Definiciones:

• Deducción: forma de razonamiento que consiste en partir de un principio general conocido, para llegar a un principio particular desconocido.

• Inducción: ascender lógicamente el entendimiento desde el conocimiento de los fenómenos hechos o casos, a la ley.

Demostraciones:

Hasta hoy en las Matemáticas, los matemáticos presentan los axiomas y luego proceden, paso a paso. Hasta construir sus maravillosas teorías. Es el eco de la obra de Euclides. 23 siglos después de su muerte.

En este capítulo, nos vamos a centrar sólo en el primer libro de los Elementos, los libros siguientes constituirán el tema del capitulo 3. El libro I empieza abruptamente con una lista de definiciones de la geometría plana. Entre éstas, tenemos:

—Definición 1. Un punto es aquello que no tiene partes

—Definición 2. Una línea es una longitud inextensa.

—Definición 4. Una línea recta es una línea que se extiende uni­formemente por los puntos que están sobre ella.

Desde una perspectiva moderna, un sistema lógico comienza con unos cuantos términos no definidos a los que se refieren todas las definiciones subsiguientes. Hay que procurar mantener el número de términos no definidos lo más bajo posible, pero su existencia es inevitable. Para los geómetras modernos, por tanto, las nociones de «punto» y «línea recta» permanecen sin definir. Definiciones como las de Euclides pueden servir para darnos una cierta imagen mental y esto tiene ya mucho mérito pero como definiciones precisas y lógicas, estas primeras definiciones dejan mucho que desear.

Por fortuna, las definiciones posteriores de Euclides fueron mucho mejores. Unas cuantas de éstas ocupan un lugar preeminente en nuestra discusión del libro I y merecen un comentario.

— Definición 10. Cuando una línea recta que está sobre otra línea recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí cada uno de estos ángulos es un ángulo recto y la recta que está sobre la otra línea recta se llama la perpendicular a ella.

Puede resultar sorprendente a los lectores modernos que Euclides no haya definido un ángulo recto como el que tiene 90 ', de hecho, en ninguna parte de los Elementos se menciona la palabra «grado» como unidad de medida de un ángulo. La única medida de ángulo que juega un papel importante en el libro es el ángulo recto, y, como veremos. Euclides lo define como uno de los ángulos adyacentes iguales a lo largo de una línea recta.

— Definición 23. Líneas paralelas son líneas rectas que están en el mismo plano y que al ser prolongadas indefini­damente en las dos dimensiones del plano nunca se encuentran.

Adviértase que Euclides evita definir las líneas paralelas en términos de líneas que son equidistantes en todos sus puntos. Su definición es fílas simple y menos expuesta a fallos lógicos: las paralelas son simple­mente líneas en el mismo plano que nunca se cortan.

Basándose en estas definiciones, Euclides da una lista de 5 postula­dos de su geometría. Recuérdese, que éstas eran las cosas dadas, las verdades evidentes por sí mismas de su sistema. Las tuvo que seleccio­nar Juiciosamente para evitar repeticiones o inconsistencias lógicas.

Postulado 1. (Es posible) trazar una línea recta desde un punto a otro.

Postulado 2. (Es posible) prolongar una línea recta finita de forma continua en una línea recta.

Inmediatamente se ve que estos dos primeros postulados permiten, precisamente, las construcciones que se pueden trazar con una regla. Por ejemplo, si el geómetra quiere unir dos puntos con una recta —tarea que físicamente se realiza con una regla—. El postulado 1 suministra la justificación lógica para esa construcción.

Postulado 3. (Es posible) trazar un circulo con cualquier centro y cualquier distancia (i.e., radio).

Tenemos aquí la correspondiente base lógica para sacar un compás y trazar un círculo, con tal de escoger un punto como centro y una determinada distancia como radio. Así, los tres primeros postulados, en conjunto, justifican todos los usos pertinentes de las herramientas euclidianas.

Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Este postulado no tiene relación con ninguna construcción. Más bien, suministra un patrón uniforme de comparación a todo lo largo de la geometría de Euclides. Los ángulos rectos se habían introducido en la definición 10 y ahora Euclides supone que dos ángulos rectos cualesquiera, independientemente de en qué lugar del plano se hallen situados, son iguales. Con esta base. Euclides formula su proposición, con mucho, más controvertida de las matemáticas griegas:

Postulado 5. Si una línea recta que corta dos líneas rectas forma ángulos internos menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan inde­finidamente, se cortan en el lado en el que se forman los ángulos cuya suma es menor que dos rectos.

Claramente, este postulado es muy diferente de los otros. Se formula en más palabras, requiere un diagrama para su comprensión y no parece una verdad muy autoevidente. El postulado también parece demasiado complicado para que se incluya en la misma categoría que el inocuo postulado «Todos los ángulos rectos son iguales». De hecho, muchos matemáticos están íntimamente convencidos de que el quinto Postulado es, en realidad, un teorema. Piensan que, igual que Euclides no necesitó suponer que las longitudes podían transferirse con un compás tampoco tuvo que suponer este postulado: simplemente debería haber sido capaz de demostrarlo a partir de propiedades geométricas. Si +<2 ángulos rectos, entonces las rectas AB y CD se cortan en la parte derecha de la figura.

Existen datos de que el mismo Euclides no estaba a gusto en este tema, ya que en su desarrollo del libro I evitó siempre que pudo usar el postulado de las paralelas. Como se indica en el epilogo, sin embargo, una cosa es mostrarse escéptico acerca de la necesidad de ese postulado, y otra, completamente distinta, suministrar la demostración del mismo.

Si alguien quisiera desarrollar una geometría a partir de unos cuantos axiomas escogidos, ¿qué proposición debería poner la primera? Para Euclides era la siguiente:

Proposición I.1. Sobre una línea recta finita dada, construir un triángulo equilátero.

Proposición I.15. Si dos rectas se cortan entre sí, los ángulos opuestos por el vértice que se forman son iguales.

Demostración: Puesto que AEB es una recta, la proposición 1.13 garantiza que los ángulos AEC y CEB suman dos ángulos rectos. Lo mismo puede decirse de CEB y BED. Ahora bien, el postulado 4 dice que todos los ángulos rectos son iguales, nos da que AEC + CEB = CEB + BED. Entonces, restando el ángulo CEB de ambos miembros Euclides concluye que los ángulos opuestos por el vértice AEC y BED son iguales, como se había afirmado.

Proposición I.16. En cualquier triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo es mayor que cualquiera de los ángulos internos y opuestos.

Demostración: Dado ABC con el lado BC que se prolonga hasta D, debemos demostrar que el ángulo DCA es mayor que los ángulos CBA o CAB. Inicialmente, Euclides corta por la mitad el lado AC en el punto E, según I.10, y luego traza la línea BE por su postulado 1. El postulado 2 le permite extender BE y luego construye EF = EB por el I.3. Finalmente tra­za FC.

Comparando los triángulos AEB y CEF, Euclides advierte que AE = CE por la bisección; que los ángulos 1 y 2 son iguales por I.1 y que EB = EF por construcción. Por tanto, los dos triángulos son congruentes por I.4 (i.e.., por el patrón de congruencia lado-ángulo-lado), de donde se sigue que los ángulos BAE = FCE. Pero el ángulo DCA es claramente mayor que FCE. Consecuentemente, el ángulo externo DCA es mayor que el ángulo interno opuesto BAC. Un argumento similar demuestra que el ángulo DCA también es mayor que ABC, completándose así la demostración. •

Proposición I.26. (ángulo-ángulo-lado). Si dos triángulos tie­nen dos ángulos iguales dos a dos, y un lado igual a otro, a saber, el que subtiende uno de los ángulos iguales, tendrán también los restantes lados y ángulos iguales.

Demostración: Por hipótesis, 2=5, 3=6 y AB=DE. Euclides sostiene que los lados BC y EF deben, por tanto, ser también iguales. Para demostrar esto, supuso en sentido contrario, que un lado era mayor que el otro; por ejemplo, supóngase que BC > EF. Era, por tanto, posible construir un seg­mento BH igual a EF. Trácese el segmento AH. Ahora bien, puesto que AB = DE y 2 = 5 por hipótesis, y BH = EF por construcción, se sigue por la congruencia lado-ángulo-lado que ABH y DEF son congruentes. De ahí que AHB = 6, puesto que son ángulos correspondientes de figuras congruentes.

Euclides luego se concentró en el pequeño triángulo AHC. Nóte­se que tanto su ángulo externo AHB como el ángulo interno opuesto 3 son iguales a 6 y, por ello, son iguales entre sí. Pero Euclides había demostrado ya en la importante proposición I.16 que un ángulo externo debe ser mayor que un ángulo interno y opuesto. Esta

contradicción demostraba que su hipótesis inicial BC"EF era correcta. Concluyó que estos lados eran, de hecho, iguales y, por tanto los dos triángulos originales ABC y DEF son congruentes por la congruencia lado-ángulo-lado.

Proposición I.27. Si una recta que corta a otras dos produce dos ángulos alternos iguales entre si, estas dos últimas rectas serán paralelas.

Demostración:
Si suponemos que 1 = 2 en la figura, Euclídes tenía que demostrar que las rectas AB y CD eran paralelas —esto es, según la definición 23 tenía que demostrar que estas líneas nunca pueden encontrarse—Adoptando un argumento indirecto, supuso que se cortaban y buscó una contradicción. Esto es, supóngase que AB y CD si se prolongan suficientemente, se encuentran en el punto G. Por tanto, la figura EFG es un triángulo largo y estirado, pero 2. un ángulo externo del "EFG, es igual a 1, un ángulo opuesto por el vértice e interno del mismo triángulo. De nuevo, esto es imposible según I.16, el teorema del ángulo externo. De ahí concluimos que AB y CD nunca se cortan, por mucho que se prolonguen. Puesto que esto es precisamente la definición de Eucíides de líneas paralelas, la prueba está completa. •

Proposición I.29. Si una recta corta dos líneas paralelas, los ángulos alternos resultantes son iguales entre sí.

Demostración: Esta vez Euclídes supuso que AB y CD en la figura son lineas paralelas y afirmó que 1=2. De nuevo, su modo de ataque fue indirecto. Esto es. supuso que 1 " 2 y a partir de aquí dedujo una contradicción lógica. Pues, si estos ángulos no fueran iguales, entonces uno debe ser mayor que el otro, y podríamos suponer que 1 > 2. Según la proposición 1.13 : 2 ángulos rectos = 1 + BGH > 2 + BGH

Y aquí. por fin, Eucíides invocó el postulado 5, un resultado precisamente diseñado, exactamente, para una situación como ésta. Puesto que 2 + BGH < 2 ángulos rectos, su postulado le permitió concluir que las rectas AB y CD deben encontrarse en la parte derecha, una manifiesta imposibilidad puesto que se ha supuesto que son paralelas. De ahí que, por contradicción, Euclídes había de­mostrado que 1 no puede ser mayor que 2, un argumento análo­go establecía que 2 no podía tampoco ser mayor que 1. En resu­men, los ángulos alternos internos de las rectas paralelas son iguales.

Como un corolario de la demostración, Euclídes dedujo fácil­mente que los ángulos correspondientes eran asimismo iguales, esto es, en la figura: EGB = 2. Lo que se seguía, ya que EGB y 1 eran ángulos opuestos por el vértice.

El postulado de las paralelas estaba ciertamente en el corazón del teorema que todo el mundo había estado esperando.

Proposición I.32. En un triángulo, los tres ángulos internos son iguales a dos ángulos rectos.

Demostración: Dado el ABC en la figura, Euclides trazó la recta CE paralela al lado AB por la proposición I.31 y prolongó BC hasta D. Por la proposición I.29 —una consecuencia del pos­tulado de las paralelas— sabía que 1=4, pues estos ángulos eran ángulos alternos internos, y también que 2=5, ya que eran los ángulos correspondientes de las rectas paralelas. La suma de los ánguÍos del ABC era, por tanto, 1+2-3 = 4+5+3 = 2 ángulos rectos, y a que éstos estaban sobre la linea recta BCD. De esta forma, quedaba demostrado el famoso resultado.

En la proposi­ción IX.20 demostró que, ningún conjunto finito de números primos podía incluir todos los números primos existentes. Esta demostración de Euclides se llama frecuentemente la demostración de la «infinitud de los números primos», ya que efectivamente, estableció que el conjunto de todos los números primos no es finito. El argumento que utiliza Euclides es un argu­mento clásico genuino, De hecho, a veces se cita como el ejemplo más refinado de un teorema matemático que es, al mismo tiempo, simple, elegante y extremadamente profundo. El matemático británico del siglo XX G. H. Hardy (1877-1947), en su extraordinaria monografía A Mathematician's Apology, considera la demostración de Euclides «... tan fresca e importante como cuando se estableció. Dos mil años no han dejado ninguna arruga en ella».

Nos falta la sencilla observación de que si un número entero G es divisor exacto de dos números N y M, siendo N >M, entonces G es también divisor exacto de su diferencia , N - M. Esto es fácil de ver, ya que el que G sea divisor de N implica que N= G x A, siendo A un número entero; y que sea divisor de M implica que M = G x B, siendo B un número entero. Por tanto, N - M = G x A - G x B = G x (A - B), y como A - B es un nú­mero entero, G claramente es divisor exacto de N - M. Por ejemplo, esto nos dice que la diferencia de dos múltiplos de 5 es también múltiplo de 5; la diferencia de dos múltiplos de 8 es también múltiplo de 8, etc.

Con este principio obvio en las manos, podemos atacar el clásico resultado de Euclides.

Proposición IX.20. Los números primos, son más que cualquier multitud fijada de números primos.

De nuevo, la terminología peculiar de Euclides oscurece parcial­mente el sentido de la proposición. Lo que dice es que, dado un conjunto finito de números primos —esto es, «cualquier multitud fijada»— es posible encontrar un número primo que no esté conteni­do en ese conjunto. En resumen, ningún conjunto finito de números primos puede agotar todos los números primos.

Demostración: Euclides comienza con una serie finita de primos, por ejemplo, A, B, C, ... D. Su objetivo es encontrar un número primo diferente de todos ellos. Como primer paso, forma el número N=(A x B x C ... D)+1. Este número, al ser una unidad mayor que el producto de todos los números primos de su lista inicial, es mucho mayor que cualquiera de los números primos considerados individualmente. Como cualquier numero mayor que 1. N es o primo o compuesto, y cada uno de estos casos requiere un examen por separado.

• Caso 1: Supongamos que N es primo. Puesto que es mayor que A, B, C, ... D, entonces N es un nuevo número primo no incluido entre los originales, y la prueba en este caso está completa.

• Caso 2: ¿Qué ocurre si N es compuesto? Por la proposición VII.31, N debe tener un divisor primo, por ejemplo, G. Euclides entonces sostiene —y aquí está el núcleo de su razonamiento— que G no puede estar contenido entre los primos de la lista original de su «multitud fijada». Supóngase, por conveniencia del argumento, que G = A. Entonces, con seguridad G es un divisor exacto del producto A x B x C x ... x D, mientras que (como hemos expuesto en el ca­so 2) G es al mismo tiempo divisor exacto de N. Por tanto, G de­be también ser divisor exacto de la diferencia de esos números, esto es de:

Pero esto es imposible, ya que el número primo G debe, como mínimo, ser tan grande como 2, y un número así no puede ser divisor exacto de 1. Pero la misma situación existe si suponemos que G == B, o G = C, etc. Por tanto, como Euclides sostenía, el número primo G no está incluido en A, B, C, ... D. En consecuencia, sea o no sea primo N, se puede encontrar un nuevo número primo. Por ello, a cualquier conjunto finito de números primos se le puede añadir otro número primo. Q.E.D.

La fuerza del argumento de Euclides se puede ilustrar si conside­ramos dos ejemplos numéricos específicos. Supóngase, por ejemplo, que nuestra «multitud fijada» original de números primos es el conjunto {2, 3, 5}. Entonces, el número N = (2 x 3 x 5) + 1 = 31 es un número primo. Puesto que 31 es claramente mayor que los tres números primos de partida, 2, 3 y 5, 31 es un número primo nuevo que no estaba contenido en el grupo original. Esta es exactamente la situación prevista en el caso 1.

Por otra parte, podríamos comenzar con los primos {3, 5, 1} de modo que N=(3x5x7)+l= 106. Ahora, aunque 106 es ciertamente ma­yor que 3, 5 ó 7, sin embargo no es un número primo. Pero como revela el caso 2, 106 = 2 x 53, y tanto 2 como 53 son nuevos números primos no incluidos en el conjunto {3, 5, 7}. Por tanto, aunque N sea compuesto, podemos aumentar nuestra lista finita de números primos con otro primo.

Operadores lógicos:

• Conjuncion. Expresión castellana: p y q

• Diyuntiva alternativa. Expr. Cast.: p y/o q

• Disyuntiva exclusiva. Expr. Cast.: o p, o q, no ambos.

• Implicador, condición suficiente. Expr. Cast.: si … entonces.

• Replicador, condición necesaria. Expr. Cast.: solo si ... entonces.

• Equivaledor, condición suficiente y necesaria. Expr. Cast.: Si y solo si ... entonces.

• / Barra de Sheffer. Expr. Cast.: o no p, o no q.

• Negación conjunta. Expr. Cast.:ni p, ni q.