikoi, conocedores) es decir los iniciados a quienes Pitágoras comunicaba los conocimientos científicos a su disposición y los acusmáticos (akousmatikoi, oidores) que participaban de los conocimientos y creencias, de los principios morales, ritos y prescripciones específicas de la hermandad, si bien sin conocer en profundidad las razones de su credo y su proceder. Esta distinción resultó ser de enorme trascendencia en la evolución de la comunidad pitagórica. Los acusmáticos se constituyeron en custodios de las enseñanzas de Pitágoras y su preocupación fue que éstas se conservaran tal como Pitágoras las había transmitido. Los matemáticos se consideraban continuadores más bien del espíritu de Pitágoras, basado en el conocimiento científico, y puesto que es connatural a éste su propia evolución era claro para ellos que el conjunto de conocimientos de Pitágoras era susceptible de perfeccionamiento. Era natural que esta diversidad de pareceres había de conducir a la división de la comunidad con la desaparición de Pitágoras y así sucedió en efecto.

La distinción entre matemáticos y acusmáticos es transmitida por múltiples canales. Iámblico es quien narra más por extenso la división entre ellos y su narración parece haber sido tomada de la obra perdida de Aristóteles sobre los pitagóricos. Al parecer fue Hipaso el principal representante de los matemáticos. Se debió de ocupar con notable éxito de hacer avanzar los conocimientos matemáticos. A principios del siglo V (500-480) entró en conflicto con los acusmáticos, ya que fue el primero en ofrecer por escrito al público en general "el secreto de la esfera de los doce pentágonos" (Iámblico, Vita Pyth.88), en castigo de lo cual murió en un naufragio. El "secreto de la esfaera de los doce pentágonos" alude a cierta construcción relacionada con el dodecaedro regular que los pitagóricos primitivos deseaban mantener en secreto, como el grueso de su doctrina en general. En otro lugar Iámblico mismo (Vita Pyth. 246-247) cuenta que aquél que reveló "la naturaleza del conmensurable y del inconmensurable a quienes no eran dignos de participar de tales conocimientos", fue expulsado de la comunidad. Los pitagóricos le erigieron una tumba como si para ellos ya hubiera muerto. Parece probable que fue Hipaso mismo este personaje que reveló por primera vez la existencia de longitudes inconmensurables y precisamente a través de un estudio del pentágono regular como veremos más adelante. Iámblico acusa a Hipaso de haberse atribuído el mérito de sus descubrimientos, "siendo así que todos proceden de El", es decir de Pitágoras. Se puede pensar razonablemente que Hipaso fue un gran matemático que efectivamente dió por primera vez con la existencia de longitudes inconmensurables, es decir tales que una no es un múltiplo de una parte de la otra, dando con ello al traste con la acariciada creencia de los pitagóricos primitivos de que todo debe estar regido por los números enteros y las proporciones entre ellos. La versión que Iámblico cuenta, acusando a Hipaso de plagio, proviene según la conjetura de van der Waerden, del círculo de pitagóricos matemáticos anónimos entre 480-430 de quienes la tomó Aristóteles mismo. Estos pitagóricos fueron potentes matemáticos con la estrategia común de atribuir a Pitágoras mismo sus descubrimientos matemáticos.

¿Como pudo tener lugar el descubrimiento de Hipaso de los inconmensurables?. En 1954 Kurt von Fritz publicó un artículo importante, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of Mathematics 46 (1954), 242-264. De acuerdo con sus investigaciones se puede pensar que fue más o menos como sigue. Los pitagóricos primitivos estaban profundamente familiarizados con el pentágono regular. Según parece el emblema que les servía para reconocimiento mutuo era el pentagrama, es decir la estrella de cinco puntas formada por las diagonales de un pentágono regular. En sus cinco vértices solían colocar las letras de la palabra ugieia, salud. Las razones de la especial veneración de los pitagóricos por esta figura no nos es bien conocida, pero uno se inclina a pensar que en ella, al igual que en la tetraktis, que luego examinaremos más a fondo, encontraban armonías geométricas y numéricas extraordinariamente llamativas. Es fácil ver que todos los ángulos que aparecen en la figura son múltiplos enteros del más pequeño de entre ellos (72º=2x36º, 108º=3x36º, 144º=4x36º, 180º=5x36º). Parece natural que los pitagóricos se preguntaran sobre la proporción en que se encuentran también los segmentos que aparecen en esta figura.

No es difícil ver, siempre con los elementos que los pitagóricos del tiempo de Hipaso tenían a su disposición, que cada segmento de los dibujados está con el que es inmediatamente mayor exactamente en la misma proporción, que es precisamente la proporción los pitagóricos tenían ya, como veremos más tarde en detalle, el proceso denominado antanairesis, o cancelación de uno y otro lado, que se corresponde geométricamente con el llamado algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números.

Suppongamos que los segmento señalados en la figura por AD y EG son conmensurables es decir que existe un segmento u tal que AD mide mu y EG mide nu. Tratamos de determinar la fracción m/n. Podemos suponer que m/n está en forma irreducible, es decir, suponemos que no existen números naturales, m* menor que m, y n* menor que n, tales que m/n=m*/n*. De la figura misma es sencillo deducir que GI mide (m-n)u y que GF mide (2n-m)u. Por otra parte es claro que AD y GI son diagonales de pentágonos regulares de lados EA= EG y GF respectivamente. Por tanto AD/EG=GI/GF, es decir m/n=(m-n)/(2n-m). LLamando m*= m-n, n*=2n-m, hemos obtenido una contradicción con nuestra hipótesis de que m/n era fracción irreducible. Así nuestro punto de partida de que AD y EG son conmensurables es falso.

Así como entre los pitagóricos acusmáticos, como es natural, apenas se pueden distinguir etapas evolutivas, entre los pitagóricos matemáticos que se dedicaron al desarrollo de la ciencia estas etapas se pueden diferenciar con cierta probabilidad. Así van der Waerden distingue cinco generaciones en el pitagorismo entre los años 530-360.

1ª Generación (530-500): Pitágoras.
2ª Generación (520-480): Hipaso de Metaponto, Alcmeon.
3ª Generación (480-430): Matemáticos anónimos.
4ª Generación (440-400): Filolao, Teodoro.
5ª Generación (400-360): Arquitas de Tarento.

Los matemáticos anónimos de la tercera generación debieron de constituir un grupo muy interesante del que Aristóteles se hace eco con admiración. De ellos habla como de los fundadores de la matemática tal como se cultivaba en su tiempo, una matemática bien adulta, rigurosa y ampliamente evolucionada. De ellos decía Aristóteles(según Iámblico De communi math. sci. 78) que "estiman mucho la exactitud de la argumentación en las ciencias matemáticas, porque solo ellas poseen demostraciones". Más adelante tendremos ocasión de examinar el fuerte impacto que dejaron en la geometría y en la aritmética, que quedó plasmado en los Elementos de Euclides.

Filolao, de la 4ª generación, fue de estilo grandilocuente y ampuloso, sin mucho rigor matemático. Su astronomía también carece de rigor científico. Conocía y utilizaba los conocimientos matemáticos, pero su lógica y su matemática resulta más bien floja.

ALGUNOS FRAGMENTOS DE LA ENSEÑANZA PITAGÓRICA.

ARMONÍA DEL COSMOS

Pocos filósofos y muchos menos han sido los científicos que hayan sabido encarnar sus enseñanzas con elementos sensibles con tanto acierto como Pitágoras. La famosa armonía de las esferas de la enseñanza pitagórica primitiva era mucho más profunda que la mera conjetura de la consonancia de las notas que los astros producen en su movimiento.
Para Pitágoras la visión fundamental consistió en que el universo es un cosmos, un todo ordenado y armoniosamente conjuntado. El destino del hombre consiste en considerarse a sí mismo como una pieza de este cosmos, descubrir el lugar propio que le está asignado y mantener en sí y en su entorno, en lo que está de su parte, la armonía que es debida de acuerdo con el orden natural de las cosas.

La armonía cósmica entendida en este sentido fue probablemente una audaz conclusión de madurez a la que Pitágoras llegó a través de la observación de la congruencia de sus consideraciones científicas sobre números, figuras, notas musicales, con las ideas orientales sobre el alma, los astros y la divinidad.

Los números constituían el armazón inteligible de las formas en la aritmética figurativa de los pitagóricos, construída por ellos mediante piedras (psefoi, cálculos). Al mismo tiempo los números desvelaban las proporciones que regían las consonancias musicales. ¿No era natural ver en el número el principio inteligible a través del cual el cosmos divino gobernado por el espíritu manifestaba al hombre su armonía interna?.

Según cuenta Porfirio (Vita Pyth. 30-31) y Iámblico (Vita Pyth. 64-66) en un pasaje que toman de Nicómaco de Gerasa (ca 50-150 d. de C.), quien por su parte parece hacerse eco de fuentes pitagóricas antiguas, Pitágoras "dirigía su oído y su espíritu hacia las sublimes consonancias del cosmos gracias a una inefable capacidad divina difícil de imaginar. Con ello oía y entendía él solo, según explicaba, toda la armonía y el concierto de las esferas y los astros que en él se mueven".

La música era a la vez entre los pitagóricos el símbolo de la armonía del cosmos y un medio para lograr el equilibrio interno en el espíritu mismo del hombre.

EL JURAMENTO PITAGÓRICO

Bajo diversas formas se ha conservado una breve fórmula pitagórica de difícil interpretación que, según es de suponer, contenía algo muy cercano a la quinta esencia del espíritu pitagórico. En la versión más corriente reza así: "No, por Aquél que ha entregado a nuestras almas la Tetraktis, una fuente que contiene las raíces de la naturaleza eterna".

Al parecer constituye un juramento de secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica, reservado a miembros de la comunidad exclusivamente. "Aquél", por supuesto, es Pitágoras mismo, a quien los pitagóricos primitivos no osaban nombrar. La Tetraktis, o cuaterna, consiste probablemente en los números 1,2,3,4, que conjuntamente solían representar los pitagóricos en esta forma figurativa

x
x x
x x x
x x x x

¿En qué sentido la Tetraktis podía ser "fuente de las raíces de la naturaleza eterna"?. Según parece, la Tetraktis alude a la iluminación pitagórica inicial y fundamental sobre las proporciones numéricas que rigen las notas musicales consonantes: el tono (1:1), la octava (1:2), la quinta (3:2) y la cuarta (4:3). Más adelante tendremos ocasión de considerar en detalle los experimentos musicales con cuerdas que pusieron de manifiesto tales proporciones. En la experiencia pitagórica esta observación debió de constituir el estímulo decisivo hacia la extrapolación cuasimística de que el cosmos es en algún modo alcanzable a través del número. Tal vez es en este sentido en el que se exalta la Tetraktis como fuente del conocimiento de las raíces de la armonía de la naturaleza eterna, en el cual se basa la existencia pitagórica.

Se puede uno preguntar: ¿cuál fue el sentido del secreto pitagórico que el juramento solemnemente impone?. Entonces, como hoy, el secreto compartido constituye un fuerte vínculo de conexión de los miembros de una comunidad reducida. La comunidad pitagórica llegó a tener una complicada organización interna, con largos períodos de noviciado, pruebas de silencio y de robustecimiento del espíritu a través de experiencias encaminadas a fomentar la humildad y la asimilación paulatina del espíritu pitagórico. Muchas de las doctrinas esotéricas de los pitagóricos se prestaban, fuera de su contexto total, a malentendidos que era conveniente evitar. Las mismas enseñanzas matemáticas cobraban probablemente un halo especial colocadas dentro del ambiente de los iniciados pitagóricos, constituyendo para ellos un soporte de su camino de vida con un significado que va mucho más allá del carácter de mera curiosidad especulativa que podía constituir para los espectadores externos. Por otra parte, en la vida religiosa de la Grecia contemporánea a Pitágoras abundaban extraordinariamente los misterios o ceremonias asimismo secretas de iniciación y purificación progresiva, con la finalidad de provocar en el espíritu del iniciado un estado de veneración, fervor religioso y entusiasmo místico, llevadas a cabo en una parte oculta del templo. Los festivales nacionales de Delfos, Eleusis, incluían misterios celebrados con genuina exaltación religiosa. Parece muy probable que Pitágoras adoptase en la tarea de formación de sus adeptos los métodos y técnicas que había observado ser de gran eficacia..

Este rasgo secretista de la enseñanza pitagórica primitiva fue mitigado más adelante. El "No" rotundo del juramento aparece convertido en sí en los Versos Aureos, una compilación de enseñanzas pitagóricas escrita probablemente en el segundo o tercer siglo después de Cristo, teniendo a la vista fuentes mucho más antiguas, y destinada a expandir la doctrina pitagórica a todos los hombres.

He aquí algunas de sus consideraciones c on más probabilidad de pertenecer al pitagorismo primitivo.

1. " Honra ante todo a los dioses inmortales, como manda la ley,
2. y observa el juramento. Honra también a los nobles héroes
3. y a los dioses del mundo inferior con las ofrendas prescritas.
...................................................

9. ...... acostúmbrate a ser señor
10. ante todo de tu vientre, del sueño, de la lascivia y de la ira.
Nunca hagas nada vergonzoso ni con otros ni contigo mismo; sobre todo avergüenzate de tí mismo....
17. Hay dolores fque llegan a los humanos por designio divino. Por ello
18. cuando la fatalidad te alcance, sopórtala y no la lleves mal.
19. Remédiala, cuanto de tu parte esté y piensa
20. que el destino al que es bueno no le reserva mucho de ella.

....................................................

40. No dejes que el sueño suave llegue a tus ojos
41. antes de que hayas repasado en tu mente por tres veces cada una de tus acciones del día.
42. "¿En qué he faltado? ¿Qué he hecho? ¿Qué he omitido?".
43. Comienza desde el principio y recórrelo todo.
44. Si has hecho algo mal, arrepiéntete; si has hecho algo bien, alégrate.
46. Esto te conducirá por las huellas de la virtud divina.
47. Si, por Aquél que ha entregado a nuestra alma la Tetraktis
48. fuente de la naturaleza eterna".

INMORTALIDAD DEL ALMA

Porfirio, en su biografía de Pitágoras (Vita Pyth. 19) transmite un testimonio de Dicaiarcos un alumno de Aristóteles, que resume las enseñanzas de Pitágoras en estos cuatro puntos:

(1) Que el alma es inmortal.
(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma de vida a otra.
(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada realmente nuevo.
(4) Que hay que considerar todos los seres animados como emparentados entre sí.

La creencia pitagórica del origen divino del alma viene expresada en los versos áureos cno las siguientes palabras:
63. "Pero tú ten ánimo. De naturaleza divina son los mortales".

Este aspecto de la filosofía pitagórica aparece fuertemente emparentado con la mentalidad del orfismo, un movimiento religioso que, probablemente viniendo de oriente, se instaura en Grecia empezando por Tracia en siglo VI a. de C. La Grecia anterior al siglo VI tenía en los libros homéricos un equivalente de las escrituras sagradas de otros pueblos. El pensamiento de un alma inmortal es totalmente ajeno al espíritu griego antiguo. Pero al parecer esta situación cambió radicalmente a partir del siglo VI, muy posiblemente bajo la influencia de multitud de movimientos religiosos que procedentes de Persia, de la India ñyñ de Egipto, se asentaron en el mundo griego. De hecho el panorama de creencias religiosas es totalmente diferente en el siglo IV a. de C. El orfismo tenía a Diónisos como dios y a Orfeo como su sacerdote, reuniendo cierto sentido místico con una ascética de purificación. El espíritu humano procede de otro mundo y se encuentra como desterrado en este, encadenado al cuerpo por la sensualidad. Existe un mundo de acá y otro de más allá y la vida debe vivirse como una fuga de lo terreno.

Muy probablemente Pitágoras amalgamó elementos órficos con otros, posiblemente de origen persa, como el del eterno retorno que aparece mencionado en el punto 3 de Diocaiarcos, y con sus propias concepciones sobre la constitución del cosmos y sobre el modo concreto de purificación a través de la contemplación, dando primacía al elemento racional y matemático sobre el poético de aquellas cosmmogonías primitivas, para producir una síntesis que resultó profundamente atrayente no sólo para sus contemporáneos, sino para los muchos movimientos de inspiración pitagórica durante más de diez siglos.

Al parecer, en el modo de vida de los pitagóricos primitivos la metafísica como tal era poco importante. Lo que verdaderamente importaba era la vida pura, concretada en la armonía del alma con el cosmos, que habría de concluir con la liberación del alma del círculo de reencarnaciones. Lo que importaba era la elevación del alma al cielo de los bienaventurados tras la muerte.

LOS PITAGÓRICOS DEL HELENISMO Y DE LA ERA ROMANA.

Según aparece en diversas fuentes, aunque los pitagóricos de Crotona del tiempo de Pitágoras no constituyeron propiamente un grupo político, sin embargo llegaron a adquirir una gran influencia y poder en las decisiones de la ciudad. Poco después de que los crotoniatas destruyeran la ciudad de Síbaris, su rival, en el año 510, se despertó en Crotona un movimiento antipitagórico de oscuro origen. En el año 509 Pitágoras tuvo que exiliarse en Metaponto, donde murió el año 500. La comunidad pitagórica se rehizo de nuevo más tarde en Crotona, perdurando allí hasta 450. Al parecer la concepción política derivada del pitagorismo era más bien de tipo aristocrático, lo que no casaba con los aires democráticos que en el siglo V se respiraban en toda Grecia con el comienzo de la era de Pericles. En 450 la casa de los pitagóricos de Crotona fue incendiada y casi todos los pitagóricos fueron muertos. Asímismo hubo persecuciones de pitagóricos en otras ciudades de Italia. Muchos emigraron a Grecia, como Filolao, que se trasladó a Tebas. De toda Italia, tan sólo en Tarento sobrevivió una floreciente comunidad pitagórica presidida por Arquitas.

En el siglo IV hubo diversos grupos de pitagóricos: los discípulos de Filolao en Flius; el grupo de Arquitas en Tarento; los llamados "pitagoristas", eque entre 380 y 320 vivieron en Atenas y de los que hacen mofa varias de las comedias del tiempo.

En el siglo III a. de C. los pitagóricos de Tarento se dedicaron a diseminar por escrito hacia varias ciudades griegas, en particular Alejandría, las enseñanzas pitagóricas.

El primer contacto importante del mundo romano con el pitagorismo tuvo lugar en el año 209 a. de C. cuando Catón el Mayor fue huésped en Tarento durante una temporada del pitagórico Nearco. Allí se convirtió Catón en seguidor de las enseñanzas y modo de vida pitagóricos, como cuentan Cicerón en su diálogo Cato Maior y Plutarco en su Vida de Catón. Hacia 180 a. de C. se encontraron en Roma los llamados Libros de Numa, de enseñanzas pitagóricas, que, aunque no auténticos, demuestran el esfuerzo divulgador de los pitagóricos en el mundo romano. No casaban bien las doctrinas religiosas pitagóricas, que entre otras consas prohibían las ofrendas de animales, con los cultos oficiales romanos y fueron consiguientemente reprimidas y perseguidas.
Hacia el año 70 a. de C. Nigidio Fíguralo, un amigo de Cicerón, fundó una comunidad pitagórica en Roma, dando así comienzo al neopitagorismo. Hacia el año 50 d. de C., en tiempos de Claudio, construyeron los pitagóricos una basílica, un lugar de reunión diseñado de acuerdo con las necesidades de la vida pitagórica.

Se puede pensar con bastante seguridad que la tradición pitagórica fue conservada en Tarento con fidelidad desde los tiempos de Arquitas (hacia 380 a. de C.) hasta aproximadamente el año 180 a. de C. Poco se sabe de las comunidades pitagóricas desde 180 hasta el año 70 a. de C. Tal vez en este período de más de un siglo tuvo el pitagorismo una vida más bien lánguida hasta que Nigidio Fígulo restauró el fervor primitivo, ciertamente con caracteres mucho más romanos, orientando más la ascesis y purificación hacia el esfuerzo por la gloria de Roma que hacia la contemplación y empeño científicos, como el pitagorismo de los griegos. Ese parece ser el sabor del pitagorismo que aparece, por ejemplo, en el Sueño de Escipión, un fragmento del libro VI de la obra de Cicerón De Republica que muchos señalan entre sus obras más inspiradas.

Lo cierto es que los pitagóricos de esta época romana no realizaron en las ciencias matemáticas ninguna labor comparable, ni de lejos, con las de sus antecesores griegos.

LOS CUATRO MATHEMATA.

En tiempos de Platón y Aristoteles (siglo IV a. de C.), y en virtud sobre todo de los esfuerzos de los pitagóricos anteriores, el cuerpo de doctrina de las ciencias exactas ya estaba plenamente codificado. Las ciencias estaban constituídas por los cuatro mathemata.
Mathema es etimológicamente "lo que se aprende". Los cuatro mathemata, aritmética, geometría, astronomía y música constituían, por lo tanto, el saber por antonomasia. Así se expresa Aristóteles en uno de los fragmentos conservados, sobre la relación de los pitagóricos con las ciencia exactas (Metafísica 985 b), del que señalaré los párrafos más clarificadores:

" En este tiempo (de Leucipo y Demócrito, segunda mitad dle siglo IV a. de C.) y ya antes se ocuparon los llamados pitagóricos de las ciencias matemáticas (ta mathemata). Ellos fueron los primeros que cultivaron estas ciencias y, al introducirse en ellas, llegaron a la opinión de que los principios de estas ciencias son los principios de todas las cosas. Y como los números son por naturaleza los primeros de entre estos principios y como pensaban ver en los números muchas semejanzas con lo que es y lo que ocurre, más bien que en el fuego, tierra y agua, opinaron que una cierta cualidad de los números era la justicia, otra el alma y la razón, otra la ocasión adecuada, etc. Y como también veían que las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los números y que todas las cosas están también conformadas según los números y que los números son lo primero en toda la naturaleza, pensaron que los elementos de los números son los elementos de todas las cosas y que el cielo entero es armonía y número".

Aunque Aristóteles no enumera explicitamente cuáles son en concreto las ciencias matemáticas, el uso común de su tiempo, como se puede ver también en Platón, consideraba bajo el término mathemata la aritmética, geometría, astronomía y música, si bien en las palabras de Aristóteles citadas no aparece la geometría de modo tan explícito como las otras ciencias. Leyendo el relato completo de Aristóteles se llega a la conclusión de que para él hay un diferencia fuerte entre los pitagóricos más antiguos (los del tiempo de Leucipo y Demócrito y anteriores, es decir, los de los dos primeros tercios del siglo V) y los más recientes, a los que alude hablando en presente (probablemente Filolao y sus discúpulos, última parte del siglo V y posteriores). De aquéllos se expresa con sumo respeto, como de los fundadores de las ciencias exactas. Los últimos son criticados por introducir novedades mal justificadas.

En lo que sigue trataré de exponer brevemente algunos de los puntos más importante de las enseñanzas de los pitagóricos en Geometría, Aritmética y Música. La Astronomía de los pitagóricos será tratada en otra exposición de esta serie, por el profesor J.M. Torroja, dedicada a la astronomía de los griegos. En mi exposición utilzaré como guía fundamental la obra ya citada de van der Waerden, Die Pythagoreer.

LA GEOMETRÍA DE LOS PITAGÓRICOS.

La principal fuente de nuestro conocimiento sobre la geometría de los pitagóricos se encuentra en el comentario de Proclo a los Elementos de Euclides. Proclo escribe en Alejandría, muy alejado de Pitágoras en el tiempo, pues vivió del 410 al 485 d. de C., pero es seguro que tuvo ante sus ojos la Historia de la Geometría que Eudemo, un discípulo de Aristóteles, escribió hacia el año 320 a. de C. Al comienzo de su comentario a los Elementos Proclo transmite un resumen de lo que fue la historia de Eudemo. Otra fuente de considerable importancia es el mismo libro de los Elementos de Euclides. Señalaré a continuación algunas de las porciones de los elementos que parecen provenir de fuentes pitagóricas, a juzgar por diversos testimonios y por razones lógicas internas.

LA YUXTAPOSICIÓN DE SUPERFICIES

Euclides, en I, 44, propone la siguiente construcción:
"Yuxtaponer a un segmento dado, según un ángulo dado, un paralelogramo que sea igual (en área) a un triángulo dado".
En su comentario a este ejercicio escribe Proclo:
"Estas cosas son antiguas, como afirman los que siguen a Eudemo, y son invenciones de los pitagóricos, a saber la yuxtaposición (parabolé) de superficies, su exceso (hyperbolé) y su defecto (elleipsis).

De ellas tomaron los más recientes los nombres y los aplicaron a las llamadas secciones del cono y las denominaron a una parábola, a la ota hipérbola y a la tercera elipse, mientras que aquellos antiguos y divinos hmbres (los pitagóricos) dieron significado a estos nombres fundamentándose en la construcción de superficies planas sobre un segmento".

Los problemas de yuxtaposición de superficies se pueden proponer e forma más sencilla, como lo hicieron los pitagóricos, omitiendo la referencia a paralelogramos, del siguiente modo:

(A) Yuxtaponer a un segmento dado AB un rectángulo R que sea igual (en área) a un triángulo dado (parabolé).

(Para nosotros, resolver ya=S)

(B) Yuxtaponer a un segmento dado AB un rectángulo R igual a un triángulo dado S de modo que le falte un cuadrado Q (elleipsis).

(Para nosotros, resolver xy=S, x+y=a)

(C) Yuxtaponer a un segmento dado AB un rectángulo R igual a un triángulo dado S de modo que le sobre un cuadrado Q (hyperbolé).

(Para nosotros, resolver xy=S, x-y=a)

Como se ve, la solución de estos problemas equivale a la de una ecuación de segundo grado. Los problemas son extraordinariamente importantes y así Euclides los trata en tres ocasiones diferentes.

La solución de los griegos procede como lo haríamos nosotros mismos, sólo que todo viene fraseado geométricamente. Si queremos resolver xy=S, x-y=a, lo reducimos a y(y+a)= S, que se puede poner, completando el cuadrado y^2+ay +(a/2)^2= S+ +(a/2)^2, es decir (y+a/2)^2 = S + (a/2)^2. Se trata ahora de construir un cuadrado de área igual a la de S+(a/2)^2 y así se obtiene y+a/2 y por tanto y. Todas estas operaciones algebraicas son las que aparecen e lenguaje puramente geométrico en la solució de Euclides. Si, como opina van der Waerden y otros muchos, es cierto lo que Proclo afirma sobre el origen pitagórico de estos problemas y sus soluciones, se puede pensar que los pitagóricos, probablemente ya los pitagóricos anónimos de la tercera generación, si no antes, tuvieron conocimiento de una parte bien substanciosa de los Elementos, en particular, por lo que de aquí se desprende, de I-45, I-47, II-5, II-6, II-14, que contienen las herrmientas para las soluciones de los problemas de yuxtaposición de superficies.

POLIGONOS REGULARES

El libro IV de los Elementos enseña cómo inscribir en un círculo un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono, un hexágono y un pentadecágono. Existen varios escolios es decir, notas marginales que se encuentran en diversos manuscritos, que atribuyen los teoremas de este libro IV a los pitagóricos. Según W. Burkert en su obra Weisheit und Wissenschaft (p. 426), estos escolios proceden de Eudemo. Los teoremas que aparecen en el libro IV se presentan en un estilo unitario a excepción del que se refiere a la construcción del pentadecágono. Proclo explica que la intención de Euclides al introducir el pentadecágono en este contexto estaba motivada en las necesidades de los astrónomos. Hacia 440 a. de C. Oinópides de Quios había determinado en 24º la inclinación de la eclíptica. Este ángulo es precisamente 360º/15 y así coincide con el ángulo correspondiente al lado del pentadecágono desde su centro. Según parece por todos los indicios, los pitagóricos antiguos supieron cómo construir polígonos regulares. Así, con todos estros datos, se puede pensar co van der Waerden y otros, que el libro IV, a excepción del último problema, sobre el pentadecágono, constituía una unidad de enseñanza mucho antes de que Euclides la incorporara a su obra, incluso se puede conjeturar que sea anterior al 440 a. de C.

De todas las construcciones del libro IV la más interesante es la que se refiere al pentágono regular (IV, 10-11). esta construcción se apoya de modo decisivo en la observación de que cada diagonal corta a otra en dos segmentos en proporción áurea, o bien en lo que Euclides llama "media y extrema razón". Los pitagóricos tenían especiales razones como hemos visto, para ocuparse intensamente del pentágono regular. La estrella formada por las diagonales, el pentagrama, era su símbolo de reconocimiento y de deseo de salud. Parece natural pensar en un intenso interés por construir exactamente tal figura y por entenderla racionalmente a fondo. Como hemos visto antes al tratar de Hipaso, el dodecaedro regular, y por tanto el pentágono regular, entrañaban para los pitagóricos hechos muy fundamentales. En este contexto pienso que se debe hacer notar que las consideraciones sobre la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado que antes hicimos son independientes de la posibilidad de construcción efectiva del pentágono regular. No es necesario pensar que Hipaso supiera construir el pentágono regular al modo de Euclides, aunque tampoco hay motivos para pensar que efectivamente no lo supo. Por otra parte, la construcción de la "media y extrema razón" que en Euclides aparece en II, 11, no requiere otra cosa que la solución de un problema de yuxtaposición de superficies, que los pitagóricos antiguos, según hemos visto, dominaban totalmente. Así teniendo en cuenta estas conexiones lógicas, se puede concluir que los pitagóricos conocieron la construcción de la razón áurea que se propone en los Elementos II, 11.

Guiados por los testimonios históricos, por argumentos de tipo lógico como los aducidos y por otros derivados del estilo de presentación y de congruencia interna, tanto van der Waerden como otros historiadores llegan a la conclusión de que los libros II y IV de los Elementos proceden completa o casi completamente de los pitagóricos.

Del libro III, relativo a cuerdas y tangentes en el círculo y de ángulos en el círculo, Neuenschwander ha mostrado que una gran parte era conocida de los pitagóricos antiguos y de Hipócrates de Quíos. El libro I de los Elementos tiene un carácter mucho menos transparente. Se puede aventurar que tal vez los pitagóricos hayan formulado una axiomática incipiente, pues los axiomas 1,2,3,7,8 son citados verbalmente (estilo pitagórico) en los libros II y IV, de procedencia más claramente pitagórica. La proposición I, 29 sobre la igualdad de los ángulos determinados por paralelas era conocida de los pitagóricos que demostraron mediante ella que la suma de los ángulos de un triángulo mide dos rectos. Conocieron también I,47(el "teorema de Pitágoras"), pero la demostración que poseían era a través de la teoría de proporciones, que Euclides evita en este libro.

Para acabar con los puntos más sobresalientes de la geometría de los pitagóricos se puede decir que, de acuerdo con un escolio al libro XIII de los Elementos, los pitagóricos conocieron de los cuerpos regulares, el cubo, el tetraedro y el dodecaedro. Según el mismo escolio, que parece muy verosímil, el octaedro y el icosaedro parecen haber sido estudiados por vez primera por Teeteto, en la primera mitad del siglo IV a. de C.

LA ARITMÉTICA DE LOS PITAGÓRICOS.

Al estudiar la aritmética de los pitagóricos es necesario distinguir claramente entre la aritmética científica y la aritmética popular. La aritmética científica de los griegos se encuentra resumida en los libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides que fueron escritos hacia el año 300 a. de C. Por testimonios históricos se puede concluir que algunas porciones de los libros VII y VIII es obra de los pitagóricos. En particular el libro VII debe de proceder de los matemáticos anónimos anteriores a Arquitas y el VIII de los de la escuela de Arquitas. Algunas porciones del libro IX, como la doctrina del "par e impar" es anterior incluso a los pitagóricos anónimos y posiblemente procede del tiempo de Hipaso de Metaponto (hacia el año 500 a. de C.).

No me ocuparé aquí de detallar específicamente el contenido de esta aritmética científica, pues esto será realizado en otra conferencia de esta serie, por el profesor Alberto Dou, dedicada a Euclides. Sólo quisiera señalar dos puntos particularmente notables de la aritmética de los Elementos, de los cuales uno con seguridad es de procedencia pitagórica y el otro con gran probabilidad también.

El primero se refiere a los llamados "números lado y diagonal". El segundo es el llamado "algoritmo de Euclides" para la obtención del máximo común divisor de dos números. Los números lado y diagonal constituyen pares de números formados recursivamente que servían a los pitagóricos para aproximar mediante fracciones, cada vez con mayor exactitud, la relación entre la diagonal y el cuadrado, es decir para aproximar la raíz de 2. De esta forma se expresa Proclo en su comentario al libro sobre la República de Platón:
"La unidad, como origen de todos los números, es potencialmente tanto lado como diagonal. Se toman ahora dos unidades: una como unidad-lado y otra como unidad-diagonal y se forma un nuevo lado, añadiendo a la unidad-lado la unidad-diagonal, y una nueva diagonal, añadiendo a la unidad-diagonal el doble de la unidad-lado"

El proceso de formación de los pares de números lado y diagonal prosigue de la misma forma. El nuevo lado es suma de los números lado y diagonal anteriores, la nueva diagonal es la suma de la diagonal anterior y dos veces el lado anterior, es decir:

¿De dónde proviene la extraña idea de este proceso recursivo, probablemente el primero de tal naturaleza en la historia de la matemática?.

Según Proclo, los pitagóricos demostraron el siguiente teorema:

" Si L y D son lado y diagonal de un cuadrado, entonces también L* =L+D y D*=D+2L son lado y diagonal de un cuadrado"

Y Proclo afirma que la demostración de los pitagóricos de esta propiedad se realizó mediante la proposición II, 10 de los Elementos de Euclides, que representa la identidad que nosotros escribiríamos así

(2X+Y)2+Y2=2X2+2(X+Y)2

En efecto, si suponemos que X=L, Y=D son lado y diagonal de un cuadrado, se tiene D2=2L2 y así substituyendo arriba y simplificando Y2=2X2, resulta

(2L+D)2=2(L+D)2

es decir, 2L+D es diagonal del cuadrado de lado L+D.

Es posible que la idea original de tal hilo de pensamiento y de demostración esté implicita en el proceso de antanairesis con el que, según O.Becker y otros (Cf. O.Becker, Grösse und Grenze der Mathematischen Denkweise, Karl Alber Verlag, 1959; trad. esp. Rialp, 1969) se procedía originariamente a la demostración de la irracionalidad de raíz de 2. El proceso aparece muy claramente sugerido por la siguiente figura:

Si l1=EF y d1=EC son lado y diagonal de un cuadrado, entonces DC=l2=l1+d1 y AC=d2=d1+2l1 son también lado y diagonal de otro cuadrado. El proceso de antanairesis es efectivamente la vuelta atrás del proceso de construcción de los pares de números lado y diagonal. En realidad, desde el punto de vista matemático es mucho más razonable pensar que el camino de las ideas fue el inverso, es decir, a fin de hallar la unidad común, si existe, capaz de medir al tiempo lado l2 y diagonal d2, era natural substraer de la diagonal el lado l2, obteniendo así CF y luego tratar de hallar la unidad común de CF=l1 y DC=d2, restando CF=EF=DE de DC para obtener así EC=d1. Al tratar de obtener la unidad común de EC=d1 y FC=l1 observamos que estamos en las condiciones iniciales pues d1 y l1 son diagonal y lado de un nuevo cuadrado. El proceso no acaba nunca y esto viene a demostrar la no existencia de tal unidad común. La vuelta atrás de esta antanairesis aplicada al cuadrado fue probablemente la motivación del método de construcción de los números lado y diagonal.

El proceso de antanairesis que hemos seguido no es otra cosa que la versión geométrica del algoritmo de Euclides para la obtención del máximo común divisor de dos números (VII, 33). Así, tanto por la estructura lógica de los libros VII y VIII de los Elementos como por consideraciones históricas, parece razonable concluir que los pitagóricos, en particular probablemente alguno de los matemáticos anónimos del siglo V conoció y estructuró estos dos algoritmos de una brillantez y profundidad que aún hoy día nos llenan de asombro.

La aritmética popular de los pitagóricos tenía otro sabor totalmente distinto del de estos retazos de la aritmética científica que hemos examinado. Su finalidad era hacer inteligible a todos las fascinantes propiedades de los números. La principal fuente de nuestro conocimiento de esta aritmética es la Introducción a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (ca. 50-150 d. de C.), obra que se extendió extraordinariamente a juzgar por el gran número de manuscritos (44) que de ella se conservan. En este trabajo aparecen por extenso la teoría figurativa de los números, los números triangulares, cuadrados rectangulares, pentagonales, etc. y se habla de las fabulosas y místicas propiedades de ciertos números en concreto.