Geometría De Ayer Y Hoy

Trabajo final: Resultados de Geometría Euclediana

E.T.S.I.A

Madrid, 14 de febrero de 2004

Postulados Generales

Postulado de la recta: por dos puntos es posible exactamente trazar una recta.

Postulado de la intersección de rectas: la intersección de dos rectas es exactamente un punto.

Postulado del punto medio: en cualquier recta es posible exactamente trazar el punto medio. Así podemos definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los extremos definidores del mismo son iguales. La mediatriz es, por tanto, una recta perpendicular al segmento correspondiente que además para por el punto medio.

Postulado de la bisectriz de un ángulo: en cualquier ángulo es posible trazar una bisectriz. Se define bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los lados del ángulo son iguales. Es, por tanto, una recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Postulado de las paralelas (Quinto postulado de Euclides): “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos”. Esta formulación, que es la original es confusa por lo que se suele enunciar el quinto postulado de esta forma: “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta”.

El quinto postulado de Euclides afirma dos cosas: uno, la existencia de una recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta dada y dos, que esta recta es única.

Muchos matemáticos han tratado de demostrarlo como teorema, pero no se ha conseguido (ni se conseguirá). Saccheri, Lambert, Legendre, Fourier y Gauss fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el quinto postulado.

Postulado de las perpendiculares: Por un punto que no esté en una recta dada es posible trazar exactamente una recta paralela a la recta dada.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. De manera recíproca, si dos rectas son cortadas por una transversal formando alternos internos congruentes, entonces las rectas son paralelas

Teoremas De Ángulos

La suma de los ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual al valor de 2 ángulos rectos.

Partiendo de la hipótesis de que AB y CD son dos rectas que se cortan en el punto O.

COD = 180º

Según la figura: COD = AOD + AOC AOD + AOC = 180º

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

Partiendo, nuevamente, de la hipótesis de que AB y CD son dos rectas que se cortan en el punto O, se trata de demostrar que el ángulo formado por AOD es igual al formado por COB

Como la suma de los ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual al valor de 2 ángulos rectos, podemos decir que:

COA + AOD = 180º

COA + COB = 180º ! COA + AOD = COA + COB ! AOD = COB

El Triángulo; Rectas Notables

Un triángulo es un polígono cerrado y convexo constituido por tres lados, y tres ángulos que suman 180º. Cuando los tres lados son iguales el triángulo se llama equilátero, cumpliéndose la igualdad de los tres ángulos (suman 180º); cuando hay dos lados iguales y uno desigual se llama isósceles, cumpliéndose idéntica relación para los ángulos; cuando los tres lados son distintos el triángulo se denomina escaleno.

Un triángulo isósceles en el que el cociente entre uno de sus lados y el lado menor sea el número de oro se llama triángulo áureo. Los ángulos de la base del triángulo áureo miden 72º y el del vértice 36º.  

Cuando los ángulos son agudos, es decir, menores de 90º, el triángulo se llama acutángulo; cuando uno de sus ángulos mide 90º (recto) el triángulo se dice que es rectángulo; y cuando un ángulo es obtuso (mayor de 90º) se le llama obtusángulo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º

A M

B C N

En el triángulo ABC de la anterior figura se ha trazado por C una paralela CM al lado AB. Se han formado dos ángulos, el definido por MCN y el definido por MCA. Se puede apreciar que el primero es igual al ángulo interior el triángulo con vértice en B, y el segundo es igual al que, siendo interior en el triángulo, tiene por vértice el punto A.

De la igualdad anterior y del hecho de que la suma de los ángulos MCA, MCN y ACB es 180º, por ser un ángulo llano, se demuestra la propiedad anteriormente citada.

Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales, o iguales dos lados y el ángulo comprendido, o un lado igual e iguales los dos ángulos contiguos.

La altura de un triángulo se define como el segmento obtenido al trazar desde cada vértice una perpendicular al lado opuesto. Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Al triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo dado se le llama órtico del primero, cumpliéndose que las alturas del primitivo son las bisectrices de su órtico asociado.

Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, representativo de la circunferencia inscrita, tangente a los lados del triángulo.

Las bisectrices exteriores de los correspondientes ángulos del triángulo se cortan en tres puntos llamados exincentros, siendo estos puntos los centros de cada una de las circunferencias exinscritas, resultando, cada una de ellas, tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados.

Las bisectrices interiores de un triángulo son alturas del triángulo definido por sus exincentros, cumpliéndose, por tanto, que un triángulo cualquiera es el órtico del triángulo formado por sus exincentros.

Si unimos el incentro con los vértices del triangulo, obtenemos tres triángulos. El área del triangulo original será igual a la suma de las áreas de los tres triángulos.

Las llamadas mediatrices de un triángulo son las correspondientes a cada lado del mismo. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro, representativo del centro de la circunferencia circunscrita, que contiene a los tres vértices del polígono.

La circunferencia circunscrita a un triángulo cumple la propiedad de mantener alineados los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del triángulo desde cualquier punto de dicha circunferencia. A la recta formada por los pies de las perpendiculares mencionadas se le llama de Simson

La mediana es el segmento definido por un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.

Las medianas se cortan en un punto llamado baricentro, que cumple que su distancia a un vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto. Por tanto, la distancia del baricentro a un vértice representa los dos tercios del valor total de la mediana, siendo su distancia al punto medio de un lado un tercio del valor de la mediana que pasa por él.

El baricentro es el centro de gravedad de su triángulo.

Si conocemos las coordenadas de los tres vértices del triángulo, el cálculo del baricentro es muy sencillo. Sean (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), las coordenadas del baricentro serán:

x = (x1 + x2 + x3) / 3
y = (y1 + y2 + y3) / 3
z = (z1 + z2 + z3) / 3

El baricentro, el circuncentro y el ortocentro están alineados en una recta llamada de Euler, cumpliéndose que la distancia del baricentro al ortocentro es doble que su distancia al circuncentro.

Si se dibujan los anteriores puntos en un triángulo se puede tomar como centro de una circunferencia el punto medio del segmento definido por el ortocentro y el circuncentro, y trazarla con radio igual a la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo de partida. Se obtiene una nueva circunferencia, llamada circunferencia de los nueve puntos, de Euler o de Feurerbach.

Existe un famoso teorema, conocido como teorema de Feuerbach, que demuestra que la circunferencia de los nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita, así como a las tres circunferencias exinscritas al triángulo. La demostración no es inmediata y recurre a la transformación del plano conocida como inversión.

Entre las propiedades importantes de esta circunferencia resalta su tangencia con las exinscritas e inscrita al triángulo de referencia. Junto a esta circunferencia podemos mencionar otra propiedad de los puntos medios del triángulo de exincentros y por los puntos medios de los segmentos definidos por los puntos medios de los segmentos definidos por los mencionados exincentros y por el incentro del triángulo de partida.

Punto de Fermat de un triángulo: se trata de un problema de optimización propuesto por Pierre Fermat.

Se considera un triángulo acutángulo ABC y un punto P interior. Consideramos la suma de las longitudes de los segmentos trazados desde el punto a los tres vértices. Se trata de encontrar el punto para el cual la suma anterior es mínima. Dicho punto se conoce como punto de Fermat del triángulo.

El punto de Fermat, se obtiene como intersección de los tres segmentos determinados por los vértices del triángulo ABC y los vértices exteriores de los triángulos equiláteros construidos sobre los lados opuestos.

Teoremas De Triángulos

En un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

Se parte del triángulo rectángulo ABC, en el que la hipotenusa es AB y el punto medio de esta es D (AD = DB), y el ángulo recto es C.

El punto medio de CB le llamo E, de forma que CE = EB. La recta DE es paralela a AC, ya que el segmento que une los punto medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado; de forma que el ángulo DEC es recto.

Como el ángulo BEC, que mide 180º, está formado por lados colineales, de forma que se puede escribir:

DEC + DEB = BEC ! DEC + 90º = 180º ! DEC = 90º

Por tanto DEC = DEB; de forma que el triángulo DEC es igual al triángulo DEB, de forma que queda demostrado que CD = BD.

Las bisectrices de dos ángulos de un triángulo equilátero forman entre sí un ángulo igual a cualquiera de los ángulos externos del triángulo.

Partiendo de la hipótesis de que ABC es un triángulo equilátero; CE es bisectriz del ángulo ACB; BE es bisectriz del ángulo ABC; ACD es un ángulo externo del triángulo ABC.

ACD es un ángulo externo al triángulo ABC, tal y como muestra la figura.

Los 3 ángulos que forman el triángulo ABC son iguales, cada uno mide 60º.

EBC = ABC/2 = 30º (EC es la bisectriz del ángulo ABC)

ECB = ACB/2 = 30º (EB es la bisectriz del ángulo ACB)

Como los ángulos del triángulo BEC suman 180º, el ángulo que queda, el CEB, medirá 180 - 30 - 30 = 120º

ACD = 180 - ACB = 180 - 60 = 120º

Por tanto BEC = ACD

Teorema de la altura

El teorema de la altura establece que la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta. Es decir, si h es dicha altura y p y q los citados segmentos, se verifica que p/h=h/q, o lo que es lo mismo, h2=p·q.

La razón por la que se cumple esta igualdad es porque la altura AH divide al triángulo ABC en otros dos que son semejantes y por tanto sus lados son proporcionales. Son semejantes porque tienen los ángulos iguales (ambos son rectángulos y los dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares).

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a las suma de los cuadrados de los catetos, siendo la hipotenusa el lado que se opone al ángulo recto.

Demostración del teorema de Pitágoras:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura siguiente. El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (b·c/2) más el área del cuadrado amarillo (a2):

Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

(b+c)2 = 4·(b·C/2)+a2

b2+c2+2bc = 2bc+ a2 ! a2 = b2+c2

Teorema del cateto

"En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella"

c/b=b/m

c/a=a/m

En el triángulo ADC

En el triángulo BCA

Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones

Triángulo de Morley

En todo triángulo las semirrectas que dividen cada uno de los ángulos en tres partes iguales determinan un triángulo equilátero.

Teorema de Ceva

Este teorema establece la condición que deben cumplir tres puntos situados sobre los tres lados de un triángulo y no coincidentes con los vértices, para que los segmentos que unen esos puntos con los vértices se corten en un mismo punto.

Consideremos un triángulo ABC y tres rectas que pasan cada una por un vértice distinto del triángulo y que no contienen a los lados del triángulo. Llamamos a los puntos de intersección de esas rectas con los lados Z, X e Y (ver figura).
La condición necesaria y suficiente para que las tres rectas se corten en un mismo punto es: (BX/XC)*( CY/YA)*(AZ/ZB) = 1.

Demostración del teorema:

La demostración se basa en que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos. Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CX se cortan en un punto P.

Entonces

De la misma forma, se obtiene que

Multiplicando,

El recíproco del teorema de Ceva es también cierto. Es decir, se cumple que

Supongamos que las tres cevianas AX, BY y CZ cumplen:

(BX/XC)*( CY/YA)*(AZ/ZB) = 1

Entonces las tres cevianas son concurrentes.

Teorema de Menelao

El teorema de Menelao proporciona un criterio de alineación, lo mismo que el teorema de Ceva proporciona un criterio de concurrencia.

Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

(BX/XC)*( CY/YA)*(AZ/ZB) = 1

Teorema de Napoleón

Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo equilátero (O1O2 O3) conocido como triángulo de Napoleón exterior.

Análogamente si se construyen sobre los lados del triángulo ABC triángulos equiláteros interiores, sus centros también determinan un triángulo equilátero (P1P2P3) conocido como triángulo de Napoleón interior .

Existe una interesante propiedad que relaciona las áreas de los tres triángulos: El área del triángulo ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior .

Parece ser que Napoleón era aficionado a la Geometría y alguno de los resultados anteriores le ha sido atribuido. En cualquier caso no está muy claro que sus conocimientos geométricos fueran suficientes para llegar a establecer los resultados descritos.

Demostración:

1. Se considera un triángulo ABC, sobre cuyos lados se han construido tres triángulos ABT, BCS y CAR de forma que los ángulos R, T y S sumen 180º. Entonces las tres circunferencias circunscritas a los tres triángulos (ABT, BCS y CAR) se cortan en un punto (F).

Si consideramos las circunferencias circunscritas a los triángulos ABT y BCS observamos que se cortan en B y en otro punto F. (Si sólo se cortaran en B, resultaría que A, B y C estarían alineados). Se cumple (por ser ABFT un cuadrilátero inscrito en una circunferencia) <ABF=180º - <T. Por idéntico motivo: <BFC= 180º - <S. Resulta así:
<AFC = 360º - (<ABF +< BFC) = 360º - (180º - <T + 180º - <S) = <T + <S = 180º - <R. Por tanto A, F, C y R están sobre una misma circunferencia y F es el punto de intersección de las tres circunferencias circunscritas.

2. Se considera un triángulo ABC, sobre cuyos lados se han construido tres triángulos ABT, BCS y CAR de forma que los ángulos R, T y S sumen 180º. Entonces el triángulo (O1O2O3) formado por los circuncentros de los tres triángulos cumple: <O1=<R, <O2=<S y <O3=<T.

O3O2 y O3O1 son perpendiculares a los ejes radicales FB y AF . Por ello el cuadrilátero PFQO3 es inscriptible en una circunferencia (los ángulos en P y en Q suman 180º) y deducimos que O3= 180º - <AFB. Por otra parte (fijarse en el cuadrilátero TAFB inscrito en una circunferencia) sabemos que <T = 180º - <AFB. Comparando las dos últimas igualdades queda claro que <O3 = <T.

3. Si sobre los lados de un triángulo construimos triángulos equiláteros exteriores, resulta que el triángulo formado por sus centros también es equilátero (triángulo de Napoleón exterior).
Es consecuencia del apartado anterior (2.)

4. Si sobre los lados de un triángulo construimos triángulos equiláteros interiores, resulta que el triángulo formado por sus centros también es equilátero (triángulo de Napoleón interior).
Ver conclusiónes del apartado siguiente (5.)

5. El área de un triángulo es igual a la diferencia de las áreas de sus triángulos de Napoleón.

Consideremos el triángulo O1CO2. Los lados =O1C y O2C miden, respectivamente, b/31/2 y a/31/2 (son los radios de las circunferencias circunscritas a triángulos equiláteros de radios b y c, respectivamente).

El ángulo <O1CO2 mide: 30º+<C+30º, es decir <C+60º. Aplicando el teorema del coseno tenemos: (O1O2)2 = (a2+b2)/3 - 2/3ab·cos(C+60º.

Concentrémonos ahora en el triángulo P1CP2, donde P1 y P2 son centros de dos de los triángulos de Napoleón internos y no olvidemos que dichos puntos se pueden obtener a partir de O1 y O2 aplicando una simetría axial respecto a los lados CA yCB, respectivamente.

Por ello CP1= CO1 = b/31/2 y CP2 = CO2 = a/31/2. El ángulo P1CP2 mide C-60º. Aplicando el teorema del coseno tenemos: (P1P2)2 = (a2+b2)/3 - 2/3ab·cos(C-60º). Restando las dos igualdades:

(O1O2)2 - (P1P2)2=2/3ab[cos(C-60º) - cos(C+60º)] = 4/3ab[sen(C)sen(60º)] = 231/2 /3ab·sen(C)=2/31/2 ab·sen(C) = 4/31/2 área(ABC).

Del resultado anterior se deduce inmediatamente que el triángulo interior de Napoleón también es equilátero ( el área(ABC) es constante y los lados OiOj son iguales).

Además: 31/2 /4(O1O2)2 - 31/2 /4(P1P2)2 = área (ABC) es precisamente:

área(O1O2O3) - área(P1P2P3) = área(ABC).

Teorema de las Bisectrices

Si en un triángulo ABC consideramos el punto de intersección P de la bisectriz interior del ángulo C con el lado opuesto se cumple: AP/PB = CA/CB. Si Q es el punto de intersección de la bisectriz exterior correspondiente al vértice C con la prolongación del lado AB tenemos: AQ/QB = CA/CB. De ambas igualdades obtenemos: AP/PB = AQ/QB.

Demostración:

Se cumple que área(APC)/área(PBC) = AP/PB , ya que las alturas de ambos triángulos coinciden. Si ahora consideramos ambos triángulos apoyados sobre los lados CA y CB, respectivamente, y tenemos en cuenta que en ese caso las alturas son las distancias desde el punto B a las bases y que, por estar B sobre la bisectriz, esas alturas son iguales, tenemos también: área(APC)/área(PBC) = CA/CB. De las dos expresiones anteriores obtenemos: AP/PB = CA/CB. Un razonamiento idéntico aplicado a los triángulos CAQ y CBQ nos convence de: AQ/QB = CA/CB. De ambas igualdades se deduce que: CA/CB = AP/PB = AQ/BQ

Teorema de las bisectrices y cuaterna armónica

En las igualdades anteriores hemos considerado todas las longitudes positivas, que es la forma en la que el teorema interesa cuando se pretende utilizar para resolver problemas geométricos prácticos.

Si consideramos los segmentos orientados, es decir con signo positivo o negativo según la alineación de todos los puntos respecto a uno que se toma como referencia, también se cumple la igualdad AP/PB = AQ/BQ.

Cuando dos puntos P y Q cumplen la igualdad anterior, se dice que P y Q dividen al segmento AB armónicamente o que los cuatro puntos constituyen una cuaterna armónica.(Muchas veces se escribe la igualdad anterior de forma equivalente del siguiente modo: AP/PB = - AQ/QB) .

La cuaterna armónica y la circunferencia de Apolonio serán tratadas en otra página que añadiremos en breve.En cualquier caso lo que queda establecido por el teorema de las bisectrices es que las dos bisectrices de un ángulo (C) de un triángulo determinan sobre la recta que contiene al lado opuesto dos puntos que separan armónicamente a los otros dos vértices (A y B).

Funciones Trigonométricas

En un triángulo rectángulo se define:

sen = a/c cosec = 1/sen

cos = b/c sec=1/cos

tan = a/b = sen/cos cot = 1/tan

Teorema del seno

a/senA = b/senB = c/senC

Demostración:

Según la definición de seno de un ángulo tenemos que:

h=bsenA, y h=asenB

luego bsenA=asenB, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:

a/senA = b/senB

La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo.

Teorema del coseno

En cualquier triángulo se cumple que:

a2 = b2+c2-2·b·c·cosA

Es decir que un lado cualquiera al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.(Este teorema es la generalización del teorema de Pitagoras para triángulos no rectángulos, si A=90º, cos90º=0, se obtiene el teorema de Pitagoras).

Demostración:

Al trazar la altura `h` el triángulo ha quedado dividido en dos triángulos rectángulos. Por el teorema de Pitágoras se tiene que a2=(c-p)2+h2 y h2=b2-p2 . Luego se obtiene a2=(c-p)2+h2=(c-p)2+b2-p2=c2+p2-2pc+b2-p2=c2+b2-2pc y como p=bcosA tenemos el teorema.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.mate.com.mx

http://www.cnice.mecd.es

http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm

http://centros5.pntic.mec.es

http://roble.cnice.mecd.es

"Triángulo (figura)," Enciclopedia Microsoft® Encarta® Online 2004
http://es.encarta.msn.com

http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio

http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm

http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri

http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm

http://es.wikipedia.org

Dibujo técnico. Ingeniería.

Ediciones Campos