HOMOTECIAS (H)

• Al numero () se llama razón de la homotecia:

d (O,P) / d (O, P') = 

• Si (m)>0 (es positivo), los puntos P y P'están del mismo lado respecto al punto O.

• Si (m)<0 (es negativo), los ptos. P y P' están en lados distintos respecto al pto. O.

Producto de dos Homotecias:

H (0, ) H (0, ') = H (0, *') or H (0, '')

Si te dicen: determine la homotecia producto H (0,2), lo que se hace es que se multiplican todos los puntos de la coordenada por 2.

Ej:

H (0,2) de un rectángulo con puntos: (1,2); (1,5); (4,2); (4,5).

Al realizar la homotecia, su nuevo rectángulo es: (2,4); (2,10); (8,4); (8,10).

La Homotecia con referencia a otro punto, diferente que O:

Si te dan: H(Q,2) eso quiere decir que la homotecia es a referencia del punto Q. Para hacer esto, se mide con una regla la distancia que hay entre el punto Q y cada punto de la figura, después se multiplica por 2, en este ejemplo, y del mismo lado respecto al punto Q, se dibujan los nuevos puntos de la figura.

y

x

PRODUCTO DE TRANSFORMACIONES DISTINTAS

Sx R = R Sx (El producto de una rotación y una reflexión no es

conmutativo!!!)

Recuerda: SIEMPRE SE LEE DE DERECHA A IZQUIERDA! Esto significa que tienes que realizar las transformaciones de derecha a izquierda.

Ej:

Realizar las transformaciones: TH si T(x,y) (x-2, y+1) y H(O, 3).

Los puntos son: M, P y N.

M(1,1) (3,3) (1,4)

P(4,1) (12,3) (10,4)

N(4,4) (12,12) (10,13)

SUCESIONES

• existen dos clases de sucesiones: finita e infinita

• n = posición

• si los términos van alternados (-1, 2, -4, 9... ) se utiliza el (-1)n para obtener el termino general de la sucesión.

an = a1 + (n-1)d

Numero de Fibonacci: an = an-1 + an-2, n " 3

Ejemplo:

Dado: a1 = a2 = 1. Encontrar sucesión:

a3 = a1 + a2 = 1+1 = 2

a4 = a3 + a2 = 2+1 = 3 ..... etc.

Secuencia Aritmética

Sum: Sn = (a1 + an / 2 ) * n

Secuencia Geometrica

r =qn / qn-1 = constant (r is the ratio)

Sum: Sn = q1 (1- rn) / 1-r

Secuencia Infinita

S = a / 1-r (r is the ratio)

SOLID GEOMETRY

- Todos deben saber que son rectas paralelas, perpendiculares y cual es su punto de intersección. También deben saber que son planos perpendiculares y paralelos, o un punto con una recta, un punto con un plano, una recta con un plano, etc.

Teorema. Ángulos de lados paralelos en el espacio: ángulos cuyos lados son paralelos y dirigidos en el mismo sentido son iguales.

cada rayo de la figura son ||s

por lo tanto, los angulos

compartidos de ambas

son iguales.

Teorema de Thales en el espacio: si dos rectas están cortadas por tres o mas planos paralelos, sus segmentos correspondientes son proporcionales.

A C

B D

E F

PERPENDICULARIDAD DE RECTAS Y PLANOS

Recta perpendicular a un plano. Se dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la intersección.

Para que una recta r sea perpendiculares a un plano, es necesario y suficiente que lo sea a dos rectas cualquiera no paralelas de dicho plano. (o sea, si tenemos un plano y arriba de este están dibujadas varias rectas, que pertenecen al plano; para determinar si una recta es perpendicular AL PLANO, solo tenemos que ver si esta recta es perpendicular a las rectas del plano.)

Postulados:

Por un punto P pasa un plano perpendicular a una recta y a solamente uno.

Si tenemos dos planos y una perpendicular a uno de ellos, también es perpendicular al otro.

Por un punto P de un plano pasa una recta perpendicular al plano y solamente una.

Por un punto P exterior a un plano, pasa una recta perpendicular al plano y solamente una.

Teorema fundamental de la perpendicularidad de recta y plano: si una recta es perpendicular a otras dos en su punto de intersección, es perpendicular al plano determinado por estas.

m

Teorema de las tres perpendiculares: (si tenemos una recta CA que es perpendicular a un plano y tenemos otra recta AM que pertenece al plano, y es perpendicular a la recta PQ, entonces cualquier recta trazada por la recta CA y pasando por el punto M, es perpendicular a la recta PQ). Refiéranse a la pag. 151 (el dibujo, porque no toy por dibujarlo).

ANGULOS DIEDROS

• Un ángulo diedro es la región del espacio, limitada por dos semiplanos, interceptados por la arista.

• Arista del diedro: es la recta común a las dos caras. (AB del figura de abajo).

• Caras del diedro: son los semiplanos que lo forman.

• Un diedro se puede nombrar por dos puntos de su arista o por un punto de cada cara. (ej: diedro AB, diedro PQ, diedro OA, etc de la figura de abajo).

• Clasificación: diedros agudos, rectos, obtusos, llanos, etc dependiendo del ángulo rectilíneo (o sea si es recto, es recto, si es agudo, es agudo...). También pueden ser consecutivos y adyacentes.

• Consecutivos: -arista comun, cara comun, pero otra cara en distinto semiespacio respecto de la cara comun.

• Adyacente: -arista comun, cara comun, pero otras dos caras estan en un mismo plano.

• Planos perpendiculares: dos planos son perpendiculares cuando se cortan formando cuatro diedros rectos.

Angulo rectilíneo correspondiente a un diedro. (medida de un ángulo diedro): es el ángulo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.

Teorema. Angulo suplementario de un diedro: si por un punto interior de un diedro se trazan perpendiculares a las caras del mismo, resulta un ángulo suplementario del diedro.

Se supone que si se trazan dos rectas perpendiculares a las caras de un mismo punto, el ángulo comprendido entre estas va a medir 90 cada uno, entonces su suma es 180. Por lo tanto, los otros dos ángulos restantes de la figura van a medir 180, porque una figura de cuatro ángulos mide 360. (ver dibujo en la pag. 158, donde las rectas perpendiculares son AB y BC)

-También si se extiende la recta DC hacia la izquierda, el ángulo formado con respecto a la recta AD, va ser igual a B. (referirse a la figura de la pag. 158).

ANGULOS POLIEDROS

• Ángulos diedros del ángulo poliedro son los formados por sus caras consecutivas.

• Un ángulo poliedro se nombra por el vértice, un guión y las letras de las aristas. Ej: V-ABCDE

• Cara: es el angulo formado por aristas y vértices.

• Clasificación: (según numero de caras) ángulo triedro, tetraedro, pentaedro, exaedro. También: cóncavo (cuando la diagonal esta fuera de la figura) y convexo (cuando la diagonal esta adentro). Y por ultimo: regulares o irregulares (de acuerdo a que sus caras sean o no polígonos regulares)

• Angulo triedro: ángulo poliedro formado por tres semirrectas y por tanto, tres caras. Consta de seis elementos: tres caras y tres diedros.

Teorema. Propiedad métrica de una cara de un triedro: toda cara de un triedro es menor que la suma de las otras dos.

Teorema. Suma de las caras de cualquier poliedro: es menor que cuatro rectos:

0 < " de caras < 360

Teorema. Suma de los diedros de un triedro: esta comprendida entre dos y seis rectos:

180 < " de diedros < 540

Secciones paralelas de un ángulo poliedro: sección plana de un ángulo poliedro es todo polígono cuyos vértices son las intersecciones de sus aristas con un plano que corte a todas ellas.

PRISMAS

• Base: secciones producidas por los dos planos paralelos.

• Altura: la porción de perpendicular a las bases comprendida entre estas.

• Caras laterales: paralelogramos comprendidos entre las bases y que limitan al prisma.

• Aristas laterales: intersecciones de las caras laterales.

• Clasificación: cóncavo y convexo, regulares e irregulares, y por el numero de lados que tengan las bases: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. También pueden ser rectos (cuyas bases son secciones rectas y por tanto las aristas laterales son perpendiculares a las bases) y oblicuo (es aquel cuyas bases no son secciones rectas y por tanto, las aristas laterales son oblicuas a las bases).

• Prisma oblicuo: 1) sección recta: es la producida por un plano perpendicular a las aristas laterales 2) la altura: es la perpendicular trazada de un vértice a la base superior al plano sobre el que se apoya dicho prisma. (ver figura a la pag. 186)

Teorema de Pitágoras en el espacio: el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las tres aristas que concurren en un vértice.

Área lateral y total de un prisma RECTO:

AL = p * h

AT = AL + 2B (donde B es el área de la base)

Volumen de un prisma RECTO:

V = B * h (donde B sigue siendo el área de la base)

PIRÁMIDES

• Base: es la figura que ta abajo (capish?)

• Caras laterales: triángulos determinados por el vértice y cada lado de la base.

• Aristas laterales: intersecciones de las caras laterales.

• Altura: distancia desde el vértice al plano de la base. (teniendo en cuenta que es hasta el centro del plano de la base, no hasta uno de sus lados).

• Apotema: altura de una cualquiera de sus caras laterales

• Clasificación: (de acuerdo con la clase de polígonos de la base): triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

• Tetraedro: es una pirámide triangular formada por cuatro triángulos equiláteros (cualquiera de sus cuatro caras puede tomarse como base)

Área de la Pirámide REGULAR:

S = ½ * p * a (a es la longitud del apotema y p es el perímetro de la base)

Área Total de un Pirámide: se obtiene sumando al área lateral mas el área de la base (esta depende del polígono que sea):

AT = AL + B (B: área de la base)

Teorema. La razón entre el área de la base de una pirámide y el área de una sección paralela a esta es igual a la razón entre los cuadrados de sus distancias al vértice.

S / S' = VO2 / VO'2

Volumen de una Pirámide. Teorema: el volumen de una pirámide cualquiera es igual a 1/3 del producto del área de la base por la medida de la altura:

V = 1/3 * B * h

Tronco de Pirámide: Es la porción de pirámide comprendida entre la base y una sección paralela a ella.

• Bases del Tronco: la base de la pirámide y la sección paralela a la base.

• Altura del Tronco: distancia entre los planos y sus bases.

• Apotema del Tronco: altura de una de sus caras laterales.

• Pirámide deficiente: parte de la pirámide que se supone comprendida entre la base menor y el vértice.

Area Lateral del Tronco de Pirámide REGULAR:

S = ½ *a *(p + p') (a es el apotema del tronco, p y p' son los perímetros de

las dos bases)

Volumen del Tronco de Pirámide:

V = 1/3 * h * (b + b' + "(bb') (b y b' son las áreas de sus bases y h altura)

Q





AB/ BE = CD / DF

AE / AB = CF / CD , etc.

P

a

b

La recta m es perpendicular a las rectas a y b en su punto de intersección P, entonces, la recta m es perpendicular al plano L, ya que las rectas a y b pertenecen al plano.

L

Q

O

P

La recta QO y PO son perpendiculares a la arista AB y cada una están en las caras respectivas del diedro. So, el ángulo rectilíneo es POQ.

A

B

concavo

convexo

V

El polígono rosado es una sección paralela al otro polígono azul.

AB2 = AY2 + XY2 + YZ2

A

B

X

Z

Y

H

V

VH es el apotema

VO = distancia del vértice a la base

VO' = distancia del vértice a la sección paralela

S = area ABCD

S' = area A'B'C'D'

A

B

C

D

A'

B'

D'

C'

O'

O

V

Tronco