Matemáticas
Funciones
FUNCIONES
La palabra función se usa en matemática con un significado técnico muy preciso y referido a relaciones que se establecen entre fenómenos y situaciones que provienen del mundo real y cotidiano es así que en nuestra vida diaria siempre nos enfrentamos a diversas situaciones matemáticas, que en numerosas ocasiones no nos damos cuenta que la estamos utilizando, como por ejemplo en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, tales como: la cantidad de kilómetros recorridos por un vehículo con el gasto de combustible; la cantidad de lluvia caída en un día determinado; la escala de Richter para medir la magnitud de los sismos; la ingesta de alcohol y sus consecuencias; la cantidad de un determinado artículo y su precio, etc. Todas estas situaciones son “funciones reales”, es decir que sin darte cuenta estás usando la matemática en tu diario vivir.
Ahora vamos a tomar un ejemplo de la vida cotidiana:
“Un alumno necesita sacar 5 fotocopias para un trabajo de investigación, cada fotocopia vale $ 18.¿Cuánto pagó por las fotocopias? 90 pesos
En el mesón de la librería tienen una hoja con los siguientes datos:
| Fotocopias | Precio | Fotocopias | Precio |
| 1 | 18 | 11 | 198 |
| 2 | 36 | 12 | 216 |
| 3 | 54 | 13 | 234 |
| 4 | 72 | 14 | 252 |
| 5 | 90 | 15 | 270 |
| 6 | 108 | 16 | 288 |
| 7 | 126 | 17 | 306 |
| 8 | 144 | 18 | 324 |
| 9 | 162 | 19 | 342 |
| 10 | 180 | 20 | 360 |
Si otra persona necesita sacar 50, 100, 120, etc., fotocopias.
-
¿De qué manera puedes obtener el precio?.
Multiplicando el numero por el valor de las fotocopias correspondientes.
-
¿Puedes encontrar una forma general para calcularlo?. Escríbela.
y=20x
-
¿Podrías representar estos datos en un gráfico?
Lo que acabas de descubrir es una relación muy especial en el ámbito de la matemática, la cual se denomina “FUNCION”. Si te encontraste con algunas dificultades ahora te presento algunos esquemas que te van a ayudar.
Observa los siguientes diagramas sagitales (diagramas de Venn), descubre el por qué sólo alguno de ellos representan una función. Justifica tu respuesta.
C f D
A f B
Si es función
Si es función
E f F
G f H
No es función
No es función
Resp:_El 1° no es funcion porque hay elementos de E que no tienen imagen en F.
El 2° no es funcion porque hay elementos de G que tienen mas de una imagen en H.
Ya has descubierto y entendido “por qué” sólo algunos de los diagramas son funciones.
Te invito que conozcas una definición formal de las funciones.
Una Función es una ley que relaciona una variable x (llamada independiente) con otra variable y (llamada dependiente) de forma unívoca, es decir, que a cada elemento de la primera variable, le corresponde un y sólo un valor de la variable dependiente.
La variable independiente x corresponde al dominio de la función y la variable dependiente al codominio de ella.
Las funciones pueden expresarse de diferentes maneras, mediante una gráfica, una tabla de valores, una frase que exprese la relación entre ambas variables, una expresión matemática de la forma y = f(x), donde y se llama imagen de x y x recibe el nombre de preimagen de y.
A continuación te presentamos algunos gráficos de los cuales sólo algunos de ellos son funciones. Explica por qué crees tu que cumplen la condición.
Si es función
No es función
Si es función
Resp: La 1 a es funcion porque cada elemento de X tiene una sola imagen en Y.
La 2 a los elementos de X tienen mas de una imagen en Y.
En la 3 a ocurre lo mismo que en la 1 a .
Ahora te proponemos algunos ejercicios:
1.- En los siguientes diagramas indica cuáles son funciones, justifica tu respuesta.
f g
A B C D
Resp: El primero no es funcion porque hay un elemento de A que no tiene imagen en B.
EL 2° si es porque cada elemento de C tiene una unica imagen en D.
Las funciones también se pueden escribir en forma de conjunto. De aquel diagrama que sea función completa los datos.
g = {( 1,10) (2,11) (3,7)}, la primera componente del par ordenado corresponde al dominio y la segunda al recorrido, delante del signo igual debes llenar el espacio con la letra correspondiente.
2.- En los siguientes gráficos indica cuáles son funciones, justifica tu respuesta.
a) b)
c)
d)
Resp:
SI porque cada elemento de x tienen una imagen en Y.
No.
No, porque no se cumple ninguna ecuacion.
No, hay valores de X que no tienen ninguna imagen.
Para los gráficos que representan funciones indica cuál es su dominio y recorrido.
3.- ¿Cuáles de las siguientes frases corresponden a funciones? Justifica tu respuesta.
Ser padre de… No, porque un padre puede tener mas de un unico hijo, por lo tanto tendria mas de una imagen.
El cuadrado de un número Si, porque un numero no puede tener mas de un cuadrado.
Los miembros de una familia que sean menores que un abuelo No, porque en la familia pueden haber mas miembros menores que un abuelo.
El sucesor de un número Si, porque cualquier numero siempre va a tener un unico sucesor.
Las frases que enuncian funciones se pueden escribir como una “expresión matemática” por ejemplo:
“El triple de un número”
El número es la variable independiente y lo designamos con la letra x, el triple del número es la variable dependiente que se obtiene al multiplicar por 3 la variable independiente, es decir, la expresión matemática que se ajusta a esta frase es: f(x) = 3x.
4.- Traduce cada frase a una expresión matemática.
Un número aumentado en dos F(X) = X+2
x es menor que y F(X) = X<Y
El antecesor de un número F(X) = X - 1
5.- Como ya haz ejercitado y aprendido a representar funciones, te invitamos a crear situaciones de la vida cotidiana y del ámbito de la matemática que representen funciones, usando para ello:
Tablas de valores
Gráficos
Frases
Expresiones matemáticas
| N° pasajes | Valor $ |
| 1 | $ 4000 |
| 2 | $ 8000 |
| 3 | $ 12000 |
| 4 | $ 16000 |
1.- La boca de una persona.
2.- El n° de un telefono.
3.- El enchufe de un electrodomestico.
1.-Y=2.4X
2.-Y=X+3
3.-Y=5X
FUNCIÓN LINEAL
Una forma poderosa de analizar procesos, situaciones o fenómenos, se logra mediante la asociación de un modelo matemático a la situación analizada. El modelo básico es el lineal, por medio del cual a través de una línea recta se puede agrupar un conjunto de puntos que representan la situación a modelar.
Con frecuencia, se describe una cantidad en términos de otra. En el caso del modelo lineal el crecimiento o decrecimiento de los valores (x, y), puede ser descrito por una línea recta.
En esta unidad nos referiremos al "modelo lineal", comencemos por enunciar algunas situaciones que se pueden modelar haciendo uso de funciones lineales y otras que no.
Un modelo lineal ajustado a datos crecientes
Un modelo lineal ajustado a datos decrecientes
Un caso de datos dispersos, no procede un modelo lineal
Un caso en el que se puede usar un modelo no-lineal.
Aumento de la temperatura de la tierra
En 1896 el científico sueco Svante Arrhenius fue el primero en predecir el efecto invernadero como resultado de las emisiones de dióxido de carbono en el aire por parte de los países industrializados. La quema de combustibles fósiles, la deforestación y las modificaciones en los usos de 1850 a 1986 introdujeron cerca de 312 mil millones de toneladas de carbono a la atmósfera, la mayor parte en forma de dióxido de carbono. La quema de combustibles fósiles continúa produciendo 5,4 mil millones de toneladas de carbono al año, las cuales son absorbidas por la atmósfera y por los océanos. En 1990 el Grupo Internacional sobre el Cambio de Clima (GICC) pronóstico que, de continuar la tendencia actual, aumentará la temperatura promedio global de la Tierra, la tabla muestra el aumento de la temperatura global pronosticada en grados Celsius. (Matemática: Razonamiento y Aplicaciones, Miller y otros, 1999, p. 400)
| Año | Temperatura |
| 1980 | 0.0 |
| 2000 | 0.42 |
| 2020 | 0.84 |
| 2040 | 1.26 |
| 2060 | 1.68 |
| 2080 | 2.10 |
| 2200 | 2.52 |
Al graficar los datos de la tabla uniendo los puntos se obtiene un modelo lineal.
¿Durante cada periodo de 20 años cuánto aumenta la temperatura?
0,5 GRADOS
¿Cuál es la temperatura estimada para el año 2.220?
35 GRADOS MAS
El tabaco y la salud
En Chile, durante la última década, ha fallecido un promedio de mil personas anualmente a causa del tabaco. Es una cantidad muy alta de muertes por solo motivo. Es superior al total de los decesos debidos al consumo de alcohol u otras drogas, a los homicidios, a los suicidios, accidentes de avión, envenenamientos, incendios y ahogados.
Pero, no solo las personas que fuman se hacen daño. Quienes conviven con
ellas sufren diversos síntomas como: tos, infecciones, problemas pulmonares y susceptibles al cáncer. A estas personas se les denomina fumadores involuntarios. (Matemática Aplicada, Riera, 1999, p. 258)
En la siguiente tabla, se aprecian algunos de los resultados de un estudio sobre la relación entre el hábito de fumar y el cáncer del pulmón. La primera fila muestra el número promedio de cigarrillos fumados por día y la segundo presenta la correspondiente tasa de mortalidad por cada 100.000 personas debida al cáncer pulmonar. (Matemática: Razonamiento y Aplicaciones, Miller y otros, 1999, p. 400)
| Cigarrillos/día | Muertes/100.000 |
| 0 | 30 |
| 5 | 132 |
| 15 | 256 |
| 30 | 447 |
| 45 | 606 |
Si se trazan los puntos en el plano cartesiano, se advierte que los datos adoptan una forma lineal. En la gráfica se muestran tanto los puntos de datos como la línea de "mejor ajuste".
Como la relación es lineal, cada cigarrillo adicional por día aumenta, en la misma cantidad, el riesgo de morir de cáncer pulmonar.
Observe que la gráfica no pasa necesariamente por los puntos, es una aproximación, luego podrían existir diferentes soluciones, las que serán más o menos adecuadas de acuerdo al punto que se evalúe.
Variaciones de la pendiente
Mediante preguntas, se puede orientar el pensamiento hacia una generalización. Obtengan puntos que satisfagan la ecuación: y = 2x, ¿qué figura parece? ¿Será el caso para números negativos? ¿Será el caso para los números mayores que los observados?
1) Es conveniente realizar varios ejemplos sobre el mismo gráfico: y = 0,5x, y = 1,5x, y = 2,5x, y = 3x.
Utilizando el programa Graphmatic, graficar distintas situaciones para y = mx, con 
Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente:
Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 1er y 3er cuadrante.
1.2. Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo agudo con el eje x, tendiendo a 90°.
1.3. Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo agudo con el eje X, tendiendo a cero hasta confundirse con éste.
1.4. El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.
2) Al igual que el ejemplo anterior es conveniente realizar varios ejemplos sobre el mismo gráfico: y = -1x, y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x. Utilizando el programa excel, graficar distintas situaciones para y = mx, con 
.
Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente:
2.1. Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 2do y 4to cuadrante.
2.2. Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo obtuso con el eje x, tendiendo a 180°.
2.3. Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo obtuso con el eje X, tendiendo a 90° hasta confundirse con el eje Y.
2.4. El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.
Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx, denominada función lineal.
Propiedades de la función lineal
FUNCIÓN AFÍN
El modelo lineal de la forma y = mx representa situaciones en que la variable dependiente es directamente proporcional a la variable independiente, y en su forma gráfica los puntos aparecen siempre alineados y están sobre una recta que contiene al origen de coordenadas. En esta oportunidad se estudiará la función afín, sus propiedades, grafica y aplicaciones a situaciones concretas. Este tipo de función tiene la cualidad que el origen del sistema (0,0), no satisface las representaciones de las distintas situaciones, y en forma gráfica posee un desplazamiento o traslación en sentido vertical u horizontal al origen del sistema de coordenadas.
A continuación se muestran distintas situaciones que poseen un modelo de una función afín.
Situación 1: Las ventajas en la juguetería
En el comercio los dueños de las tiendas contratan a personal para que puedan ayudar en las ventas que se realizan a diario. En este rubro las ganancias son el reflejo de las ventas que son realizadas por las tiendas, por este motivo el personal que se contrata tiene un sueldo base mensual, que por lo general bordea al mínimo permitido por la ley más un cierto porcentaje de las ventas que cada vendedor realice. Un vendedor de la tienda infantil "El Monito Regalón" tiene un sueldo base de $85.000 mensuales más el 10% de sus ventas realizadas durante el mes. ¿Cuánto es la que logra ganar durante un año de trabajo?
Las ventas realizadas por el vendedor estarían representadas por:
Representando en forma gráfica las ventas realizadas por el vendedor de la tienda se obtiene. 
Observación:
a. La recta que contiene los puntos obtenidos en la tabla de valores, intersecta al eje Y en el punto (0, 85000).
b. La recta forma un ángulo agudo con respecto al eje X.
c. La recta no pasa por el origen, punto (0, 0).
El modelo algebraico de la situación del vendedor esta representado por:
y = 0,1x + 85.000
Donde,
x: monto de las ventas semanales.
y: sueldo semanal.
¿Cuál es el dominio de la situación? LAS VENTAS
¿Cuál es el recorrido de la situación? EL SUELDO
Situación 2: Cosas de taxis
Los taxis básicos, son los vehículos cuya función es atender viajes en los cuales su origen y destino es determinado por los pasajeros que lo utilizan, pudiendo contar con paraderos y/o apoyo de sistemas de radio-comunicación o telefónicos.
Para realizar los viajes, el vehículo utilizado como taxi básico debe contar con taxímetro. El taxímetro deberá señalar el costo de la carrera en cualquier momento, de día y de noche, en forma claramente observable por el pasajero. El vehículo debe indicar en el parabrisas el valor de los primeros metros recorrido. Además indicar la tarifa por cada 200 metros y por cada 60 segundos de espera.
Los vehículos que cuenten con taxímetros con boleto deben señalarlo mediante un letrero. Si su valor es variable, la tarifa para cada tramo debe indicarse al interior del vehículo. En este tipo de servicio no existen tarifas mínimas, salvo la señalada en el parabrisas como "caída de bandera".
Un taxi tiene una caída de bandera de $150 y $ 70 por cada 200 metros. Otro tiene una caída de $200 y $60 por cada 200 metros. ¿Cuál de los taxis conviene para una carretera de 2 km?, ¿Cuál para una de 7 km? En general, en qué caso y a partir de qué distancia, ¿un taxi es más conveniente que el otro?
Como primer paso, confeccionar una tabla de valores que nos muestre el tarifado en cada empresa de taxis.
Taxi A
Taxi B
Comparamos los valores obtenidos, en forma gráfica, mediante un plano cartesiano. 
En la gráfica podemos ver que exactamente para 1 km, da igual cualquiera de los dos taxis.
Para una distancia inferior a 1 km conviene el taxi A, por tener un costo menor, pero después de 1 km el taxi B tiene un costo menor.
Podemos modelar la solución algebraica para el tarifado (y) en función de la distancia recorrida (x).
Taxi A: y = 70x + 150
Taxi B: y = 60x + 200
x: cantidad de veces que se recorren 200 m.
y: tarifa a cancelar.
¿Cuál es el dominio de la situación? LA DISTANCIA
¿Cuál es el recorrido de la situación? EL DINERO
Propiedades de la función afín
| El valor de m, que determina la orientación de la recta en la función lineal y afín, recibe el nombre de pendiente de la recta. Algebraicamente se puede escribir |
Conclusión
Las situaciones planteadas en estos ejercicios se pueden modelar con una ecuación de la forma y = mx + n, con m y n distintos de cero 
, en la cual y esta en función de x que denotamos y = f(x), además, de no ser rectas paralelas a uno de los ejes coordenados y que no pasa por el origen, reciben el nombre de Función Afín.
FUNCION PARTE ENTERA
En nuestra vida diaria nos vemos enfrentados a diversas situaciones referidas a las funciones, no tan sólo a la función lineal estudiada anteriormente, sino que también a otros modelos que surge de aplicar la función afín, la cual nos ayuda a representar y estudiar situaciones en las que los valores de la variable dependiente son “escalonados”.
Por ejemplo : Enviar una encomienda por correo postal u otro servicio similar tiene un costo que depende del peso. Peso y costo están relacionados como se muestra en la tabla siguiente:
| Intervalo Peso (gramos) | Costo en pesos $ |
| [0, 200[ | 450 |
| [200, 500[ | 750 |
| [500, 700[ | 950 |
| [700, 1000[ | 1250 |
| [1000, 1200[ | 1450 |
Estos datos los podemos llevar a una gráfica con ejes convenientemente graduados, donde la variable x corresponde al intervalo que representa el peso (en gramos) de una encomienda y la variable y corresponde al valor del costo a cancelar.
Este gráfico se denomina “función escalón”
La función escalón es muy importante en matemática aplicada y también se conoce como “función parte entera” que se asigna a cada real x el mayor entero que sea “menor o igual a” x.
Por ejemplo:
[41] = 41; [2,84] = 2; [0.86] = 0; [-1,87] = -2
Definición:
Para todo número real x, ser puede encontrar un número entero n, tal que cumple con las siguientes propiedades:
- Que el número x esté entre n y n + 1
-
Si n
x < n + 1
[x] = n.
En otras palabras, la parte entera de un número es el entero más cercano al número.
A la función y(x) = [x], se le llama función parte entera.
Ejemplos:
Grafiquemos la función y = [x]
Para ello confeccionemos una tabla de doble entrada, y además deberás completar los datos que falten:
| x | y = [x] |
| 2,5 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1,7 | 1 |
| 1,5 | 1 |
| 0,7 | |
| 0 | |
| -0,2 | -1 |
| -0,9 | -1 |
| -1,3 | |
| -1,8 |
Su representación gráfica es la que ves al lado de la tabla, ten en cuenta que sólo están ubicados los valores entregados en la tabla, por lo tanto tú deberás completarla.
El dominio de la función parte entera, es el conjunto de los números reales, y el recorrido, es el conjunto de los números .
Esta función también es posible graficarla utilizando el programa GRAPHMATICA, el cual te enseñaremos a utilizar a continuación:
Lo primero que debes hacer es escribir el modelo algebraico asociado a la situación, pero, ten en cuenta que el programa no reconoce la diferencia entre los diferentes tipos de paréntesis, por lo tanto si quieres escribir una función parte entera debes reemplazar el paréntesis corchete [ ] por la palabra int. Además en Ver puedes limpiar la pantalla, elegir el papel gráfico y los colores, las otras opciones que tiene el graficador debes ir descubriéndolas a medida que vayas trabajando con él.
Luego, para graficar debes escribir la función y = [x] como y = int(x), con esta gráfica puedes verificar que lo que hiciste es correcto.
ACTIVIDAD.
A continuación te presentamos otra situación de la vida diaria en la cual debes ir completando los datos que faltan.
A Pablito en su cumpleaños, le regalaron una mascota (un perrito). Los papás de Pablito preocupados de la salud de su hijo decidieron llevar al perrito al veterinario quién le recetó un antiparasitario interno llamado Invermic, cuya cantidad de medicamento a administrar es de 6 gotitas por cada kilo de peso del perro, el cual debe administrarse cada 15 ó 20 días.
Con este dato es posible crear una tabla de valores para los diferentes pesos de perros y la cantidad de gotas a administrar.
| Peso en gramos | Gotas por Kilo. |
| 1.000 | 6 |
| 1.500 | 6 |
| 2.000 | 12 |
| 2.300 | 12 |
| 3.000 | 18 |
| 3.400 | 18 |
| 4.000 | 24 |
| 4.250 | 24 |
Donde x: corresponde a la variable peso en gramos y: corresponde a la variable de las gotas por kilo
Con esta tabla de datos construye el gráfico correspondiente
El modelo algebraico asociado a esta situación es: y = [ x ]
Utiliza el graficador Graphmatica para que verifiques si tú gráfica es correcta.
ACTIVIDADES
1.- Calcula la suma de 
104/4
2.- Dadas las siguientes situaciones construye una tabla de valores y su gráfica correspondiente.
a.- Una tienda de ropa para bebé tiene el siguiente detalle:
Tabla de tallas
-
recién nacido
-
hasta 3 meses
-
hasta 6 meses
-
hasta 12 meses
-
hasta 18 meses
-
2 años en adelante
| TALLA | EDAD |
| 0 | RECIEN NACIDO |
| 1 | HASTA 3 MESES |
| 2 | HASTA 6 MESES |
| 3 | HASTA 12 MESES |
| 4 | HASTA 18 MESES |
| 5 | 2 AÑOS EN ADELANTE |
b.- Una tienda de ropa ofrece una liquidación de jeans de colegio:
Talla 36 a la 40 a $ 14500; de la talla 42 a la 46 a $ 16200; de la talla 48 a la 50 a $16800 y
de la talla 52 en adelante $19600.
| TALLA | PRECIO $ |
| 36 A 40 | 14500 |
| 42 A 46 | 16200 |
| 48 A 50 | 16800 |
| 52 en adelante | 19600 |
c.- Un “Cibercafé” ofrece para navegar en internet a $800 la hora o fracción de ella. Calcula el valor
a pagar en 1 hora; 1:30 horas; 2 horas; 2:45 horas; 3:10 horas; 3:25 horas; y 3:50 horas,
además encuentra el modelo algebraico asociado a la función y utiliza el programa Graphmatica
para verificar tu gráfica.
| HORAS | TARIFA $ |
| 1 | 800 |
| 1.30 | 1600 |
| 2 | 1600 |
| 2.45 | 2400 |
| 3.10 | 3200 |
| 3.25 | 3200 |
| 3.50 | 3200 |
d.- Una empresa ofrece arriendo de diferentes tipos de maquinaria. Una persona necesita arrendar
una máquina cortadora de pasto, la cual tiene las siguientes condiciones:
entre 0 y 2 días debe pagar $ 5000; entre 2 y 4 días debe pagar $ 10000; entre 4 y 6 días debe
pagar $ 15000; entre 6 a 8 días debe pagar $ 20000, encuentra el modelo algebraico asociado
y utiliza el programa Graphmatica para verificar tu gráfica.
1
3
5
2
4
6
8
A
B
C
X
Y
Z
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
23
1
2
3
7
8
9
10
11
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