HETEROCEDASTICIDAD

“ Se da cuando la varianza de los errores no es constante en las distintas observaciones ”

Homocedasticidad: E ( Ui 2 ) =  2

Heterocedasticidad: E ( Ui 2 ) = 

Fuentes de Heterocedasticidad

Estimación MCO con Heterocedasticidad

• Los estimadores siguen siendo INSESGADOS

E () =  Condición de Insesgamiento

E (2) = 2 + Ki E(Ui)

Si E(Ui) = 0 entonces demostramos que el estimador es Insesgado. De esta manera observamos que para determinar la condición de insesgamiento no nos importa si la varianza de Ui es Homocedástica o heterocedastica. Por lo tanto en presencia de Heterocedasticidad los estimadores siguen siendo Insesgados.

• Los estimadores siguen siendo CONSISTENTES

La propiedad de Consistencia es de las muestras grandes y consiste en que la Varianza de  tiende a cero cuando n tiende a " .

Bajo el supuesto de heterocedasticidad se sigue cumpliendo.

E(UiXi) = 0

• Los estimadores dejan de ser EFICIENTES ya que no son los de minina varianza.

• Las varianzas y covarianzas de los estimadores de MCO son SESGADAS e INCONSISTENTES. Por este motivo los test de hipótesis ya no son válidos.

Detección de la Heterocedasticidad (métodos informales)

• Naturaleza del problema: Se basa en relaciones ya estudiadas que pueden ser similares a las que estamos analizando

• Casos particulares

• Método grafico: consiste en hacer una regresión bajo el supuesto de que no existe heterocedasticidad y luego examinar los u con las y para ver si hay algún patrón de comportamiento.

Detección de la Heterocedasticidad (métodos formales)

• TEST DE GOLDFELD-QUANT: Se basa en la idea que si la varianza de los errores es igual a través de todas las observaciones, entonces la varianza para una parte de la muestra será la misma que la calculada con otra parte de la misma.

I ETAPA: Se identifica una variable Z relacionada con la varianza de los errores. Si suponemos que la relación es POSITIVA, ordenamos de manera creciente los datos de la muestra.

II ETAPA: Dividimos la muestra en 2 partes omitiendo los valores centrales (c)

III ETAPA: Estimamos las regresiones por separado.

IV ETAPA: Obtenemos SEC de cada una de las regresiones y calculamos las estimaciones de la varianza como SEC1/n1-k y SEC2/n2-k

V ETAPA: Calculamos Fcalc = SEC1/n-k

SEC2/n-k

VI ETAPA: Comparamos Fcalc con el valor F tabla con (n1-K) GL numerador y (n2-K) GL denominador.
Si Fcalc > Ftabla rechazo Ho de Homocedasticidad.

Limitación: El éxito depende de (c) y que se seleccione correctamente X.

• TEST DE BREUSH-PAGAN: Supone que la varianza de los errores no es una constante sino que está relacionada con un N° de variables Z.

Y1= 1 + 2X2 + .... U1

2 = 1 + 2 Z2 + .... p Zp (p<= k)

Si 1 = 2 = .... p = 0 entonces la varianza de los errores es constante indicando Homocedasticidad. Construimos un testo con Ho afirmando dicha igualdad.

I ETAPA: Estimamos Y1= 1 + 2X2 + .... U1 por MCO y luego calculamos los residuos del modelo.

II ETAPA: U2i (estimado) es una estimación de la varianza de los errores.

Si 1 = 2 = .... p = 0 fuese válida podemos esperar que U2i (estimado) esté relacionado con las variables Z lo que sugiere una regresión auxiliar.

U2i (estimado) = 1 + 2 Z2 + .... p Zp

2 (estimado)

III ETAPA: Demostraron que para Muestras Grandes y bajo Ho: 1 = 2 = .... p = 0 (Se regresión)2 /2 tiene distribución Chi-cuadrado con p grados de libertad.

Entonces si 2 calc = SEC/2 > 2 tabla = 2 p,

Rechazamos Ho y hay Heterocedasticidad.

Limitación: Es sensible a cualquier tipo de violación del supuesto de normalidad de los errores.

• TESTE DE WHITE: También es un test para muestras grandes y es parecido al de Breush-pagan, pero no necesita ningún supuesto previo acerca de las causas de la heterocedasticidad.

I ETAPA: Estimamos el modelo por MCO.

II ETAPA: Calculamos U2i (estimado)

III ETAPA: Estimamos un modelo de regresión utilizando U2i (estimado) como variable dependiente sobre las X originales , las X2 y los productos cruzados.

IV ETAPA: Calculamos R2 para la regresión y n.R2

V ETAPA: Ho: 2 = 3 = .... = 0
H1: al menos una  # 0

Si nR2 > 2 (k-1),

Rechazo Ho y tengo Heterocedasticidad.

-Si al menos una variable explicativa es DUMMY al elevarla al 2 resulta la misma variable y hay problemas de Multicolinealidad Perfecta.

-Si son muchas X podemos eliminar los términos cruzados.

Soluciones a la Heterocedasticidad

• Mínimos Cuadrados Generalizados : Consiste en dividir cada término por  i.

Modelo transformado

Y1/ i. = 1X1/ i. + 2X2/ i. + .... Este modelo satisface los supuestos de MCO, pero se puede presentar el inconveniente de no conocer  i.

• Mínimos Cuadrados Ponderados: es una extensión del MCG.

Definimos w1= 1/ i. Y transformando el modelo nos queda

Y1W1. = 1(X1W1). + 2(X2W1). + ….. (UiW1)

En este modelo transformado cada observación de la variable está ponderada por W1 (inversamente proporcional a  i)

Suponemos Var(Ui) = 2. Z2 ( se denomina Heterocedasticidad Multiplicativa)

W = 1/Z .... Nos queda el modelo transformado.

La Var(Ui transformado) = 2.(porque se nos elimina Z2) , de esta manera nos queda un modelo Homocedastico.

I ETAPA: Estimamos el modelo por MCO

II ETAPA: Calculamos los residuos estimados al cuadrado

III ETAPA: Estimamos la regresión particular de los residuos estimados al cuadrado sugerida por White.

IV ETAPA: Usamos las estimaciones y obtenemos la estimación de

2 = 1 + 2 Z2 + ....

V ETAPA: Hacemos una regresión U2i (estimado) contra cada variable del paso 3

2 (estimado)

dividida por 2 (estimado).

2 = 1 + 2 X2 + 3X3 + 4X22 + 5 X2X3 ....... etc

VI ETAPA: W= 1/ 2 (estimado por MV)

Puede ocurrir que se obtengan estimaciones NEGATIVAS para las variables. En este caso se eliminan los términos cruzados o se usa el Log de U2 estimado como término dependiente.