Momento de una fuerza

• Objetivo.-

Estudiar la forma funcional que define el momento de una fuerza respecto a un punto y analizar su significado físico.

• Material.-

Dos trípodes, varilla cuadrada de 0.4 m, varilla cuadrada de 0.25 m, nuez doble, nuez giratoria, portapesas de 10 g, cuatro pesas de hendidura de 10 g, pesa de hendidura de 50 g, disco de momentos, bulón con espiga, dos puntos de aplicación de las fuerzas, dinamómetros de 1 N y 2 N, hilo y regla graduada de 0.5 m.

• Introducción Teórica.-

Las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido sobre el que actúa un conjunto de fuerzas fi, en los puntos definidos por los vectores de posición ri, son:

es decir, fuerza neta nula para el equilibrio de traslación y momento neto nulo, respecto a cualquier punto, para el equilibrio de rotación; en total seis ecuaciones escalares.

Si las fuerzas son coplanares y escogemos un plano coordenado en el plano de actuación de las fuerzas, la condición de equilibrio de traslación conlleva dos ecuaciones y la condición de equilibrio de rotación una sola ecuación, dada por la componente neta del momento en la dirección perpendicular a dicho plano.

• Procedimiento Experimental.-

Sobre el disco de momentos ejerceremos dos fuerzas f1 y f2. Para que exista equilibrio de rotación debe verificarse que:

f1r1 = f2r2 sen

A partir de esta expresión podemos comenzar el estudio de los diversos aspectos citados en los objetivos.

Estudio de la dependencia del momento de una fuerza respecto a un punto O, con la distancia entre el punto de aplicación y el punto O:

Se recomiendan los valores constantes siguientes:

f1 = mg = (0.02 g) N

r2 = 0.03 m

 = 30°

La fuerza f1, ejercida mediante el portapesas y las pesas necesarias, debe situarse a las distancias r1 = 3, 6, 9 y 12 cm. Estas variaciones de la distancia provocarán variaciones en la fuerza f2 ya que r2 y  son constantes.

M2= r2 x f2

n	1	2	3	4
r1 (m)	0.03	0.06	0.09	0.12
f2 (N)	0.4	0.8	1.2	1.6	±0'1N
M2 (N·m)	0.012	0.024	0.036	0.048

Calculo del momento de f2 respecto al origen de coordenadas:

Representación gráfica:

Ajuste de la ecuación por mínimos cuadrados:

La ecuación de ajuste va a ser del tipo: y=mx+n.

Para calcular `m' y `n' se utilizan las siguientes ecuaciones:

Donde:

P="xi Q="yi R="xi2 S="xiyi T="yi2

N= número de parejas de valores

Sustituyendo en las fórmulas los datos, obtenemos:

P= 0'3 m.

Q= 0'12 Nm.

R= 0'027 m2.

S= 0'0108 Nm2.

N= 4

T= 0'00432 N2m2.

Ahora sustituimos estos datos en las fórmulas de `m' y `n':

En este caso n= 0, no coincide con el resultado de la ecuación de ajuste obtenida con el ordenador, pero es muy próxima la igualdad ya que el valor de n en la gráfica se aproxima a cero.

Por lo que:

y= 0'4x

La obtención del parámetro m y n nos permite dibujar la recta que mejor reproduce los resultados experimentales; para ello basta dar dos valores de x en la ecuación de la recta ajustada y obtener el valor de la variable independiente.

Para establecer la veracidad del ajuste por mínimos cuadrados, existe un valor numérico, denominado coeficiente de correlación r, que proporciona información sobre la calidad del ajuste por mínimos cuadrados a una recta. Dicho coeficiente se define como:

Sustituyendo los datos que tenemos, obtenemos el valor r:

r=1

Cuanto más cerca esté el valor r de -1 ó 1 tanto mejor será el ajuste.

Los valores de r1 corresponden al vector de posición de la fuerza 1, mientras que los valores M2 corresponden al momento de la fuerza 2.

Estudio de la dependencia del momento de una fuerza respecto a un punto O, con el módulo de la misma:

Se recomiendan los valores constantes siguientes:

r1 = 0.06 m

r2 = 0.06 m

 = 30°

La fuerza f1 variable provocará variaciones de f2, ya que r2 y  son constantes. f1 se ejercerá mediante el portapesas y las pesas necesarias para conseguir los valores de 0.01, 0.03, 0.05, 0.07 y 0.09 kg.

M2= r2 x f2

n	1	2	3	4	5
m1 (kg)	0.01	0.03	0.05	0.07	0.09
f1 (N)	0.098	0.294	0.49	0.686	0.882	±0'1N
f2 (N)	0.2	0.58	0.98	1.37	1.76	±0'1N
M2 (N·m)	0.012	0.035	0.059	0.082	0.106

Calculo del momento de f2 respecto al origen de coordenadas:

Representación gráfica:

Ajuste de la ecuación por mínimos cuadrados:

P="xi Q="yi R="xi2 S="xiyi T="yi2

N= número de parejas de valores

Sustituyendo en las fórmulas los datos, obtenemos:

P= 2'45 N.

Q= 0'294 Nm.

R= 1'585 N2.

S= 0'190 N2m.

N= 5

T= 0'023 N2m2.

Ahora sustituimos estos datos en las fórmulas de `m' y `n':

m= 0'1199 n= 0'0003

Por lo que:

y= 0'1199x+0'0003

Como se puede apreciar en el resultado de 0'9999, el ajuste por mínimos cuadrados es bastante fiable ya que es muy próximo a 1.

En el eje de las `x' se ha representado la fuerza 1, y en el eje de las `y' se ha representado el momento producido por la fuerza 2, M2.

Estudio de la dependencia del momento de una fuerza respecto al ángulo entre la misma y el vector de posición de su punto de aplicación:

Se recomiendan los valores constantes siguientes:

r1 = 0.03 m

r2 = 0.03 m

f2 =1 N

Dado que se quiere variar el ángulo  con valores conocidos, se debe sustituir el portapesas que causaba la fuerza f1 por un dinamómetro, lo que permitirá conseguir una fuerza continuamente variable que equilibrará la variación del momento causado por la

fuerza f2 cuando se varía el ángulo ; es decir, el ángulo formado entre r2 y f2. Los valores recomendados para  son 15°, 30°, 45° y 60°.

M1= r1 x f1

n	1	2	3	4
 (°)	15	30	45	60
sen 	0.258	0.5	0.707	0.866
f1 (N)	0.25	0.5	0.70	0.85	±0'1N
M1 (N·m)	0.007	0.015	0.021	0.025

Calculo del momento de f1 respecto al origen de coordenadas:

Representación gráfica:

Ajuste de la ecuación por mínimos cuadrados:

P="xi Q="yi R="xi2 S="xiyi T="yi2

N= número de parejas de valores

P= 2'331

Q= 0'068 Nm.

R= 1'566

S= 0'046 Nm.

N= 4

T= 0'0013 N2m2.

Ahora sustituimos estos datos en las fórmulas de `m' y `n':

m= 0'0307 n= -0'0009

Por lo que la ecuación de ajuste es:

y= 0'0307x-0'0009

Como se puede apreciar, el resultado de m y n no coincide con el resultado de la gráfica obtenida en el ordenador. Esto es debido a que se ha operado, quizás, con distinto número de decimales y por eso existe esa desigualdad pero con muy poco margen de error.

En este caso también se ha producido un error debido al número de decimales que se han empleado en los cálculos. El número hallado nos indica que la ecuación de ajuste por mínimos cuadrados es fiable porque se aproxima a 1 aunque este caso sea el menos fiable debido al resultado.

En el eje x se ha representado el sen  y en el eje y se ha representado el momento creado por la fuerza 1.