Matemáticas

Número E

Compartir 0 Me sirvió 0 No me sirvió

Índex

Introducció ........................................................................................ 3

Marc matemàtic d'! .......................................................................... 4

Història del nombre ! ....................................................................... 8

Aplicacions del nombre ! ................................................................ 11

Càlcul del nombre ! ......................................................................... 13

Irracionalitat d'! ............................................................................... 20

Conclusions ..................................................................................... 22

Bibliografia ....................................................................................... 23

Pàgines web consultades ............................................................... 24

1-Introducció

He triat aquest treball de recerca perquè trobo que les matemàtiques són un món “subexplotat”, o sigui, que no en traiem tot el profit que en podríem treure si les estudiéssim més a fons. Ja que estic convençut de que gairebé totes les coses d'aquest món poden ser descompostes en paràmetres matemàtics. Tot això ha influït en mi a triar aquest treball per a aprofundir en les matemàtiques i conèixer-les millor. Sobretot amb un número tant explotat com és el número d'Éuler, que s'utilitza en un gran nombre de branques.

El meu objectiu en aquest treball és poder situar el nombre d'Éuler en el seu marc corresponent, o sigui, definir on es situa dins el grup de nombres com a transcendent, estudiar com s'ha realitzat el seu càlcul, l'historia que s'amaga rere seu i la influencia que té en un gran nombre de marcs matemàtics per a executar nombrosos càlculs.

2- Marc matemàtic d'e

En el gran conjunt de nombres, s'intentarà de situar el número d'Euler en el grup de nombres més reduït possible, però que mantingui la cohesió entre ells. Primer de tot suposo que he de definir els diversos tipus de nombres i situar el nombre ! en el que li pertoca.

Crec que hauria de començar per els nombres naturals, la successió il·limitada 0, 1, 2, 3, ... amb els quals es pot realitzar l'operació aritmètica més senzilla, que és la de comptar. Amb ells, amés, s'estableixen les relacions d'igualtat, major o menor, i les operacions fonamentals addicció i multiplicació, que són sempre possibles.

Els nombres sencers es consideren l'operació inversa a l'addicció: la subtracció, que no és pot realitzar quan el minuend és menor al subtrahend, porta a introduir els nombres negatius -1, -2, -3, ... Amb això un camp més ampli que el dels nombres naturals, constituït per aquests i els que acabo d'introduir.

Els nombres racionals, són resultat de l'operació inversa de la multiplicació, només és pot portar a cap en el camp dels nombres naturals i sencers quan el dividend és múltiple del divisor. Per a aixecar aquesta restricció s'introdueixen les fraccions m/n, on m i n representen nombres naturals, essent n diferent de zero. Dues fraccions m/n i m'/n' és diu que són equivalents, si mn' = nm'; llavors resulta natural associar a totes les fraccions pròpiament equivalents entre si un únic símbol, l'anomenat nombre fraccionari, i es representarà per a qualsevol de les fraccions esmentades. Així tenim que els nombres fraccionaris, juntament amb els nombres naturals i els sencers, componen els nombres racionals.

El següent grup de nombres que crec que hauria de definir és el d'irracionals, d'especial interès per a nosaltres pel fet de contenir els nombres transcendents que són aquells en els que ens centrarem, els nombres irracionals, sempre que ens sigui possible definir un parell de successions monòtones contigües com en el cas de "2, que ara en demostraré la seva irracionalitat:

Si "2 fos racional podria escriure's de manera irreductible

"2 = a/b

Si passem b al primer membre multiplicant i l'elevem, n'obtenim:

b2 · 2 =a2

Del que és dedueix que a és parell, doncs és igual a 2 per un número parell. Però si a2 és parell, a, també ho serà, doncs el quadrat d'un nombre imparell sempre és imparell. Si a és parell, podem escriure-ho com:

a = 2 · m

Sent m un nombre enter. Llavors:

a2 = 4 · m2

Si substituïm en l'expressió anterior n'obtenim:

b2 · 2 = a2 = 4 · m2

b2 · 2 = 4 · m2

b2 = 4 · m2 = 2 · m

Llavors b2 és parell, llavors b també. Contradicció, ja que a i b eren primers entre si. Per tant "2 és irracional.

Direm que l'anomenat parell de successions defineixen un número que constitueix l'element de separació o frontera entre ambdues successions, que quan no coincideixi amb algun dels nombres considerats fins aquí serà un nombre nou, al que anomenarem irracional. Està clar que l'anomenat nombre no ve definit exclusivament per aquest parell de successions, sinó que existeixen altres parells que també poden definir-la.

Un nombre transcendent, es un nombre complicat, ja que no és algebraic, es a dir, que no es arrel de cap polinomi P Q[X]. Si ð i ! són els dos nombres transcendents més “cèlebres”, els primers en ésser coneguts com a quals van ser els de Liouville el 1844. Encara que ara es coneguin explícitament nombroses famílies de nombres transcendents Log2, etc., i que el cardinal del conjunt dels nombres transcendents sigui considerablement major que el dels nombres algebraics Q (el primer té la potència del continu, mentre que el segon es únicament numerable, això significa que els nombres algebraics són aquells “finits”, o sigui que el seu nombre de decimals són finits o periòdics, mentre que un nombre transcendent té una quantitat infinita de decimals no periòdics), en la pràctica, per molts nombres notables, no se sap demostrar la seva transcendència eventual.

Els nombres algebraics, engloba als racionals, irracionals, naturals i sencers, i la seva principal propietat es que es poden definir com a arrel d'un polinomi P Q[X].

Per acabar trobem els nombres complexes o imaginaris, posant per exemple "-1 és aquell nombre que utilitzem com un simple símbol algebraic que compleix la finalitat de fer formalment vàlida la fórmula resolutiva. Els nombres imaginaris, es caracteritzen per anar normalment acompanyats d'una part real, i s'expressen com a un parell ordenat (a,b) de nombres reals.

Els nombres irracionals ens interessen en especial pel fet de contenir els nombres transcendents, que alhora contenen, per citar els més importants, el nombre ð i el nombre !, aquest últim es en el que centrarem aquest estudi, i n'intentarem demostrar la seva irracionalitat i la seva transcendència.

Hi ha nombrosos esquemes per a reflectir el que nosaltres hem intentat introduir, aquest n'és un d'ells:

On Q són els nombres racionals, I són els nombres irracionals i IR els nombres reals.

3- Historia del nombre !

El nombre ! va sorgir en el càlcul de logaritmes per taules però ha demostrat ser un nombre de gran importància. Per aquesta raó, crec que hauríem d'investigar una mica sobre la seva història.

Per a poder trobar una aplicació, en que el nombre ! apareix de forma discreta, ens hem de remuntar al s. XVII (exactament a l'any 1614), a l'època de l'astrònom John Napier, més conegut com Neper, que introdueix el concepte de logaritme en la seva obra “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”. La seva definició, encara que no utilitza explícitament el nombre !, és la que correspon, si s'utilitza el nombre anomenat com base dels logaritmes, també conegut com a logaritme neperià, que és aquell logaritme de base 2'718281828... El 1615, Briggs utilitzarà el número 10 com base dels logaritmes. Ara una petita definició de logaritme.

Un logaritme, és l'exponent o potència d'un nombre fix, denominat base, que s'ha d'elevar perquè el seu resultat sigui un nombre desitjat, per exemple, si prenem un logaritme en base 10, com pot ser Log10 1, aquesta expressió substitueix al nombre 0 (això es molt fàcil d'operar amb les calculadores), que coincidint amb la definició abans donada, ens diu a quina potència hem d'elevar la base (10) per a obtenir-ne el nombre que desitgem (1). Els logaritmes varen ser originalment inventats per a simplificar el càlcul de procediments aritmètics de multiplicació, divisió, potències i extracció d'arrels, encara que actualment tenen molts usos tant en matemàtiques pures, com en les aplicades.

Desprès d'aquesta petita explicació, crec que som capaços de seguir endavant amb el nostre viatge per el temps des del naixement del meravellós nombre !. El proper en fer front al repte de desenvolupar aquest nombre, és Newton (1665), desenvolupant !x, i per tant !, en suma infinita de l'invers de factorials. Això permet comprovar que la derivada d'!x és precisament igual a !x, es a dir, que l'exponencial !x és la funció del qual el ritme de creixement és igual a si mateixa. Crec que és la meva obligació fer un incís en l'historia per a demostrar aquest fenomen:

Mitjançant la derivació logarítmica:

f(x) = !x

ln f'(x) = x * ln !x

f'(x) = !x

Tornant a la història. Més tard (1687), el mateix Newton fa la primera edició dels “Principia Mathematica”. En el llibre II, dedicat al moviment d'objectes en un medi viscós, apareix l'exponencial decreixent com solució de l'equació diferencial corresponent al moviment d'un objecte sobre el que actua ena força de frenada proporcional a la seva velocitat. A partir del treball de Newton, l'aparició del nombre ! serà habitual en física, des de els refredaments dels cossos (estudiat ja per Newton) fins a la llei de les desintegracions radioactives (descoberta dos segles més tard).

L'any 1691, J. Bernouli dedica un estudi detallat de l'espiral logarítmica, el radi de la qual creix exponencialment com l'angle. Aquesta espiral es troba sovint a la natura (en la closca del Nautilus, per exemple) i en diverses obres d'art (Leonardo la va utilitzar en diverses ocasions).

El proper en enfrontar-se amb el repte de donar vida al nombre !, és Lehonard Euler, que demostra que cos x =ð !ix + !-ixð, amb el que la

ð 2 ð

trigonometria deixa de ser una rama independent de les matemàtiques, i passa a ser una rama d'anàlisi matemàtic, l'any 1748, demostra que !ix=cos x + (V-1) sin x. A partir d'ells és necessari demostrar que !i = -1. Aquesta fórmula ha estat ja considerada pels experts com una de les més brillants, elegants i misterioses de les matemàtiques de tots els temps. En ella conflueixen aritmètica (-1), àlgebra (V-1), geometria (n) i anàlisi (!). Però no va ser fins el 1748, que Euler va inventar el símbol !, calcular 23 xifres decimals del número !, i donar el seu desenvolupament en successió de fraccions ð! = 1 + 1 + 1 + 1 +... + 1 ð, així com la

ð 1! 2! 3! n! ð

seva arrel quadrada.

El 1761, J. H. Lambert és el primer en demostrar ! és un nombre irracional per un mètode diferent del d'Euler.

L'any 1811, Gaus, en els seus treballs sobre estadística estudia i popularitza l'anomenada destitució normal de probabilitat, proporcional a ! - ax2. Per això el número !, tindrà una presencia important en estadística.

Per fi, l'any 1873, Ch. Hermite demostra que ! és un nombre transcendent, es a dir, que no és solució de cap equació algebraica de coeficients racionals, a partir dels resultats anteriors de Liouville, qui, l'any 1844, demostra que era possible construir classes molt extenses de nombres transcendents mitjançant fraccions contínues.

En qüestions més de càlcul de xifres decimals, cal destacar, Boorman (1884), va arribar a calcular tres cents quaranta sis dígits. Aquest va ser l'últim cop que el nombre ! va ser calculat per a trobar més dígits que el componen manualment. A partir d'ara tots els càlculs es fan amb computadora.

Ara, el programa més usat per a calcular els dígits que conformen el nombre !, es diu PiFast33, que el 16 d'agost del 2000, va arribar a computar fins a 12.884.901.000 dígits, pel que va trigar 167 hores, amb un Pentium III 800 amb. 1024 Mb de memoria RAM i va ocupar 48 GB de disc dur.

Això més que res és un recorregut pel càlcul del nombre !. Moltes de les seves aplicacions s'han donat sobre tot en aquest segle, i en especial en el camp de les finances. Tot i que el primer cop en ésser usat fos per a fer càlculs astronòmics.

4- Aplicacions del nombre !

Com ja he dit en el punt anterior, el nombre d'Euler és un gran nombre que intervé en nombroses formules de diverses rames de les matemàtiques; en particular: és la suma de la sèrie " 1 , el límit de la

n"0 n!

successió de terme general ð1 + 1 ðn, l'únic real ð ð dt =1 i l'únic real a

ð n ð ðð t

tal que la funció x ! ax sigui igual a la seva derivada.

Un altre dels seus usos quotidians el podem trobar en estadística, usat per a fer la distribució normal, la fórmula de la qual és:

ð ðð

1 ð x - ð

y= 1__ ! 2 ð ð

"2 ð

La qual es tipifica per a aconseguir centrar la gràfica amb el punt (0,0), i la seva funció és la següent:

1 z2

y= 1__ ! 2

"2 ð

Un altre de es aplicacions que té el nombre !, per exemple, si agafem una cadena, en subjectem els extrems i deixem la cadena penjant, aquesta pel seu propi pes descriurà una corba ben característica: la catenària. La fórmula de la qual és:

!(x/a) + !-(x/a)

en que intervé, doncs, el nombre !. Quan a = 1 la funció la trobem a la calculadora com a cosinus hiperbòlic (cosh).

Com ja he esmentat abans, el nombre ! apareix molt sovint en les matemàtiques aplicades a l'economia. Ara en podrem apreciar un exemple

Suposem que una entitat financera ens dóna un 100% d'interessos per a la nostra inversió. Per cada pesseta invertida tindrem, al cap de l'any, dues pessetes.

Si fem que l'interès sigui del 50% semestral, per cada pesseta obtindrem, en un any: (1 + ½)2

Si variem la freqüència de capitalització i fem que l'interès sigui del 25% trimestral, el resultat al cap de l'any serà: (1 + ¼)4

Si ara la freqüència de capitalització és mensual, seguint el mateix procés arribaríem a un capital final de: (1 + 1/12)12

Si la freqüència de capitalització fos diària, s'arribaria a: (1 + 1/365)365

I si cobréssim els interessos cada segon: (1 + 1/31536000)31536000

Si continuéssim indefinidament aquest procés, arribaríem a la successió: (1 + 1/n)n

Això significa que si la freqüència de capitalització augmenta fins que arribem a cobrar els interessos contínuament, es a dir, cada instant, per cada pesseta obtindríem ! pessetes al cap d'un any.

5-Càlcul del nombre !

Una funció igual a la seva derivada

La funció exponencial ax (base a) és una funció diferenciable, la qual el límit que la segueix existeix:

(ax)' = lim ð ax+h-axð = lim ð ah-1ð ax = Cax

h→ 0 ð h ð h→ 0ð h ð

Un cas molt important és dona quan la derivada de la funció exponencial és igual que ella mateixa, el que implica:

C = 1 = lim ð ah-1ð

h→ 0 ð h ð

I pot ser escrit com:

a = lim ( 1+h) 1/h

h→ 0

Aquest límit va ser anomenat ! per Euler, el primer cop en una carta a Goldbach el 1731, més tard en el seu treball l'any 1736. L'origen d'aquesta tria potser és deu a la primera lletra de la paraula exponencial. Des d'ara la constant ! és definida per l'increment monòton de la seqüència:

! = lim !n = lim ð1+ 1 ðn

n→ ð n→ ð ð n ð

Però la convergència és molt lenta:

!1 = 2

!10 = 2'(59374246010...)

!100 = 2'7(0481382942...)

!1000 = 2'71(692393223...)

!10000 = 2'718(14592682...)

Una ràpida conversió que és fàcil d'obtenir:

! = lim ð2n+1ðn

n→ ð ð 2n-1ð

És interessant anotar que la constant ! és manté la clau en la posició més simple en l'equació diferencial de primer ordre:

y = y'

Una seqüència famosa

Una de les famoses seqüències usades, és utilitzant el teorema del binomi de Newton:

(1+x)n = 1+nx + n(n-1) x2+...+xn,

Per a x = 1/n i desprès d'algunes manipulacions n'obtenim la famosa relació:

ð n ð

! = 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + ... = lim sn = lim ð ð 1 ð

1 1x2 1x2x3 1x2x3x4 n→ ð n→ ðð k = 0 k! ð

Feta per Euler el 1748. Aquesta relació és molt eficient alhora de calcular ! perquè el factorial és un nombre que creix molt ràpidament i és fàcil de mostrar-ho:

sn < e < sn + 1 .

n. n!

Aquesta és precisament la fórmula usada per Euler per a calcular els vint-i-tres dígits del nombre !.

La constant ! també és coneguda com a base de logaritmes, la qual és:

Log(!) = ð ! dx = 1

ð ð x

I és igual al valor de la funció exponencial en 1

! = (exp1)

Fracció continua

Euler va publicar tres importants desenvolupaments relacionats amb el nombre !. Amb els que és molt convenient seguir la següent notació:

x = a0+ 1 = [a0;a1,a2,a3,...]

a1+ 1 .

a2+...

El primer desenvolupament és:

! = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,...]

! = ð2, 3, 8, 11, 19, 87, 106, 193, 1264, 1457, 2721, ... ð

ð 3 4 7 32 39 71 465 536 1001 ð

El segon:

"! = [1;1,1,1,5,1,1,9,1,1,13,1,1,17,...]

I l'últim és:

! - 1 = [0;1,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,...]

! = ð ð, ð, ðð, ððð, ðððð, ððððð, ððððððð, ðððð

ð ð ðð ðððð ððððð ðððððð ð

Noticia, no com ð, aquest desenvolupament és impressionantment regular.

Utilitzant l'aproximació Padé

Si considerem les series en expansió:

s(t) =ð sktk,sk ð R

k = 0

Estem buscant per a una aproximació racional d'aquesta seqüència amb numerador de grau m i denominador de grau n com ara:

ð m ð

ð ð mktk ð

s(t)- ð k = 0 ð = O(tm+n+1), t→ 0

ð n ð

ðð nktk ð

ð k = 0 ð

Quan tal aproximació existeix, s'anomena aproximació de Padé de grau (m,n) de la sèrie s. Hi ha diverses propietats associades amb aquests aproximant, els quals són emprats per a calcular series amb males propietats de convergència. Aquí tindrem precisament l'aproximació Padé de la funció !t:

ð (m+n-k)!m! tk

k = 0 (m+n)!k!(m-k)!

ð (m+n-k)!n! (-t)k

k = 0 (m+n)!k!(n-k)!

Per exemple aquí hi ha alguna aproximació de l'augment de grau per a !t:

2 + t

2 - t

12 + 6t + t2

12 - 6t + t2

120 + 60t + 12t2 + t3

120 - 60t + 12t2 - t3

D'aquí en podem deduir que per a nombres petits de t, ! = (!t)1/t pot ser bona aproximació per:

ð2 + tð1/t

ð2 - tð

ð12 + 6t + t2ð1/t

ð 12 - 6t + t2ð

ð120 + 60t + 12t2 + t3ð1/t

ð120 - 60t + 12t2 - t3ð

L'error comença respectivament O(t2), O(t4), O(t6), ... La famosa formula (1 + t)1/t convergeix en l'error O(t). Com un exemple de l'eficiència d'altres formules per a diferents valors que ens dona t:

t = 1 e ð 2.718(3098591549295...)

t = ½ e ð 2.71828(22539303576...)

t = ¼ e ð 2.7182818(350588212...)

t = 1/32 e ð 2.7182818284590(703...)

Productes infinits

Hi ha diverses formules per a calcular ! com a producte infinit, una d'elles va ésser donada el 1873 per Catalán:

! = 2 ð 4 ð1/2 ð 6.8 ð1/4 ð 10·12·14·16 ðððð ððð

ð ð 3 ð ð 5.7 ð ð 9·11·13·15 ð

Un altre relació similar és:

! = 2 ð 4 ð1/2 ð ð.4 ð1/4 ð 4.6.6.8 ðððð ððð

ð 3 ð ð 3.3 ð ð 5.5.7.7 ð

Com la formula de Wallis per ð, la convergent és extremadament lenta.

! i permutacions

El nombre ! ocorre en el descompostament d'n objectes. Per exemple considerem el joc de tres diferents objectes S3 = (1, 2, 3), totes les permutacions d'aquest joc són:

(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

i és bo saber que el nombre de permutacions de Sn és n! (en el nostre exemple sis). Però en mig de quantes permutacions no tenen un punt fix? En l'exemple la resposta és dues, que són:

(2,3,1),(3,1,2)

però la resposta general per a un joc d'n objectes és donat per el següent teorema.

Teorema 1: (Euler) Tenint dn com a nombre de descomposicions d'n objectes diferents (dn és en alguns casos anomenat subfactorial), tenim:

dn = n! ð1- 1 + 1 + 1 + ... + (-1)n ð

ð 1! 2! 3! n! ð

Comprovació: Com a exercici. Consell: Intentar la repetició dn = (n-1)(dn-1+dn-2).

Per això el nombre de descomposicions de nombre de permutacions és:

dn = ð1- 1 + 1 + 1 + ... + (-1)n ð

n! ð 1! 2! 3! n! ð

Aquest nombre és com ara:

lim = ð dn ð = 1 = 0.3678794411714423215955237...

n→ ð ð n! ð !

I per exemple:

d3 = 2 = 0.3333333333...

3! 3!

d4 = 9 = 0.375

4! 4!

d5 = 44 = 0.3666666666...

5! 5!

d6 = 265 = 0.3680555555...

6! 6!

d7 = 1854 = 0.3678571428...

7! 7!

Altres límits

Desprès de descriure els eficients camins per a calcular !, cal considerar An, el significat aritmètic de les quantitats (1,2,3,...,n) i Gn, el significat geomètric de les mateixes quantitats, que és:

An = 1+2+3+...+n = n(n+1)

n 2n

log Gn = log(1)+log(2)+...+log(n)

Gn = ( 1.2.3...n) 1/n = (n!)1/n

Llavors, gràcies a la formula de Striling, quan n és torna gran:

An = n + 1 ð n+1 = ! = n + 1 .

Gn 2(n!)1/n 2(nne-n(2ðn)1/2) 1/n 2 n(2ðn)1/(2n)

Per tant:

Lim An = !

n→ ð Gn 2

Una resultat més general era donat abans i un altre resultat similar involucra el significat geomètric dels nombres primers donats abans:

lim ð ð pið1/n = !

n→ ð ð pið n ð

On pi és la seqüència de nombres primers (2,3,5,7,11,13,...). El nombre de convergent és molt baix i per l'exemple per n = 106, ens dona 2'7141645...

6- Irracionalitat d'!

Els següents resultats en les funcions exponencials i logarítmiques va ser establert per primer cop per Lambert el 1761 per diferents maneres de la que hem triat.

Teorema 2: Si a > 0 és un integral llavors !a és irracional.

Comprovació: Suposem !a = p/q, amb (p,q) com a nombres enters, considerem la funció:

I(x) = a2nPn(x)-a2n-1Pnð(x)+...-aPn(2n-1)(x)+Pn(2n)(x)

Per a les propietats de Pn, I(0) i I(1) són nombres enters. Però:

q(eaxI(x))ð = qeax(aI(x)+Ið(x)) = qeaxa2n+1Pn(x)

Tenim

q[ eaxI(x)]01 = q(eaI(1)-I(0)) = pI(1)-qI(0) = qa2n+1 ðð eaxPn(x)dx

ðð

Per això l'última integral no és un enter zero. I ara el punt clau, per al límit de Pn(x), tenim el límit per a la integral:

0 < qa2n+1 ðð eaxPn(x)dx < qa2n(ea-1) < 1

ðð n!

Quan n és fa gran. Això contradiu el fet de que l'integral era un enter.

Teorema 4: Si p/q no són nombres racionals nuls, llavors !p/q és irracional.

Demostració: Si !p/q és racional així (!p/q)q = !p, el qual és impossible per el teorema d'abans, p > 0 (per p > 0, aplicat al teorema sobre 1/!p)

Teorema 5: !, !2, "! són nombres irracionals.

Euler a l'any 1737 va donar una prova molt elemental de la irracionalitat d'! basada en la seqüència:

! = 1 + 1 + 1 + 1 +... + 1 .

1! 2! 3! n!

La demostració va més o menys així: suposem ! = p/q amb q>1 llavors el nombre:

q!(e-1- 1 - 1 - ... - 1 ) = q!( 1 + 1 + ... + 1 +...)

1! 2! q! (q+1)! (q+2)! (q+n)!

No és un enter nul, però és alguna cosa semblant a:

1 + 1 + ... + 1 + ... < 1 + 1 + ... + 1 + ... = 1

q+1 (q+1)(q+2) (q+1)...(q+n) 2 22 2n

Així és severament més petit que 1.

Conclusions

Les conclusions que en puc extreure d'aquest treball, és que el descobriment del nombre ! va suposar un gran avanç en les matemàtiques, és un nombre que el podem trobar en multitud de rames matemàtiques. Alhora que és un nombre molt important per a poder entendre correctament multitud de funcions de les matemàtiques.

Amb aquest treball, també m'he pogut adonar de com les grans celebritats de les matemàtiques havien de passar multitud d'hores, mesos, i fins i tot anys per a demostrar la utilitat dels descobriments que feien, i que molts cops, ni tan sols ells mateixos podien donar per acabat el seu treball, i com l'havien de continuar altres companys matemàtics.

El descobriment d'una constant com és el nombre ! és un esdeveniment molt important, en el que si han posat molts esforços, i com desprès de trobar aquest nombre has de seguir treballant durament per a poder definir el seu comportament, donar-li utilitat i intentar definir els límits de la constant.

Crec que el treball que fan els matemàtics és molt important, ja que molt poca gent seria ni tan sols capaç d'imaginar la majoria de processos que s'han d'efectuar per a arribar a donar vida a una constant matemàtica.

Amb aquest treball, també he descobert noves propietats del nombre ! que m'eren totalment desconegudes, i he quedat sorprès de tot el treball que hi ha rera una constant, que tot i ser possiblement més utilitzada que el nombre ð, no es reconegui tota la seva importància en el món de les matemàtiques. Això ho dic per la dificultat que he tingut en trobar llocs d'interès on aparegués el nombre !.

Per últim desitjaria poder ésser més concret en certs aspectes de càlcul que figuren en el meu treball, però això m'impossibilitaria poder donar la visió global que n'he volgut donar del nombre !, encara que crec que la qüestió de càlcul està bastant bé.

Bibliografia

José Martínez Salas, Elementos de matemàticas, Ed. Lex Nova, S.A. 1992

Josep Miquel Bujosa, Josep Lluís Cañadilla, Montserrat Fargas, Vicenç Font, Matemàtiques aplicades a les ciències socials 1, Edicions Castellnou, 1999

Claudi Alsina i Català, Estimar les matemàtiques, Ed. Columna - Assaig Eines 4, 2001

A. Bouvier i M.George, Diccionario de matematicas, Ed Akal

William Dunham, El universo de las matemáticas un recorido alfabético por los grandes teoremas, enigmas y controversias, ED Pirámide, S.A. 1995

Pàgines web consultades