De una ecuación lineal

Si tenemos ecuación la manera de graficarla es la siguiente:

Lo primero es despejar , es decir, dejar esta variable de un solo lado de la igualdad

-3	-6.66667
-2	-5.33334
-1	-4
0	-2.66667
1	-1.33334
2	0
3	1.33334

Enseguida se toman valores arbitrarios de que nos representen la línea en los cuadrantes positivo y negativo del plano cartesiano, y se sustituyen en la ecuación :

Lo siguiente es realizar el trazado de la gráfica con los valores de la tabla:

Sistema de ecuaciones lineales de dos variables

Un sistema de ecuaciones se compone de más de una ecuación lineal

La solución de de un sistema de ecuaciones es el punto de intersección de las dos líneas, tenemos varios métodos para resolver este sistema.

Método gráfico

Graficamos las dos líneas como se vio en un principio

-3	-6.66667	5.6
-2	-5.33334	5.4
-1	-4	5.2
0	-2.66667	5
1	-1.33334	4.8
2	0	4.6
3	1.33334	4.4
4	2.66667	4.2
5	4	4
6	5.3334	3.8

La gráfica quedaría de la siguiente manera

Como podemos observar la intersección esta en la coordenada (,), siendo este punto la solución de este sistema de ecuaciones de dos variables.

Método gráfico de los extremos

Para este método lo que hacemos es tomar los puntos donde se interceptan las líneas con los ejes del plano cartesiano, es decir cuando tomamos puntos como y para cada una de las líneas. Veamos el proceso:

Despejamos enseguida sustituimos los valores de y

Si entonces

Y cuando , pero primero tenemos que despejar de la ecuación

Ahora sustituimos

De esta manera obtenemos los puntos donde se interceptan las líneas

con los ejes del plano cartesiano, es decir para cada ecuación encontramos dos puntos

Se intercepta con el eje en y con el eje en

Se intercepta con el eje en y con el eje en

Lo único que tenemos que hacer es prolongar las líneas hasta que se interceptan

.

De nuevo obtenemos el resultado que habíamos obtenido con el método anterior.

Método C o método de la unidad

Este método nos permite obtener de manera sencilla los puntos donde se interceptan las líneas y los ejes. Lo primero es igualar el resultado de la ecuación a uno.

El proceso es el siguiente, se toma el primer termino como el coeficiente de es 1 entonces se dice que este termino esta completo, por lo tanto pero es igual a su denominador, por lo cual , es decir .

Ahora se toma el segundo termino , aquí tenemos que volver el coeficiente de en 1, por lo cual , de esta manera completamos la unidad, así que para este termino tenemos que y , es decir .

Aplicamos este método a la siguiente ecuación

Al comparar estos resultados nos damos cuenta que son iguales con los puntos resultantes del método gráfico de los extremos, por lo cual la gráfica es la misma de tal método y la podemos observar en la página anterior.

Método de sustitución

Este método se caracteriza por la sustitución de una variable que representa a su ecuación origen en la otra ecuación del sistema, veamos esto paso a paso

Despejamos x de la ecuación y sustituimos en

Sustituyendo por ultimo sustituimos

En cualquiera de las ecuaciones o , en este caso sustituimos en

Por lo cual el punto solución del sistema de ecuaciones es , comprobando los métodos gráficos anteriores.

Método de suma y resta (eliminación)

En este método se intenta igual términos en las ecuaciones para poder eliminarlos por la suma o resta de las ecuaciones del sistema.

Primero igualamos a cero la ecuación para poder igualar uno de los términos es necesario en este caso multiplicar la segunda ecuación por , es decir

Dando como resultado de tal manera que al sumar los términos de las ecuaciones obtenemos

El resultado se sustituye en cualquiera de las ecuaciones

El punto solución del sistema de ecuaciones es .

Método de igualación

En este método despejamos una variable en particular de las dos ecuaciones y las igualamos.

entonces y igualamos las ecuaciones sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones obtenemos el punto solución del sistema de ecuaciones es .

Método de determinantes

En este método solo nos interesan los coeficientes numéricos incluyendo su signo.

Que equivale a como matrices, enseguida buscamos sus incrementos

Las soluciones del sistema son

El punto solución del sistema de ecuaciones es .

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por los siete métodos vistos.

Solución.

Método grafico

Despejamos las ecuaciones de tal manera que le demos valores a para por graficar la línea

Realizamos la tabla

-3	10	-11
-2	8	-8
-1	6	-5
0	4	-2
1	2	1
2	0	4
3	-2	7

La gráfica quedaría de la siguiente manera

El punto solución es aproximadamente .

Método gráfico de extremos.

Despejamos las ecuaciones para poder sustituir

Cuando tenemos que

Y cuando tenemos que

Para la primera línea, los puntos donde intercepta con los ejes son y ; y para la segunda línea y , la gráfica se vería de la siguiente manera:

El punto solución es aproximadamente .

Método C o método de la unidad

Tomamos la primera ecuación

Para cada término

Para la segunda ecuación

Para cada término

Comprobándose que se obtienen los mismos puntos que en el método anterior, y por lo tanto la gráfica sería la misma.

Método de sustitución

Para obtener sustituimos el punto solución del sistema es .

Método de suma y resta

Para obtener sustituimos el punto solución del sistema es .

Nota. Solo en este caso utilizamos ningún coeficiente para igualar alguno de términos de a ecuación, ya que se tenía términos recíprocos los cuales eliminamos al sumar.

Método de igualación

Igualamos para obtener sustituimos el punto solución del sistema es .

Método de determinantes

El punto solución del sistema es .

Matrices

Matriz: Arreglo común rectangular que sirve para ordenar elementos y obtener comunes (por medio de situaciones determinantes).

Matriz, los elementos se encierran en un paréntesis

Una matriz se compone de filas y columnas

Nomenclatura

= elemento que representa a la fila 1, columna 1

= elemento que representa a la fila 1, columna 2

Una matriz tiene m renglones y n columnas, se dice que tiene dimensiones m x n.

Matriz de dimensiones 2 x 2

Vector: Matriz que tiene dimensiones m x 1 o 1 x n (Una sola fila o una sola columna).

O

Matriz cuadrada cuando m=n

Matriz cuadrada 2 x 2

Matriz cuadrada 3 x 3

Matriz transpuesta

Es el reacomodó de una matriz m x n a una matriz n x m

Vector fila

Vector columna

Matriz transpuesta

Suma y resta de matrices

Solo si tienen las mismas dimensiones las matrices a sumar o restar, se pueden realizar estas. Por ejemplo:

Otro ejemplo:

Multiplicación de matrices

Multiplicación escalar

Producto interno

Multiplicación de un vector fila por un columna.

Es decir

Multiplicación de matrices

El producto de matrices esta definido si y solo si el número de columnas de es igual número de filas de , .

Las dimensiones de la matriz resultante sean

Para encontrar la matriz resultante se hace el producto interno de la primer fila de por la primera columna de , luego la segunda fila de por la primera columna de , y así sucesivamente.

Otro ejemplo es

Otro ejemplo

Otro ejemplo

Otro ejemplo

ya que es la matriz identidad, es decir equivale al número uno en un a multiplicación con escalares.

Ejercicio de tarea

Matemáticas II

17

Columna 1

Columna 2

Fila 1

Fila 2

+

+

Examen 1

Examen 2

Examen 3

Examen 4

Alumno 1

Alumno 2

Alumno 3

Alumno 4

Matriz m x m

Matriz 4 x 4

Matriz transpuesta de A

Sí se puede realizar la multiplicación entre matrices

Las dimensiones y son iguales, por lo tanto se puede realizar la multiplicación

La dimensión de la matriz resultante es y , es decir