Matemáticas
Funciones hiperbólicas
La primera persona que publico un estudio inteligible sobre las funciones Hiperbólicas fue Johann Heinrich Lambert (1728-1777), un matemático suizo-germano y colega de Euler.
El nombre de función hiperbólica, surgió de comparar el área de una región semicircular, con el área de una región limitada por una hipérbola. En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente.
En las ecuaciones hiperbólicas , se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:
La función f: [R
Considerando las definiciones de cada una de las funciones hiperbólicas, se puede mencionar algunas propiedades tales como:
senh(x) = 0 ! x = 0, cosh(x) = 1 ! x
son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen, las funciones:
f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x
Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y, las funciones:
f(x) = cosh x; f(x) = sech x
De las definiciones se seno hiperbólico y coseno hiperbólico los valores de estas funciones están relacionados a las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera, de manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones trigonométricas están relacionadas a las coordenadas de los puntos de una circunferencia.
Identidades hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funciones trigonométricas. Por ejemplo.
Cosh² x - senh²x =
Esta y otras identidades, son las que a continuación se presenta, dejando al lector la verificación de las mismas.
cosh²x - senh²x = 1
sech²x + tgh²x = 1
cotgh²x - cosch²x = 1
senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y
cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y
tgh (x ± y) =
senh (2x) = 2 senh x cosh x
cosh (2x) = cosh²h + senh²x
senh a + senh b = 2 senh
cosh a + cosh b = 2 cosh
2senh² = cosh x - 1
2cosh² = cosh x + 1
(senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Fórmula de Moivre)
Derivadas de las funciones hiperbólicas
Las fórmulas de derivación para las funciones hiperbólciicas se deducen fácilmente aplicando las reglas de derivación de la función exponencial ex.
Así por ejemplo
Las derivadas de las funciones hiperbólicas lo resumimos en la siguiente proposición, dejando al lector la verificación correspondiente.
Proposición 1.- Las funciones hiperbólicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:
Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh x
Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh x
Si f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sech²x
Si f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = - cosch²x
Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = - sech x tgh x
Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = - cosch x cotgh x
En virtud de esta proposición y de la regla de la cadena, si u = u(x) es función diferenciable (respecto a la variable x) se obtiene el siguiente corolario:
Corolario 1.- Si u = u(x) es diferenciable, entonces:
Dx (senh u) = cosh u. Dx(u)
Dx (cosh u) = senh u. Dx(u)
Dx (tgh u) = sech² u. Dx(u)
Dx (cotgh u) = - cosch² u. Dx(u)
Dx (sech u) = sech u. Tgh u. Dx(u)
Dx (cosch u) = - cosch u. cotgh u. Dx(u)
Corolario 2.- (LIMITES HIPERBÓLICOS)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Integración de funciones hiperbólicas
La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas.
Deben recordarse las siguientes fórmulas principales:
;
EJEMPLO 1. Hallar:
SOLUCIÓN. Tenemos:
EJEMPLO 2. Hallar:
SOLUCIÓN. Tenemos:
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