Matemáticas

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EJERCICIOS DE CÁLCULO Y GEOMETRIA ANALITICA

FUNCIONES

Dada F(wt)= 2 sen (wt)

Hallar:

Tabla de datos

Gráfica

Nombre de la gráfica

Dominio

Rango

Punto de corte con el eje X

Punto de corte con el eje Y

F(p)= 4p + 5

Hallar:

Tabla de datos

Gráfica

Nombre de la gráfica

Pendiente

Dominio

Rango

Punto de corte con el eje X

Punto de corte con el eje y

F(t)= 8t2 - 4t

Hallar:

Tabla de datos

Gráfica

Nombre de la gráfica

Dominio

Rango

Punto de corte con el eje X

Punto de corte con el eje y

LIMITE

1. Lim X3 + 5X2 - 4X - 20

X -5 X2 - 25

2. Lim X2 + 2X - 8

X - -4 X3 + 5X2 - 2X - 24

3. Lim X3 - 2X2 - 3

X ∞ X2 - 7X

DERIVADA

Y = sen4 (X2 - 4X)

Y = (3X4 - 4X)5

Y = (X3 - 2X) (X2 + 7X)2

MATRICES

Dadas las matrices:

3 - 4 6 4 7 8

A= -2 -7 5 B = 2 0 -1

0 -2 3 4 -2 4

Hallar:

4A + 2B

A * B

3B - 8A

RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

FUNCIONES

Dada F(wt)= 2 sen (wt)

Hallar:

Nombre de la función: Función seno

Tabla de datos

F(wt)= 2 sen(wt)	wt	Y= F(wt)
	-180	0
	-150	-1
	-120	-1,73
	-90	-2
	-60	-1,73
	-30	-1
	0	0
	30	1
	60	1,73
	90	2
	120	1,73
	150	1
	180	0
	210	-1
	240	-1,73
	270	-2
	300	-1,73
	330	-1
	360	0
	390	1

Gráfica

Nombre de la gráfica: Sinusoide

Dominio: (-∞, +∞) = R

Rango: [-2, +2]

Punto de corte con el eje X = {… -360°, -180°, 0°, 180°, 360°, ….}

Es una progresión aritmética de razón 180°, no es un intervalo.

Por lo tanto, los puntos de corte con X van de 180 en 180 en el sub-eje

X y de -180 en -180 en el sub-eje -X

Punto de corte con el eje Y= 0

F(p)= 4p + 5

Hallar:

Nombre de la función: Función lineal

Tabla de datos

CÁLCULO DE F(p)= 4p +5	p	F(p)
F(-3)= 4(-3)+5= -12 + 5= -7	-3	-7
F(-2)= 4(-2)+5= -8 + 5 = -3	-2	-3
F(-1)= 4(-1)+5= -4 + 5= 1	-1	1
F(0) = 4 * 0 + 5 = 0 + 5 = 5	0	5
F(1) = 4 * 1 + 5 = 4 + 5 = 9	1	9
F(2) = 4 * 2 + 5 = 8 + 5 = 13	2	13
F(3) = 4 * 3 +5 = 12 + 5 = 17	3	17

Nombre de la gráfica: Una línea recta

Pendiente

m = Y2 - Y1/ X2 - X1

m = 9 - 5 / 1 - 0 = 4 / 1 = 4

Dominio: (-∞, +∞) = R

Rango: [-∞, +∞] = R

Punto de corte con el eje X:

Y = mx + b. En esta fórmula m=4 es el valor de la pendiente

En el punto de corte con el eje X, Y vale 0,

Luego, 0 = mx+b

X = -b/m, cuando Y=0

X = -5/4 = -1,25

Luego el punto de corte con el eje X es -1,25

Punto de corte con el eje Y

En el punto de corte con el eje Y, X=0

Luego, sustituimos en Y = mx+b = Y = m*0+b

Y = 4*0 +5 = 5, además, en la grafica se aprecia claramente este

punto de corte

F(t)= 8t2 - 4t

Hallar:

Tabla de datos

Y = F(t) = 8t2 - 4t	t	F(t)
F(-2) = 8 (-2)2 - 4 (-2) = 32 + 8 = 40	-2	40
F(-1,5) = 8 (-1,5)2 - 4 (-1,5) = 82,25 + 4*1,5 =18+6 =24	-1,5	24
F(-1) = 8 (-1)2 - 4 (-1) = 8 + 4 = 12	-1	12
F(-0,5)= 8(-0,5) 2 -4 (-0,5) = 80,25+ 40,5=2+2=4	-0,5	4
F(0) = 8 (0)2 - 4 (0) = 8 * 0 - 4 * 0 = 0 - 0 = 0	0	0
F(0,25) = 8 (0,25)2 - 4 (0,25) = 80,0625-40,25=0,5-1=-0,5	0,25	-0,5
F(0,5) = 8(0,5)2 - 4(0,5) = 80,25)-40,5= 2-2=0	0,5	0
F(1) = 8(1)2 - 4(1) = 81-41= 8-4 =4	1	4
F(1,5) = 8(1,5)2 - 4(1,5) = 82,25 -41,5=18-6=12	1,5	12
F(2) = 8 (2)2 - 4 (2) = 32 - 8 = 24	2	24
F(2,5) = 8 (2,5)2 - 4 (2,5) = 50-10 = 40	2,5	40

Puntos de corte con los ejes

Punto de corte con el eje X = (0,0); (0,5;0)

Punto de corte con el eje Y = (0,0)

a= 8

b = -4

c= 0

Nombre de la gráfica: Parábola

Dominio: (∞, +∞) = R

Rango: [-1/2, +∞]

LIMITE

1. Lim X3 + 5X2 - 4X - 20

X -5 X2 - 25

Sustituimos X por el valor al que tiende:

Lim X3 + 5X2 - 4X - 20 = Lim (-5)3 + 5(-5)2 - 4(-5) -20

X -5 X2 - 25 X -5 (-5)2 - 25

Lim -125 -125 + 20 - 20 = 0/0

X -5 25 - 25

Como se presenta la indeterminación 0/0, factorizamos el numerador por Ruffini y factorizamos el denominador por diferencia de cuadrados, ya que

X2 - 25 = X2 - 52 = (X+5) (X-5), por diferencia de cuadrados

Aplicación de Ruffini:

1 5 -4 -20

2 2 14 20

1 7 10 0

-2 -2 -10

1 5 0

-5 -5

1 0

Luego,

Lim X3 + 5X2 - 4X - 20 = Lim (X-2) (X+2) (X+5) =

X -5 X2 - 25 X -5 (X+5) (X-5)

Lim (X-2) (X+2) = (-5 -2) (-5+2) = (-7) (-3) = - 21

X -5 (X-5) (-5-5) -10 10

2. Lim X2 + 2X - 8

X - -4 X3 + 5X2 - 2X - 24

Como se presenta una indeterminación del tipo 0/0, factorizamos en ambos miembros de la fracción.

X2 + 2X - 8. Dos números que sumados den 2 y que multiplicados resulten -8, esos números son: 4 y -2.

Luego, el polinomio queda así:

X2 + 2X - 8 = (X+4) (X-2)

En el denominador aplicamos Ruffini debido a que el polinomio es de grado 3:

1 5 -2 -24

2 2 14 24

1 7 12 0

-3 -3 -12

1 4 0

-4 -4

1 0

Luego, el Limite queda de la siguiente manera:

Lim X2 + 2X - 8 = Lim (X+4)(X-2)

X - -4 X3 + 5X2 - 2X - 24 X -4 (X-2) (X+3) (X+4)

Lim 1 = 1 = 1 = -1

X -4 (X+3) - 4 + 3 -1

3. Lim X3 - 2X2 - 3

X ∞ X2 - 7X

Al sustituir X por ∞, resulta la indeterminación ∞/∞. Para eliminar la indeterminación, dividimos la expresión por la variable con su mayor exponente.

Luego, tenemos:

X3 - 2X2 - 3

Lim X3 - 2X2 - 3 = Lim X3 =

X ∞ X2 - 7X X ∞ X2 - 7X

Lim X3 - 2X2 - 3

X ∞ X3 X3 X3 = Lim 1 - 2 -3

X2 - 7X X ∞ X X3 =

X3 X3 1 - 7

X3 - X2

= 1-0-0 = 1/0 = ∞

Por lo tanto,

Lim X3 - 2X2 - 3 = ∞

X ∞ X2 - 7X

DERIVADA

Y = sen4 (X2 - 4X)

Para resolver esta derivada aplicamos la fórmula:

Y = un Y' = n *un-1 * u'

U = sen (X2 - 4X)

n = 4

Y' = 4 sen3 (X2 - 4X) * [sen (X2 - 4X)]'

Y' = 4 sen3 (X2 - 4X) * cos (X2 - 4X) * (X2 - 4X)'

Y' = 4 sen3 (X2 - 4X) * cos (X2 - 4X) * (2X -4)

Y = (3X4 - 4X)5

Aplicamos la formula:

La función es de la forma Y = Un Y' = n *un-1 * u'

En este caso, u = (3X4 - 4X) y n = 5; luego,

Y' = 5 (3X4 - 4X)4 * (3X4 - 4X)'

(3X4 - 4X)' = (3X4)' - (4X)'

(3X4)' = 4*3X4-1 = 12X3

(4X)' = 4, por aquello de que Y = kx Y' = k

Y' = 5 (3X4 - 4X)4 * (12X3 - 4)

Y = (X3 - 2X) (X2 + 7X)2

Esta función es de la forma

Y = u * v Y' = u * v' + v * u'

Y' = (X3 - 2X) * (X2 + 7X)' + (X2 + 7X) * (X3 - 2X)'

Y' = (X3 - 2X) * (2X + 7) + (X2 + 7X) * (3X2 - 2)

MATRICES

Dadas las matrices:

3 - 4 6 4 7 8

A= -2 -7 5 B = 2 0 -1

0 -2 3 4 -2 4

Hallar:

4A + 2B

(4) (3) (4) (-4) (4) (6) 12 -16 24

4A= (4) (-2) (4) (-7) (4) (5) = -8 -28 20

(4) (0) (4) (-2) (4) (3) 0 -8 12

(2) (4) (2) (7) (2) (8) 8 14 16

2B = (2) (2) (2) (0) (2) (-1) = 4 0 -2

(2) (4) (2) (-2) (2) (4) 8 -4 8

(12+8) (-16+14) (24+16)

4A + 2B = (-8+4) (-28+0) (20-2)

(0+8) (-8-4) (12+8)

20 -2 40

4A + 2B = -4 -28 18

8 -12 20

A * B

Aquí se procede a realizar una nueva matriz que tendrá por filas, el resultado de la multiplicación de cada fila de A con cada columna de B.

Primera fila de A con primera columna de B

Primera fila de A con segunda columna de B

Primer fila de A con segunda columna de B

Segunda fila de A con primera columna de B

Segunda fila de A con segunda columna de B

Segunda fila de A con tercera columna de B

Tercera fila de A con primera columna de B

Tercera fila de A con segunda columna de B

Tercera fila de A con tercera columna de B

(3*4) + (-4*2) + (6*4) (3*7) + (-4*0) + (6*-2) (3*8)+ (-4*-1) + (6*4)

(-2*4)+ (-7*2) + (5*4) (-2*7)+ (-7*0) + (5*-2) (-2*8)+ (-7*-1) + (5*4) =

A*B =

(0*4)+ (-2*2) + (3*4) (0*7)+ (-2*0)+ (3*-2) (0*8)+ (-2*-1)+ (3*4)

12-8+24 21+0-12 24+4+ +24

-8-14+20 -14+0-10 -16+7+20

0-4+12 0+0-6 0 +2+12

28 9 52

= -2 -24 11

8 -6 14

3B - 8A

(8*3) (8* - 4) (8*6)

24 -32 48

8A= (8* -2) (8* -7) (8*5) = -16 -56 40

(8*0) (8* -2) (8*3) 0 -16 24

(3*4) (3*7) 3* 8)

12 21 24

3B = (3*2) (3*0) (3* -1) =

6 0 -3

(3*4) (3* -2) (3* 4) 12 -6 12

(12-24) (21-32) (24-48)

-12 53 -24

3B - 8A = [6-(-16)] [0-(-56)] (-3-40) =

22 56 -43

12 10 -12

(12-0) [-6-(-16)] (12-24)

seno 30° = 0.5, luego F(30°)= 2 sen -30° = 2 * (-0,5) = 1

seno 0° = 0, luego F(0°)= 2 sen 0° = 2 * 0 = 0

seno -30° = -0.5, luego F(-30°)= 2 sen -30° = 2 * (-0,5) = -1

seno -60° = -0.866, luego F(-60°)= 2 sen -60° = 2 * (-0,866) = -1,73

seno -90° = -1, luego F(-90°)= 2 sen -90° = 2 * (-1) = -2

seno -120° = - 0.866, luego F(-120°)= 2 sen -120° = 2 * (-0,866) = -1,73

seno -150° = -0.5, luego F(-150°)= 2 sen -150° = 2 * (-0,5) = -1

seno -180° =0, luego F(-180°)= 2 sen -180° = 2 * 0 = 0

seno 60° = 0.866, luego F(60°)= 2 sen 60° = 2 * (0,866) = 1,73

seno 90° = 1, luego F(90°)= 2 sen 90° = 2 * 1 = 2

seno 120° = 0.866, luego F(120°)= 2 sen 120° = 2 * 0,866 = 1,73

seno 150° = 0.5, luego F(150°)= 2 sen 150° = 2 * 0,5 = 1

seno 180° =0, luego F(180°)= 2 sen 180° = 2 * 0 = 0

seno 210° = -0.5, luego F(180°)= 2 sen 180° = 2 * (-0.5) = -1

seno 240° = -0.866, luego F(240°)= 2 sen 240° = 2 * (-0,866) = -1,73

seno 270° = -1, luego F(270°)= 2 sen 270° = 2 * (-1) = -2

seno 300° = -0.866, luego F(300°)= 2 sen 300° = 2 * (-0,866) = -1,73

seno 330° = -0.5, luego F(330°)= 2 sen 330° = 2 * (-0.5) = -1

seno 360° = 0, luego F(360°)= 2 sen 360° = 2 * 0 = 0

seno 390° = 0.5, luego F(390°)= 2 sen 360° = 2 * 0.5 = 1

-F(wt)

F(wt)

150

240

210

330

300

-150

-120

120

360 ó 0

270

180

- 1,73

1,73

-2

-1

240

360

330

300

270

210

-180

-t

-90

-0,5

-1

1,5

-3

-2

-1

F(p)

-1,5

2,5

0,5

-0,5

F (t)

-F (t)

- t

(X-2) porque cambia de signo

(X+2) porque cambia de signo

(X+5) porque cambia de signo

(X+4) porque cambia de signo

(X+3) porque cambia de signo

(X-2) porque cambia de signo

Gráfica

-60

-30

-210

180

150

120

-7

- b

b2 - 4ac

2*8

F(t) = Y =

t =

(-4)2 - 4*8*0

t =

t1 =

(4 + 4)/16 = 1/2

t2 =

(4 - 4)/16 = 0/16 = 0

-F(p)

-p

0,25

Tiene dos raíces reales y diferentes, por lo tanto los puntos de corte con el eje X son ½ y 0

-2

-1

Hallar el vértice de la parábola:

Y = 8t2 - 4t + 0

Donde: a= 8; b= -4 y c= 0.

El vértice se calcula con la fórmula: (-4/2a, 4ac-b2/4a)

Sustituimos: { [-(-4)/2*8] , [4*8*0-(-42)]/4*8}

(4/16, -16/32) = (1/4, -1/2).

Luego, el vértice de la parábola se halla en el punto cuyas

Coordinadas son (1/4, -1/2)

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Enviado por:	Chiche
Idioma:	castellano
País:	Venezuela

Palabras clave:

Cálculo Geometría Analítica Funciones Derivadas Matrices

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