GUÍA CUARTA SOLEMNE (FUNCIONES DE VARIABLE REAL)

I. Función lineal

1.- Una compañía de teléfonos celulares cobra $6000 de gasto fijo mensual más $50 por minuto de llamada efectuada.

a) Si x es el número de minutos que se habla, encuentre una fórmula para saber la cuenta del celular.

2.- Suponiendo que el cuerpo humano metaboliza el alcohol etílico a una razón constante de
, independientemente de la concentración.

3.- La fórmula para la dilatación de una varilla metálica bajo un cambio de temperatura pequeño viene dada por:

donde l es la longitud del objeto a la temperatura t,
es la longitud inicial a la temperatura
y el valor a es una constante que depende del tipo de metal.

a) Exprese l como función lineal de t. Encuentre la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas.

b) Suponga que se tenía una varilla que inicialmente medía 100 cm de largo a 60° F y hecha de un metal con a =
. Escriba una ecuación que dé la longitud de esta varilla a una temperatura t. (reduzca al máximo las expresiones).

c) De acuerdo a la fórmula obtenida en (b), ¿cuál es la longitud de la varilla a 100° F

4.- El crecimiento de un feto de más de 12 semanas se puede aproximar mediante la fórmula
, en la cual
es la longitud en cms. y
la edad en semanas. La longitud prenatal se puede determinar mediante ultrasonido.

a) Calcule la edad aproximada de un feto cuya longitud es de 28 cms.

b) ¿Cuál es la longitud de un feto cuya edad es de 24 semanas?

5.- La salinidad del mar es la cantidad de sustancias disueltas en una muestra de agua. La salinidad S se puede estimar a partir de la cantidad de cloro C en el agua, mediante la función lineal

, donde S y C se miden en partes por mil.

a) Calcule la cantidad de cloro en una muestra de agua de mar cuya salinidad es de 0.35 partes por mil.

b) ¿Cuál será la salinidad de una muestra de agua de mar si contiene 0.2 partes por mil de cloro?

c) Construya un gráfico para representar la relación entre salinidad y cantidad de cloro.

6.- Un bebé pesa 2.8 kilos al nacer y 3 años después su peso es de 8.5 kilos. Suponga que el peso P (en kilos) y la edad T (en años) están relacionados linealmente:

a) Exprese P en términos de T.

b) ¿Cuál será el peso del niño en su cuarto cumpleaños?

c) ¿A qué edad el niño pesará 20 kilos?

d) Grafíque la función para 0
T
12.

7.- El peso aproximado del cerebro,
de una persona es directamente proporcional al peso
de su cuerpo. Sabiendo que una persona pesa 68 kg. y observa un peso cerebral aproximado de 1,8 kg.

a) Expresar el peso aproximado en kilogramos del cerebro de una persona como función de su peso corporal.

b) Calcular el peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso es de 80 kg.

8.- El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas, y a una temperatura de 180º el gas ocupa un volumen de 100 m3.

a) Exprese el volumen del gas como función de la temperatura absoluta.

b) Halle el volumen del gas a una temperatura de 150º.

9.- Sean las funciones de oferta y demanda de la de un determinado producto las siguientes:

Determine:

10.- Sean las funciones de oferta y demanda de la de un determinado producto las siguientes:

Determine:

11.- Sean las funciones de oferta y demanda de la de un determinado producto las siguientes:

Determine:

II. Función cuadrática y ecuación de segundo grado

1.- Dadas las siguientes funciones:

2.- Sea la siguiente ecuación de segundo grado

3.- Sea la siguiente ecuación de segundo grado

4.- Sea la siguiente ecuación de segundo grado

5.- a) Encuentre la ecuación de segundo grado que tiene como raíces y

b) ¿Cuál es el valor del determinante de dicha ecuación?

6.- a) Encuentre la ecuación de segundo grado que tiene como raíces y

b) ¿Cuál es el valor del determinante de dicha ecuación?

7.- a) Encuentre la ecuación de segundo grado que tiene como raíces y

b) ¿Cuál es el valor del determinante de dicha ecuación?

8.- El ozono se encuentra en todos los niveles de la atmósfera terrestre. La concentración de este gas varía tanto con la estación climática como con la altitud. Se determinó experimentalmente la concentración
del ozono (en 10 cms/Kms.) para altitudes entre 20 y 35 Kms.

Para cada concentración de ozono y estación, determinar la altitud aproximada en la cual la concentración del ozono es máxima.

a)
en Otoño.

b)
en Primavera.

9.- La tasa de crecimiento Y, de un niño, en cms. por mes, se relaciona con su peso actual X, en kilos, mediante la función
,

a) ¿Cuál debe ser el peso de un niño para que su tasa de crecimiento sea máxima?

b) Determine los intervalos en que la función crece y decrece.

10.- El número de kilómetros
que puede viajar cierto automóvil con un galón de combustible, a una velocidad
de kilómetros por hora, es
para
.

a) Calcule la velocidad más económica para viajar en ese automóvil.

b) Obtenga la mayor distancia recorrida con un galón.

11.- Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, con velocidad inicial de 144 pies/seg. y su distancia
en pies sobre el piso a los
segundos está dada por
.

a) Calcule su altura máxima sobre el edificio.

b) Determine la altura del edificio.

12.- Un objeto se lanza, desde el piso, verticalmente hacia arriba, con velocidad inicial de
pies /seg. y su distancia
en pies a los
segundos después está dada por :

.

a) Si el objeto llega al piso en 12 segundos, determine la velocidad inicial.

b) Calcule su altura máxima.

13.- Calcule dos números reales positivos cuya suma sea cuarenta y su producto sea máximo.

14.- Un granjero desea cercar un campo rectangular y dividirlo en tres partes colocando dos cercas paralelas a sus lados. Si cuenta con 1000 metros de cerca. ¿Que dimensiones deberá tener el terreno para que el área ocupada sea máxima?

15.- Una masa de aire frío se aproxima al instituto. La temperatura
( en grados)
horas después de la medianoche viene dada por:
;

a) ¿Cuál es la temperatura mínima entre las 5 A.M. y las 6 A.M.?

b) ¿En qué instante la temperatura llegará a los 10 grados?

16.- Suponga que la población
de la ciudad de Antofagasta,
años después del 1º de Julio de 1980 se modela mediante la siguiente función:

a) ¿Cuántos habitantes tendrá Antofagasta el 1º de Julio de 1990?

b) ¿Con cuántos habitantes contaba la ciudad de Antofagasta cuando se inició el estudio?

17.- Una empresa tiene la siguiente función de beneficios para determinado producto

Determine la cantidad de unidades que maximizan el beneficio y cual es el beneficio máximo que puede alcanzar esta empresa

18.- las funciones de ingreso total y costo total de determinada empresa, en función de las unidades producidas son:

Determine:

19.- En una empresa, para la fabricación de una línea de productos se tiene la siguiente función de costos

20.- Dada la siguiente función de costos, determine la variación del costo por la unidad número 51

21.- Dada la siguiente función de costos C(q) = 3 q2 + 5q + 75 ¿cuál es el costo mínimo que puede incurrir la empresa?

III. Función exponencial y logarítmica y ecuaciones

1.- ¿Cuál es el valor de x en la siguiente ecuación?

2.- ¿Cuál es el valor de x en la siguiente ecuación?

3.- ¿Cuál es el valor de x en la siguiente ecuación?

4.- Resuelva

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5.- Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c) log ax - 1 = log b2x

d)

e)

f)
= 10 .

g)

h) = 10

i)

6.- La iluminancia producida por la luz de cierta fuente es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde ella.

a) Expresar la iluminancia en luxes (lx) como función de la distancia en metros a partir de la fuente si la iluminancia vale 225 lx a una distancia de 5 m.

b) Hallar la magnitud en un punto a 12 m. de dicha fuente luminosa.

7.- Cierto medicamento se elimina del organismo a través de la orina, la dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo
horas después está dada por

a) Calcule la cantidad de medicamento en el organismo 8 horas después de la ingestión inicial.

b) Qué porcentaje del medicamento que está aún en el cuerpo se elimina cada hora?

8.- El PH del vinagre se calcula mediante la ecuación PH =
,sabiendo que
(concentración de iones hidrógenos en moles por litro) es de

¿Cuál será el PH del vinagre en este caso?

9.- El número de bacterias
, presentes en un cultivo en
minutos se puede modelar mediante la función
donde
es una constante. Si inicialmente hay 1.500 bacterias presentes

a) ¿Cuántas habrá después de 1 hora?

b) ¿En qué instante hay que detener el cultivo para que el número de bacterias no sobrepase las 10000 bacterias?

10.- En una comunidad cerrada de 45000 habitantes, un virus de la gripe se disemina de tal forma que
semanas después de su brote,
personas se habían contagiado y lo cual se modela mediante la función

a) ¿ Cuántas personas tenían gripe:

i) en el brote?;

ii) después de 3 semanas?;

iii) después de 10 semanas?

b) Si la epidemia continúa indefinidamente, ¿Cuántas personas contraerán la gripe?

11.- Suponga que
es el número de bacterias presentes en un cierto cultivo a los
minutos y
Si hay 5.000 bacterias presentes después de 10 minutos ¿Cuántas bacterias había inicialmente?

12.- En 1975 se calculó que en los 20 años siguientes la población de una ciudad particular constaría de
personas,
años desde 1975, donde
donde
y
son constantes. Si la población en 1975 era de 1 000 habitantes y en 1980 era de 4000, ¿Cuál es la población esperada para 1990?

13.- Escriba la expresión dada como un solo logaritmo:

a)
b)

c)
d)