EXPERIMENTO 2: MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

El Marco Teórico del Informe debe considerar los siguientes aspectos:

Al analizar los resultados obtenidos en este experimento considere entre otros los siguientes aspectos:

Apéndice: Tablas

En este apéndice se proporcionan las tablas de datos específicas a este experimento: Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Estas deben construirse en el apartado del informe escrito denominado “Resultados experimentales”.

Tabla 1: Datos experimentales de tiempos de recorrido de las distancias fijadas.

Tabla 2: Datos experimentales para determinar la velocidad instantánea en cada una de las posiciones en que se colocó un segundo fotosensor.

Tabla 3: Cálculo de la velocidad instantánea en cada una de las posiciones establecidas a partir de la información de la tabla 2. La información de la última columna se extrae de la tabla 1.

Tabla 4: Cálculo de la aceleración del sistema utilizando la información recopilada. Los datos que aparecen en la segunda columna se extraen de la tabla 1.

El concepto de límite y el concepto de velocidad instantánea

 Martínez C. Jesús, Padilla R. Javier, Saulés E. Gustavo

ENP 4 Vidal Castañeda y Najera

Resumen

A lo largo de la historia de la ciencia, la relación entre las Matemáticas y la Física ha seguido un camino de una colaboración muy estrecha en el desarrollo de estas dos ciencias, en algunos momentos la evolución de la Matemática ha presidido al de la Física y en otras la trayectoria se mostrado a la inversa, es decir la Física ha permitido el contexto para la evolución de la ciencia matemática. Ejemplos de esto son variados, pero quizás los más representativos sean los siguientes; el problema de la velocidad instantánea condujo a Newton inventar el cálculo diferencial e integral, así como la teoría de grupos permitió a Einstein establecer la teoría general de la gravitación con ello queremos destacar que el progreso en cualquiera de las dos ciencias tarde que temprano afectará a la otra.

En cambio, en la enseñanza de las Matemáticas la vinculación entre la Física y las Matemáticas se ha relegado al plano histórico. Si se observa la organización y las estrategias contenidas en los programas de Matemáticas se muestran un tanto alejados de la realidad concreta creando una imagen de que los conceptos matemáticos son invenciones de ilustres matemáticos que nada tienen que ver con los problemas que enfrentan los seres humanos para conocer la naturaleza. Aunque debemos reconocer el alto grado de abstracción que se requiere para entender los conceptos matemáticos y a eso hay que agregar la característica que tienen las matemáticas y es la de poder usarlas como un lenguaje para establecer el status de ciencia a las áreas humanísticas y naturales.

En este sentido proponemos realizar un práctica con el uso de un riel de aire y una fotocompuerta para determinar la velocidad instantánea de un objeto usando el método de el cociente de los incrementos de distancia entre los incrementos del tiempo y analizar su comportamiento cuando el incremento del tiempo tiende hacerse cero y con ello verificar que el cociente de los incrementos tiende a un valor límite que corresponde a la velocidad instantánea y en el caso matemático al cálculo de la derivada de la función de la posición con respecto al tiempo.

Introducción:

A lo largo de la historia de la ciencia, la relación entre las Matemáticas y la Física ha seguido un camino de una colaboración muy estrecha en el desarrollo de ambas ciencias, en algunos momentos la evolución de la Matemática ha precedido al de la Física y en otras la trayectoria se mostrado a la inversa, es decir la Física ha proporcionado el contexto para el desarrollo de la ciencia matemática. Ejemplos de esto son variados, pero quizás los más representativos sean los siguientes; el problema del cálculo de la velocidad instantánea condujo a Newton inventar el cálculo diferencial e integral, así como el cálculo tensorial permitió a Einstein establecer la teoría general de la gravitación con estos ejemplos queremos destacar que el progreso en cualquiera de las dos ciencias tarde que temprano afectará a la otra. Esta relación simbiótica de la Física con la Matemática nos parece muy importante para buscar estrategias de aprendizaje basados en la Historia que ayuden a los alumnos de la preparatoria hacer más tangibles los conceptos matemáticos que tanta dificulta presentan debido a su nivel de abstracción.

No obstante, en la enseñanza de las ciencias en el bachillerato se recurre muy a menudo a la utilización de la historia de la ciencia como un recurso didáctico para promover el aprendizaje de los contenidos específicos de cada asignatura y programa de estudio por ejemplo; en el área de Física se establecen los contextos que dieron origen a los conceptos físicos ya sea de la Mecánica, de la Termodinámica y de la Electricidad, pero en la enseñanza de las Matemáticas dado su enfoque más operativo la Historia se usa como una estrategia de motivación ya sea describiendo problemas matemáticos interesantes o la vida de prominentes científicos que han aportando una gran cantidad de conceptos y soluciones a los desafíos en la Matemática. A pesar de ello nos parece que la descripción de los problemas es poco explotada para darle un respaldo más terrenal a los conceptos matemáticos. Un excelente soporte a la búsqueda de problemas para mostrar una cara más tangible lo encontramos en el desarrollo común de la ciencia Matemática y la Física como se mencionó antes.

Por otro lado, en la enseñanza de las Matemáticas la vinculación entre la Física y las Matemáticas se ha relegado al plano del comentario histórico dejando a un lado la característica principal de la Física que es la de estudiar los objetos materiales. Ya que para establecer las leyes que rigen el comportamiento de esos objetos se requiere un lenguaje y una forma compacta de escribir esas relaciones, esto lo podemos hacer mediante el uso y las reglas de los conceptos matemáticos, de ahí la importancia de la Matemática para el desarrollo de la Física. Por ello pensamos que algunos problemas como el movimiento y aquellos donde se involucren razones de cambio pueden servir como ejemplos para ser utilizados en las estrategias didácticas para el aprendizaje de las Matemáticas. Un ejemplo concreto es el cálculo de la velocidad instantánea de un carro, como sabemos esto representa un interesante problema para la Física, ya que determinar la velocidad en un instante requiere una aproximación; utilizar el movimiento rectilíneo uniforme para distancias pequeñas en pequeños intervalos de tiempo, de tal forma que el problema de calcular la velocidad se reduzca a calcular la velocidad con la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme entre intervalos distancias y intervalos de tiempos muy pequeños. Esta idea subyace en el concepto de derivada y en el de límite.

Propuesta:

Un ejemplo que nos parece claro para explotar esa relación es el concepto de derivada en los programas de Matemáticas de la Escuela Nacional Preparatoria que involucra ideas interesantes, como la razón de cambio de intervalos de números cuando estos se hacen cada vez más pequeños, pero que de forma sorprendente, para nuestra intuición, el cociente de estos intervalos se aproximan a un valor numérico fijo correspondiente al límite de esa razón de cambio de dichos intervalos. Que desde el punto de vista geométrico corresponde al valor de la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto considerado de una determinada función.

Y en la Física existe una gran cantidad de variable físicas que son razones de cambio de otras variables físicas más fundamentales como pueden ser; la velocidad, la aceleración, la fuerza, etcétera. Por ejemplo la velocidad se puede calcular como el cociente de un intervalo de distancias entre un intervalo de tiempos. Aunque en ciertas situaciones esto resulte un poco complicado como puede ser cuando el objeto en movimiento cambie su velocidad constantemente en dirección y en el tiempo, a partir de ello en los programas de Física se analiza el movimiento fraccionando las diversas condiciones en que se presenta. Este cuestión de calcular la velocidad se vuelve más complejo si queremos determinar el valor de la velocidad en un instante dado, velocidad instantánea, esto requiere que podamos medir intervalos de distancias y tiempos muy pequeños. Pero esto es relativamente sencillo utilizando el equipo de laboratorio, por ello proponemos que se realice una actividad experimental para estimar la velocidad instantánea y la interpretación de la actividad sirva para ilustrar el concepto de derivada y límite que se revisan en el curso de Cálculo Diferencial e Integral en la Escuela Nacional preparatoria.

En los nuevos laboratorios, que se construyeron en todas las preparatorias, hay equipo que permite realizar dichas medidas, como son las foto compuertas y timer, con los cuales podemos medir intervalos de tiempo de diezmilésimas de segundo, que para el movimiento de objetos que se mueven con una velocidad de algunos centímetros sobre segundo resulta con una buena precisión en las mediciones de tiempo y con ello la posibilidad de realizar el cálculo de la velocidad con una incertidumbre baja. En la figura se muestra una foto del montaje experimental para realizar la actividad de calcular la velocidad instantánea.

 En la foto se muestra un riel de aire, inclinado, el cual permite que el deslizador se mueva a lo largo del riel con baja fricción. Al pasar el deslizador por la foto compuerta se enciende automáticamente un time que mide el tiempo en que el deslizador pasa por la foto compuerta. Encima del deslizador se encuentra un pequeña hoja de papel que tiene la función de bloquear el rayo de luz con el que trabaja la compuerta y con ello enciende el timer, este ultimó se apagará cuando el papel deje de bloquear el rayo, la lectura en el timer indicará el tiempo en que el papel no dejo pasar el rayo de la compuerta. Un dato importante en el experimento es que el papel debe estar centrado sobre el soporte del deslizador para medir los intervalos de distancia.

Procedimiento para calcular la velocidad instantánea:

 -Se fija el riel de aire sobre la mesa del laboratorio, dándole una inclinación de 15 ° respecto a la horizontal.

-Se coloca una hoja de papel sobre el deslizador de 16 cm de longitud

-Se deja caer el deslizador desde el extremo del riel ( en todas las medidas se repetirán las condiciones iniciales)

-Con timer se mide el tiempo en que tarda el deslizador en pasar por la compuerta

-Posteriormente se cambia la longitud de la hoja de papel a 12 cm y se mide el tiempo respectivamente. Las longitudes de la hoja se van haciendo cada vez más pequeñas y por consiguiente los intervalos de tiempo son menores.

-En una tabla se colocan las distancias y los tiempos obtenidos y se va calculando la velocidad del deslizador con la fórmula V = distancia / tiempo y al analizar los resultados se observa que los cocientes tienden a un valor que físicamente corresponde a la velocidad instantánea, pero desde el punto de vista matemático estamos calculando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo del deslizador.

-Si se quiere explicitar la función de la posición debemos tomar en cuenta que es un movimiento acelerando con una velocidad inicial cero, donde la aceleración es igual a la aceleración de la gravedad por el seno del ángulo que forma el riel con respecto a la horizontal.

 Conclusiones:

La propuesta hecha la hemos puesto en práctica con nuestros alumnos del área 1 y, a nivel cualitativo, podemos señalar que la comprensión del concepto de derivada se ve apoyada a través de la actividad experimental. Pensamos que para tener un impacto mayor debemos coordinar los esfuerzos entre los profesores de Cálculo y Física, sino a nivel general, al menos en nuestro plantel aunque sea una utopía seguir mencionándolo. Nos parece que el uso del laboratorio es un buen recurso para profundizar en los conceptos matemáticos y ayude a presentar estrategias de aprendizaje alternativas a las conocidas.

 Bibliografía

 Haber-Schaim Uri, et all. Física (PSSC), Reverté, España, 1981.

 Swokowski Earl W., Introducción al Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1987.

 Spivak Michael Calculus. Reverté, España, 1981.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

1. INTRODUCCION

1.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME.

Cuando se pretende medir la posición de un cuerpo es indispensable fijar un sistema de referencia (origen de coordenadas) con respecto al cual se mida dicha posición. Unidimensionalmente podríamos decir, por ejemplo, que un objeto está situado a 2 m (a la derecha del origen) o a -3 m (a la izquierda), como se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Posiciones relativas a O en un movimiento unidimensional.

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU), como su nombre lo indica, es un movimiento unidimensional, donde las posiciones están referenciadas a un origen y pueden ser positivas o negativas según se encuentren a la derecha o a la izquierda de dicho origen, respectivamente

Otra convención que se establece es aquella que tiene que ver con la velocidad. Se considera una velocidad como positiva si el cuerpo presenta un movimiento hacia la derecha del origen de la Figura 1, y una velocidad negativa si el movimiento es hacia la izquierda. Es de anotar que, por ser una convención, puede cambiarse convenientemente en algún caso particular.

1.1.1. DESPLAZAMIENTO. La medida del cambio de posición es lo que se denomina el desplazamiento de un móvil y su magnitud está dada por la expresión

x = x - x0 (1)

donde x es la posición final del móvil y x0 su posición inicial.

1.1.2. VELOCIDAD MEDIA. Se define la velocidad media como la relación que existe entre el cambio de posición de un objeto y el tiempo que emplea en efectuar dicho cambio. Para el caso unidimensional se tiene: