Nociones básicas de errores

Introducción.

En una situación real lo que se requiere no es muchas veces una respuesta exacta   a un problema, sino más bien una respuesta aproximada con una precisión prescrita; que es justamente lo que se da en el planteamiento numérico de un problema.

Usaremos el término algoritmo para describir un procedimiento que requiere de un número finito de pasos para resolver un problema. Un método numérico es un algoritmo diseñado para dar respuesta numérica a un problema con una precisión prescrita.  El cálculo numérico evalúa los métodos numéricos diseñados.

Este proceso de tratamiento de la información que se vislumbra en el párrafo anterior, se puede resumir en el siguiente cuadro:

Es posible disponer de varios algoritmos para un problema dado, y si nuestro interés es elegir el mejor debemos considerar como criterios de selección la rapidez y la precisión. Por otro lado, es normal que los errores estén presentes en cada una de las etapas del proceso esquematizado en el cuadro anterior, es decir, es probable que exista error en la entrada, en el algoritmo y por ende en la salida. Es necesario, por tanto, revisar cada una de las fuentes de error.

Fuentes de error. a) Error en el planteamiento. En la mayoría de los casos el planteamiento de un problema corresponde a un modelo idealizado de los fenómenos reales debido a que, en general, nos vemos forzados a suponer condiciones que simplifiquen el problema real.

b) Error del método. En la práctica, ante la dificultad que significa resolver un problema en forma analítica, o ante la imposibilidad de hacerlo, se opta por reemplazar el procedimiento por uno que ofrezca una solución aproximada a la del problema original.

c) Error en la entrada de datos. Las imperfecciones de los medios utilizados para recopilar datos, provocan errores en las entradas numéricas de un problema.

d) Error de truncamiento. Por ejemplo, la evaluación de funciones mediante desarrollos en series infinitas, obliga a considerar en el cálculo sólo un número finito de sumandos, truncando el resto de la sumatoria.

e) Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo. Un caso típico lo presentan los computadores que, en su memoria, almacenan sólo representaciones finitas de los números reales. En este caso hablamos de redondeo inherente.

f) Error de propagación. Al operar aritméticamente con cantidades aproximadas, los errores asociados a éstas son propagados al resultado de la operación. A veces estos errores pueden ser tan significativos que el resultado carece de sentido.

g) Error de discretización. Muchos problemas de cálculo aproximado se resuelven por discretización del problema original. Es así como integrales definidas se aproximan por sumas finitas, derivadas se aproximan por cuocientes de diferencias, etc.

Computadores y error de redondeo.El error de redondeo es resultado directo de las limitaciones de los computadores: la aritmética de la máquina sólo comprende valores con un número finito de dígitos; así que cuando se combinan valores a través de una operación aritmética los errores son automáticos.

Los números se almacenan en la computadora como una secuencia de dígitos binarios o bits (unos o ceros), pero para analizar los efectos de los errores de redondeo, se supone que los números se representan en la forma normalizada decimal de punto flotante

La secuencia de dígitos 
   se conoce como la mantisa y el índice n como el exponente.

El manejo finito que hace el computador de los números implica que existe un número máximo, digamos k, de dígitos por medio del cual puede representarse un valor; esto es, la mantisa sólo debe contener k dígitos. Cualquier número real puede escribirse en la forma:

La forma de punto flotante mencionada anteriormente, y denotada por fl(x), se obtiene finalizando la mantisa de x después de k dígitos. Hay dos formas de hacerlo. a) Corte o truncamiento:  los dígitos
se  cortan de la mantisa para dar:

b) Redondeo :

Si
, entonces el dígito
se mantiene sin cambio, truncando luego para dar finalmente:

Si
, entonces el dígito
se aumenta en 1 y luego se trunca el número x.

También hay restricciones respecto al tamaño del exponente; n debe satisfacer la desigualdad

donde M  y  m son enteros positivos que pueden variar según la máquina en que se trabaje.

Si n llega a ser mayor que M, entonces se dice que el número se ha desbordado (overflow); es decir, es demasiado grande para representarlo en la máquina. Por otro lado, si n es menor que - m, entonces se dice que se ha producido un vaciamiento (underflow); en este caso algunos computadores reajustan el valor del número a cero y continúan el cálculo, y otros dan un mensaje de error.

Error absoluto, error relativo y dígitos significativos. Durante un cálculo, la acumulación de errores de redondeo puede descomponer por completo el resultado, de modo que es esencial poder identificar las operaciones tendientes a producir grandes errores de redondeo. Pueden utilizarse dos medidas para cuantificar estos errores.

Definición: Si
es una aproximación a x, entonces se define el error absoluto como
, y el error relativo como
siempre que x no sea cero. 

Observaciones:

A partir de esta definición, se observa que la representación de punto flotante de x tiene un error relativo igual a:

Si se dispone de k dígitos, entonces se encuentra que un límite de error relativo de 
por truncamiento y
por redondeo.

Definición: Se dice que los números x  y 
coinciden hasta s dígitos (cifras) significativos  si s es el mayor número entero no negativo para el cual

Cifras Significativas y Redondeo

1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo.

1234.56 6 cifras significativas

2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos.

1002.5 5 cifras significativas

3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos.

000456 3 cifras significativas

0.0056 2 cifras significativas

4. Si el número es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos.

457.12 5 cifras significativas

400.00 5 cifras significativas

5. Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del número y entre los dígitos distintos de cero son significativos.

0.01020 4 cifras significativas

6. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dígitos son significativos a menos que se diga los contrario.

1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros cálculos

0.0010 2 cifras significativas

1.000 4 cifras significativas

7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un número ilimitado de cifras significativas

 NOTE: Es mucho más fácil contar y encontrar las cifras significativas si el número está escrita en notación significativa.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los instrumentos de medida como de la calidad del experimentador. Por cuanto todo instrumento de medida tiene un límite de sensibilidad, es lógico pensar que al medir, por ejemplo el tiempo, con un reloj de pulsera, es imposible obtener una exactitud de milésimas o millonésimas de segundo. El correcto manejo de los datos obtenidos en un experimento, en cuanto a su precisión se refiere, se trabaja con las cifras significativas. Al afirmar que la medición de cierta longitud dio como resultado 15,4 cm , se quiere decir que sobre el valor de 15 cm tenemos plena certeza, mientras que el 4 decimal es un tanto ambiguo y está afectado por cierto error. Lo único que se puede decir con seguridad es que el valor obtenido está más cerca de 15 cm que de 16 cm ó de 14 cm . Acerca de las centésimas no se dice nada. No sabemos si el resultado de la medición es 15,42 cm ó 15,38 cm , pero si que este valor se encuentra entre 15,35 cm y 15,45 cm, presentándose entonces una incertidumbre total de 0,1 cm . Como vemos no es lo mismo escribir 15,4 cm que escribir 15,40 cm ya que en este caso estamos afirmando que conocemos la longitud con una exactitud de hasta una centésima, (que es diez veces más exacto que en el caso anterior) y así, la incertidumbre es ya de una milésima de centímetro, es decir el valor de la longitud se encuentra entre 15,395 cm y 15,415 cm . Las dos cifras 15,4 cm y 15,40 cm implican métodos e instrumentos de medida que pueden ser diferentes. De esta manera:

Todo este bloque de cifras contiene la misma información desde el punto de vista experimental. Se dice por lo tanto que todas ellas tienen el mismo número de cifras significativas que en este caso es de tres (3), compuesta de dos dígitos ciertos (15) y uno afectado por la incertidumbre (el 4 decimal). Sin embargo el número total de dígitos no representa necesariamente la precisión de la medición. Por ejemplo la población de una ciudad se reporta con seis cifras como 260 000 . Esto puede significar que el valor verdadero de la población yace entre 259 999 y 260 001 los cuales tienen seis cifras significativas. En realidad lo que significa es que la población está más cerca de 260 000 que de 250 000 ó de 270 000 . En notación decimal:
ó
.