Matemáticas
Lógica
TABLA DE CONTENIDO
Tabla de contenido…………………………………………………………………………………2
Introducción a la lógica…………………………………………………………………………3
Concepto de lógica…………………………………………………………………………………4
Conectivos lógicos………………………………………………………………………………….5
Enunciado abierto…………………………………………………………………………………..5
Enunciado cerrado………………………………………………………………………………….5
Concepto de proposición……………………………………………………………………….6
Clasificación de proposición………..……………………………………………………….6
Clasificación de proposición compuesta…………………………………….....6-7
Valor de verdad de las proposiciones…………………………………………….7-8
Tabla de verdad de la proposiciones………………………………………………8-9
Concepto de tautología………………………………………………………………………….9
Concepto de contradicción…………………………………………………………………10
Concepto de contingencia……………………………………………………………………10
Ej. De tablas de verdad con 3 proposiciones…………………………….10-11
Los cuantificadores………………………………………………………………………………11
Cuantificador universal……………………………………………………………………….12
Cuantificador existencial……………………………………………………………………12
Razonamiento inductivo………………………………………………………………………13
Razonamiento deductivo……………………………………………………………………..14
Bibliografía…………………………………………………………………………………………….15
INTRODUCCION A LA LOGICA
Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común, se iniciara con Aristóteles el estudio de la Lógica; pero no fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George Boole (1815-1864) inicia el estudio de lo que hoy se conoce como Lógica Matemática.
Uno de los fines de la enseñanza matemática es disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo de esta ciencia ya que necesita de exactitud y precisión en sus razonamientos. La inteligencia se disciplina a través de un tipo especial de pensamiento que es el razonamiento. El objetivo de la lógica es estudiar la validez de los razonamientos.
La validez de la lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Por medio de un enunciado con sentido podemos emitir un juicio (actividad mental por medio de la cual pensamos algo) o un razonamiento (evaluación mental por medio de la cual obtenemos conclusiones).
CONCEPTO DE LA LOGICA
La lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados.
Para su estudio, se divide en lógica formal, lógica aplicada y lógica simbólica. Lógica formal: es la parte de la filosofía que estudia las formas y leyes generales del pensamiento tendiente al conocimiento de la verdad y el error.
Lógica Aplicada: es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptándose al objeto de estudio de las distintas ciencias.
Lógica simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con el nombre de Calculo Propocional.
CONECTIVOS LOGICOS
Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente los conectivos se representan del modo siguiente:
| Conectivo | Nombre Lógico | Símbolo |
| No | Negación | ~ |
| Y | Conjunción | ð |
| O | Disyunción Inclusiva | V |
| O…O | Disyunción Exclusiva | V |
| Si Entonces | Implicación o Condicional | → |
| Si Solo Si | Doble Implicación o Bicondicional | ð |
ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOS
Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en formal oral o escrita. Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas”.
Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”.
CONCEPTO DE PROPOSICIONES
Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.
CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES
Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado.
Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos.
CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “~”.
La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el siguiente símbolo: “ð”.
La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”.
La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.
La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las palabras”Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.
La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así:”ð”
VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa y viceversa. Ejemplo: si P es: “Constanza es un municipio de la Vega”, ~ P se leerá: “no es cierto que Constanza es un municipio de la Vega”.
La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas, y en los demás casos será falsa.
La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsa, en caso contrario es verdadera.
La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa.
La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa.
TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
Negación:
| p | ~p |
| V | F |
| F | V |
Conjunción:
| p | q | p ð q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disyunción Inclusiva:
| p | q | p v q |
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Disyunción Exclusiva:
| p | q | p v q |
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Condicional o Implicación:
| p | q | p → q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Bicondicional o Doble Implicación:
| p | q | p ð q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
CONCEPTO DE TAUTOLOGIA
Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman. Ejemplo:
| p | q | p v q | p→( p v q) |
| V | V | V | V |
| V | F | V | V |
| F | V | V | V |
| F | F | F | V |
CONCEPTO DE CONTRADICCION
La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la formen. Ejemplo:
| p | ~p | p ð q |
| V | F | F |
| F | V | F |
CONCEPTO DE CONTINGENCIA
La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo:
| p | q | p → q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
EJEMPLOS DE TABLAS DE VERDAD CON TRES PROPOSICIONES
1)
| p | q | r | p v q | (p v q) ð r |
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | V | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F |
| F | F | V | F | F |
| F | F | F | F | F |
2)
| p | q | r | p ð q | (p ðq) → r |
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | F | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | V |
| F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | V |
LOS CUANTIFICADORES
Los cuantificadores son símbolos que se usan en matemáticas para expresar determinadas condiciones. Entre ellos tenemos el cuantificador universal y cuantificador existencial.
El papel de los cuantificadores es importante ya que un enunciado abierto precedido de un cuantificador se convierte en una proposición falsa o verdadera. Ejemplo:
Así x + 2 = 4 es un enunciado abierto mientras que
ð x R/x + 2 = 4 es una proposición verdadera.
Cuantificador Universal: se simboliza “ð” (que se lee:”para todo, toda, todos ó todas), el símbolo ð viene de la palabra alemana Allzeicher que significa totalidad. El cuantificador universal indica que lo que se escribe a su derecha es verdadero para todo valor de la variable que lo acompaña. Ejemplo:
ðx; p(x): para todo x; p(x)
Sea p(x): x es una estudiante del 2do. año del bachillerato del centro de estudios Gregorio Luperón, x B, B = {Jennifer, Wendy, Petronila, Pedro}.
Todos los elementos de B son estudiante de l 2do. año del bachillerato del centro de estudios Gregorio Luperón.
Si anteponemos el cuantificador ð indica que en cada caso que x sea sustituido por uno de los nombres de B, entonces tiene que verificarse que sea un estudiante del centro de estudios Gregorio Luperón, entonces la expresión ðx; p(x) es verdadera.
Cuantificador Existencial: se simboliza ð y se lee: algunos, existen, e indica que todas las funciones proposicionales que se escribes a su derecha se verifica para por lo menos un valor considero para la variable o variables de la función proposicional. Ejemplo:
ðx; p(x); para algunos x; P(x)
Sea p(x): x es un estudiante del 2do. año del bachillerato del educativo Gregorio Luperón, x C, C = {Jenifer, Pedro, Ariel, Raúl}.
Pedro y Jenifer son estudiantes de 2do. año del bachillerato.
Ariel es un estudiante de 3er. año del bachillerato.
Raúl es un estudiante de 4to. año del bachillerato.
ðx; p(x) es verdadera porque se verifica para algunos valores de los que la variable x puede tomar.
RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO
El razonamiento es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos. El razonamiento correcto es aquel en que las conclusiones se siguen necesariamente o inevitablemente de las suposiciones o hechos.
Razonamiento Inductivo: proviene del latín inductio que quiere decir conducir, llevar a, introducir. El método inductivo es el que se vale de la observación de casos particulares para llegar a una conclusión general. Este parte de lo particular a lo general, de lo sencillo a lo completo, de lo fácil a lo difícil. Ejemplos:
Juan es niño y juega,
María es niña y juega,
Todos los niños juegan.
La manzana es una fruta y es saludable,
El mango es una fruta y es saludable,
Las frutas son saludables.
El oro es un metal y brilla,
La plata es metal y brilla,
Todos los metales brillan.
El gato es un animal y respira,
La paloma es un animal y respira,
Todos los animales respiran.
Rosa es dominicana y orgullosa,
Héctor es dominicano y orgulloso,
Todos los dominicanos son orgullosos.
Razonamiento deductivo: proviene del latín deductio que significa sacar o separa consecuencias de algo. El método deductivo es aquel que parte de los datos generales aceptados como validos, para llegar a una conclusión de tipo particular. Ejemplos:
Todos los niños juegan,
María es una niña,
Entonces María juega.
Las frutas son saludables,
La manzana es una fruta,
La manzana es saludable.
C) Todos los metales brillan,
La plata es metal,
La plata brilla.
D) Todos los animales respiran,
El gato es un animal,
El gato respira
Todos los dominicanos son orgullosos,
Héctor es dominicano,
Héctor es orgulloso.
BIBLIOGRAFIA
-
Santana, Julián. Matemática II.
-
Ediciones Santillana. Matemática II.
-
Secretaria de Estado de Educación. Matemática II.
-
Ediciones Susaeta.
-
Báez y Rellita. Matemática Básica I.
-
Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica.
-
Folleto “Introducción a la Lógica”.
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| Enviado por: | La Mayi |
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