La unidad didáctica que vamos a exponer a continuación está planificada para alumnos de 3º de enseñanza obligatoria. En ella trataremos el estudio de las funciones. Esta unidad será la concreción escrita del desarrollo elegido para el tema de funciones, y guiará la actuación del profesor en la metodología de la enseñanza y ayudará a favorecer el proceso de aprendizaje de los alumnos.

No es posible el estudio de unos conceptos sin tener adquiridos los conceptos anteriores que sirven de base. Nuestros alumnos de 3º ya tuvieron contacto con las funciones en el curso anterior, aunque sólo fue de forma elemental. En esta unidad comprobaremos los conocimientos elementales que poseen los alumnos sobre funciones, para posteriormente introducir características más amplias acerca de ellas.

En la vida cotidiana nos encontramos frecuentemente con magnitudes relacionadas entre sí. Las diferentes situaciones en las que un factor o causa es preponderante frente a otras respecto de un efecto se pueden describir, al menos de modo simplificado, mediante el concepto de función. En el mundo actual, y especialmente en los medios de comunicación, la mayor parte de la información acerca de los fenómenos de cambio, bien sean los de carácter económico, deportivo, meteorológico e incluso político, se difunde por medio de tablas y de gráficas, que son dos de las formas de expresar una relación funcional.

En esta tercera etapa de la andadura por la ESO un objetivo fundamental debería ser el de capacitar a los alumnos de estas edades para el tratamiento correcto de la información, y en particular aquella relacionada con el concepto de función.

La comprensión por parte del alumno de cómo se relacionan dos variables entre sí mediante una dependencia funcional expuesta tanto en gráficas como en tablas, ayudará al alumno a comprender conceptos y procedimientos para la interpretación de fenómenos que se presentarán en la vida cotidiana. A su vez, genera actitudes, generalmente positivas hacia el razonamiento matemático de carácter más técnico.

Además, potenciamos los siguientes aspectos:

• Desarrollo de habilidades de dibujo y concepción espacial.

• Consolida ideas previas acertadas y rechaza las erróneas.

• Fomenta la capacidad de solucionar problemas.

• Posibilita tareas de opinión en el aula.

• Se estimula en trabajo en grupo.

• RELACIÓN DEL TEMA CON EL CURRICULO DE LA E.S.O.

En el proyecto curricular de centro se concretan y contextualizar las prescripciones de la Administración, teniendo en cuenta las peculiaridades y el entorno social de cada centro. Los componentes básicos del currículo de matemáticas (objetivos, contenidos, metodología y evaluación) están siempre relacionados entre sí y dependen del grado de concreción en que se trabaja. Desde el punto de vista de la práctica en un centro docente, aparecen en la secuenciación, organización de los conocimientos y en las actividades del aula.

No se puede olvidar que estos tres apartados se realizan en el centro docente, por tanto interesa pensar acerca de su integración en el Proyecto Curricular del Centro. Para lograr los objetivos del Proyecto Curricular, hay que tratar de realizar un diagnóstico inicial y una puesta en situación de los alumnos, es decir, ver cuales son las ideas previas que poseen los alumnos sobre el tema de las funciones. Para ello, se les proporcionará a los alumnos, antes de iniciar la explicación del tema, un cuestionario que contenga una serie de actividades que permitan realizar un diagnóstico inicial.

En la Enseñanza obligatoria se debe introducir inicialmente el concepto de función de una variable de modo intuitivo para profundizar en la etapa post-obligatoria de dicha enseñanza en el concepto abstracto de función e incluso para estudiar funciones de más de una variable. Los contenidos de este tema impregnan los currículos de todas las etapas y ciclos de la Enseñanza Obligatoria y Post-obligatoria.

En la ESO se aborda el tema de las Funciones desde una perspectiva fundamentalmente gráfica en los tres primeros cursos hasta que en el 4º curso se estudien, con el mínimo cálculo que se considere imprescindible, las caracterizaciones de funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa en situaciones reales y académicas elementales..

Entre los once objetivos generales del bachillerato, enunciados en el Decreto 126/1994, de 7 de Junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes al bachillerato en Andalucía, encontramos las siguientes:

• Comprender los elementos fundamentales de investigación y del método científico, utilizándolos con cierto rigor en el estudio de los objetivos de conocimiento específicos de las diferentes disciplinas [...]

• Dominar los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y las habilidades básicas propias de la modalidad escogida [...]

El sistema educativo se encarga de dotar de significado a estos enunciados, dándoles contenidos y planificando actividades dirigidas intencionadamente a facilitar el aprendizaje. Concretamente, el Anexo II del mencionado Decreto, en lo referente al área de Matemáticas, enuncia que las matemáticas constituyen un conjunto de conocimientos que resuelven determinados problemas prácticos y poseen la capacidad de explicar, predecir, modelizar y dar rigor a los conocimientos científicos. Las Matemáticas contribuyen a la mejora de estructuras mentales y a la adquisición de actitudes cuya utilidad y alcance transcienden el ámbito de las propias matemáticas.

La Enseñanza Secundaria es el momento académico adecuado para conocer nuevas herramientas matemáticas, ni muchas ni muy sofisticadas, pero que sí son precisas para el aprendizaje científico y que el alumnado necesita tanto para esta etapa educativa como para posteriores estudios técnicos o científicos.

Las matemáticas relacionadas con este tema ayudarán a los alumnos a tomar decisiones sobre las condiciones en que se puede conducir con responsabilidad para proteger, en primer lugar, la vida y , a largo plazo, la salud. La parte gráfica de las funciones ayuda a analizar con un solo golpe de vista el incremento y la disminución de la tasa de alcoholemia con el paso del tiempo. Las expresiones analíticas permitirán generalizar situaciones concretas para cualquier circunstancia. Los temas transversales serían la Educación para la salud y la Educación vial.

La gran cantidad de contenidos de este tema requerirá una temporalización de diez sesiones, aunque dependerá de la evolución de los alumnos. Es aconsejable temporizar adecuadamente los contenidos, no pasando de uno a otro hasta no haber logrado una comprensión suficiente por parte del alumno.

3 OBJETIVOS

Los objetivos del proceso educativo son las metas que guían el proceso educativo y hacia las cuales hay que orientar la marcha de dicho proceso. Los objetivos vienen enunciados en términos de las capacidades que se pretenden desarrollar en los alumnos. Como con la educación pretendemos favorecer un desarrollo completo de la persona así como su integración en un determinado contexto sociocultural, los objetivos educativos no son exclusivamente de carácter intelectual. En la práctica concreta del proceso educativo hay que perseguir todos los objetivos que se recoja en el proyecto curricular del centro donde se imparten las enseñanzas.

Éstos recogerán desarrollos de capacidades de los siguientes tipos:

• de actuación social

• de integración social

• de equilibrio personal

• de equilibrio afectivo

• intelectuales o cognitivas

En la unidad didáctica concreta que abordamos, los objetivos cognitivos que se persiguen son:

• Incorporar al lenguaje y modos de comunicación habituales las funciones en sus maneras de expresión gráfica o analítica, con el objetivo de poder interpretar y emitir información de manera precisa, rigurosa y completa.

• Identificar los elementos matemáticos correspondientes a las gráficas que aparecen en la prensa, publicidad, etc.., desde un análisis crítico, de cara a mejorar la comprensión de los mensajes implícitos.

• Analizar e interpretar gráficas. Descubrir en ellas los aspectos más importantes de cara a su descripción: máximos y mínimos, continuidad y discontinuidad, periodicidad.

• Reconocer la expresión analítica de una función, como una forma precisa y cómoda de describir y transmitir informaciones.

• Expresar la información de una gráfica mediante una ecuación y “visualizar” mediante la representación gráfica la información que contiene una ecuación.

• Utilizar, cuando se estime conveniente, las calculadoras de gráficos y los ordenadores para “tratar” información de manera gráfica y analítica.

4 CONTENIDOS

Los contenidos analizan qué enseñar en cada unidad didáctica para alcanzar los objetivos propuestos. Los contenidos se dividen en tres grupos:

Conceptuales: Recogen conceptos, hechos y principios: esto es, entes, relaciones, sucesos, símbolos, etc..

• Gráficas como representación de relaciones entre variables.

• Función. Concepto de variable dependiente y variable independiente.

• Función creciente y decreciente.

• Dominio de definición y recorrido de una función.

• Expresión analítica de una función.

• Función continua y discontinua.

• Tendencias y periodicidad de una función.

• Estudio conjunto de varias funciones.

• Conceptos básicos relacionados con funciones.

Procedimentales: Recogen procedimientos de actuación: esto es, las acciones destinadas a obtener un fin.

• Reconocer o construir la gráfica correspondiente a un texto, a una tabla, a una nube de puntos o a un dibujo.

• Resolver problemas determinando la ecuación de la función correspondiente, reconociendo la variable dependiente e independiente y representando la gráfica de esa función.

• Expresar una función en lenguaje ordinario, numérico, gráfico y algebraico pasando de unos a otros.

• Distinguir si una gráfica es o una función.

• Obtener a partir de una gráfica sus intervalos de crecimiento y sus máximos y mínimos, determinando si corresponde a una función continua.

• Interpretar gráficas representadas sobre los mismos ejes.

actitudinales: Recogen las tendencias de conducta deseables en el proceso educativo.

• Interés y cuidado a la hora de interpretar las gráficas.

• Valorar la importancia de las gráficas para estudiar diversas situaciones de la vida cotidiana.

• Reconocimiento y valoración de la expresión analítica de una gráfica por la brevedad para dar una función mediante ella, y por la precisión con que se pueden dar los valores de la función a partir de los valores de la variable independiente.

• Valoración de la incidencia positiva de los nuevos medios tecnológicos, como las calculadoras gráficas y los ordenadores, para la representación y estudio de funciones.

• Sensibilidad, comprensión y respeto hacia la propia vida y hacia la de los demás.

• METODOLOGIA

En el desarrollo concreto de esta unidad, las decisiones referidas a cómo enseñar no vienen prefijadas en los decretos y en las órdenes que regulan el sistema educativo. Si hay, sin embargo, unas prescripciones científicamente estudiadas para optimizar el proceso de enseñanza-aprendizaje. La base fundamental del proceso ha de ser el aprendizaje significativo, donde el alumno es el motor de su propio aprendizaje partiendo de su nivel cognitivo y de sus capacidades, siendo guiado por el profesor que aporta también sus conocimientos y experiencias. Desde este punto de vista, los errores que comete el alumnado son un punto de referencia obligado para el profesor, que debe analizar su significado y diseñar en consecuencia actividades que permitan al alumno transformar su esquema intelectual en otro más adecuado.

En la clase de matemáticas se considera que la resolución de problemas es el instrumento metodológico fundamental. Problemas que han de ser variados: de carácter académico, contextualizados, próximos al alumno, funcionales, etc.. Es importante la reflexión sobre la forma de resolver cada problema; el alumno debe llegar a ser consciente de qué estrategia está utilizando en un momento dado, sin que esta reflexión llegue a convertirse en un tratamiento sistemático de las distintas estrategias. Asimismo, el conocimiento de estrategias ideadas y utilizadas por sus compañeros enriquece esta reflexión.

La densidad del temario de la E.S.O., en la práctica, hace que típicamente abunden las metodologías expositivas en el aula; se avanza más rápido, pero con el riesgo de que los alumnos no asimilen los contenidos. Por esto, para la introducción de los conceptos más elementales, se recomienda el desarrollo de metodologías de investigación o basadas en la resolución de problemas por parte del alumno, individualmente o en grupo, para posteriores concreciones y formalizaciones por parte del profesor.

Se realizarán actividades adecuadas en cada momento a los contenidos propuestos, alternando la introducción de conceptos con los procedimientos asociados. Por ejemplo, a partir de una gráfica sacada de la prensa sobre la evolución del euro respecto del dólar a lo largo de un cierto período de tiempo, abordar conceptos como los de gráfica de una función, dominio, recorrido y monotonía; la introducción del concepto de función puede hacerse a partir de fenómenos conocidos por los alumnos, sin necesidad de abordarlas desde una perspectiva estrictamente teórica y academicista, por ejemplo, el movimiento de un péndulo puede presentar de modo intuitivo el concepto de función periódica, el aumento del área de un cuadrado con el lado de función periódica, etc..

El agrupamiento del grupo dependerá del grupo concreto, pero se analizará para cada actividad el interés que pueda conllevar su desarrollo individualmente, en grupos ( y su tamaño ) o del curso completo.

Para conseguir una asimilación real de los conocimientos por parte de cada alumno, los aprendizajes deben ser significativos, es decir, cercanos a sus experiencias, y referentes, potencialmente motivadores y realmente funcionales. Deben, asimismo, implicar una memorización comprensiva: los aprendizajes deben integrarse en un amplio conjunto de relaciones conceptuales y lógicos del propio individuo, modificando sus esquemas de conocimiento.

Teniendo en cuenta el proceso de aprendizaje intentaremos utilizar una metodología experimental que lleve al alumno desde la intuición hasta la descripción, definición y dominio de un concepto. En el desarrollo de una metodología experimental cabe distinguir las siguientes pautas generales:

1.- Partir de problemas.

2.- Contar con las concepciones de los alumnos.

3.- Trabajar con nuevas informaciones.

4.- Elaborar conclusiones.

Estas pautas responden a las fases del proceso de enseñanza-aprendizaje:

En cuanto a la organización de los grupos de clase, el papel del profesor será el de llevar a cabo una dirección del aprendizaje, es decir, desarrollar y encaminar a los alumnos hacia los objetivos marcados mediante explicaciones, preguntas y trabajos propuestos a los alumnos, sin convertirse nunca en protagonista absoluto del saber.

El trabajo de los alumnos debe realizarse prioritariamente en grupo, tanto en lo que se refiere a la experimentación como a la comunicación y explicación de los conceptos, y de los resultados obtenidos. Finalmente se hará una puesta en común donde cada grupo defenderá y expondrá sus respuestas sobre la actividad. En este momento el profesor debe ser un moderador y recopilador de las conclusiones. De esta manera se intenta fomentar el trabajo en equipo, para el desarrollo personal dentro del grupo.

El objetivo metodológico es que el alumno, gracias al desarrollo de las actividades, cree su propio esquema mental sobre funciones y gráficas, es decir, el alumno empuje su aprendizaje motivándose por las barreras o actividades ejecutadas con éxito.

El material didáctico adecuadamente empleado en tiempo y forma facilita el desarrollo y comprensión de la unidad. Llevaremos a cabo un análisis de los contenidos de las actividades, para que el alumno saque conclusiones, que le hagan encontrar un sentido aplicable, asegurándose el proceso de aprendizaje. A los alumnos que superen los objetivos establecidos se les reforzará su aprendizaje mediante actividades de ampliación.

!!!!A continuación abarcaremos el tema de la evaluación, aunque lo ubicaremos más adelante

EVALUACIÓN

La evaluación es el área del currículo que más condiciona al resto. La metodología empleada está supeditada por el concepto de evaluación que tengamos. La filosofía del proyecto que se tiene, la teoría del aprendizaje que lo sustenta, etc.. deben aparecer en la evaluación. La coherencia de un proyecto se detecta, en primer lugar, en la evaluación y cualquier incoherencia es detectada y rechazada por los alumnos.

Hay que destacar que la evaluación no coincide con el tradicional concepto de calificación del alumno. Es algo más, que no tiene como única meta enjuiciar al alumno, sino que sitúa su centro de gravedad en el proceso de enseñanza-aprendizaje en su conjunto. La evaluación se entiende como la emisión de juicios del proceso educativo y la toma de decisiones por parte del profesor ante su evolución . La evaluación afecta tanto a los procesos de aprendizaje de los alumnos como a los de enseñanza del profesor.

Los criterios de evaluación los enfocaremos desde un punto general y uno particular para la unidad.

Los generales van a ser del tipo siguiente:

• Interés del alumno por el trabajo en clase.

• Contraste y debate de sus opiniones con la de los demás.

• Regularidad en la realización del trabajo propuesto.

• Manejo de la información y puesta en práctica de destrezas y estrategias de resolución de problemas, según los procedimientos introducidos en clase.

• Expresión de manera clara y concisa de la nueva información, relacionándola con lo ya trabajado en clase y con sus propias experiencias.

Los criterios particulares de evaluación para la unidad didáctica son:

• Utilización de las relaciones funcionales para expresar fenómenos de la vida real.

• Manejo de funciones para interpretar y emitir información de manera precisa, rigurosa y completa.

• Utilización de gráficas para obtener y comunicar información sobre situaciones y fenómenos en los que intervengan variables que sean familiares y relaciones que resulten conocidas.

• Realización de análisis críticos para comprender mejor los mensajes implícitos a partir de gráficas.

• Interpretación de las gráficas para averiguar aspectos importantes de ellas, como máximos, mínimos, etc...

• Dibujo de gráficas conociendo de ellas sus puntos singulares.

• Utilización de la expresión analítica de una función para describir y transmitir informaciones.

• Uso de la calculadora de gráficos cuando sea conveniente a la hora de interpretar información dada a partir de gráficos y expresiones analíticas de funciones.

• Manejo del ordenador si es conveniente para dibujar funciones y para obtener expresiones analíticas de gráficos de funciones.

Existen, dentro de la unidad didáctica, distintos momentos para el proceso evaluador:

Se tendrá en todo caso en cuenta la singularidad del individuo: nociones previas, interés, laboriosidad, capacidades propias, etc...

Instrumentos de evaluación

A través de la observación estructurada y periódica, el profesor puede obtener datos de comportamientos, actitudes, conocimientos, destrezas, etc..

Cuando tratamos de evaluar contenidos, la prueba objetiva puede ser de una gran ayuda junto con las anteriores. Es necesario considerar la prueba objetiva por el valor que tiene, pero sin olvidar que no debe ser la única fuente de información y que debe ser elaborada con el máximo rigor posible. Hay que tratar de orientarla no sólo a medir cantidad de información memorizada, sino también procesos de aprendizaje desarrollados por el alumno. Debe ser adecuada a la metodología empleada. La evaluación también debe contemplar un equilibrio entre comprensión, memoria, rutina y opinión.

Según la Orden de 1 de Febrero de 1993 sobre Evaluación den Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía, el modelo de evaluación debe tener un carácter formativo, continuo e integrador.

El carácter formativo hará que la evaluación proporcione una información relevante y válida que ayude a mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje, porque aportará información sobre cómo va aprendiendo el alumno, dónde surgen las dificultades y qué estrategias de enseñanza resultan más adecuadas para superarlas.

El carácter integrador se refiere a la necesidad de valorar globalmente las capacidades desarrolladas por el alumno y en qué medida esto contribuye a su formación como persona capaz de integrarse y actuar activamente en la sociedad de la que forma parte.

El carácter continuo conseguirá que la evaluación se extienda a todo el proceso de enseñanza-aprendizaje en el sentido temporal, es decir, a lo largo del proceso, y no sólo en determinados momentos o al final del mismo.

MATERIALES CURRICULARES Y RECURSOS DIDÁCTICOS.

El profesor actual no puede seguir apoyándose únicamente en los medios tradicionales como la pizarra, papel, libros de texto, etc. Debe tener en cuenta la amplia gama de nuevas alternativas que permiten organizar el trabajo en el aula:

• En una primera fase de realización donde los cálculos se realizasen sin ninguna ayuda material externa.

• Una segunda, en las actividades de desarrollo, en las que permitiésemos la calculadora científica, el papel milimetrado, la regla y los lápices de colores, con objeto de acelerar los cálculos y centrarnos más en los procedimientos para abordar objetos de estudio y la elaboración de conclusiones.

• Una tercera y última fase en la que, aplicando la técnica de trabajo en grupo, se hiciese un uso compartido de la calculadora gráfica y del ordenador, más concretamente en alguna hoja de cálculo, bajo sistema operativo windows, con objeto de centrarnos, aún más si cabe, en la variedad de representaciones gráficas así como la valoración de la información obtenida por cada una de ellas.

SECUENCIACIÓN DE ACTIVIDADES

Las actividades condensan los principales elementos del proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que constituyen el nexo que pone en contacto los contenidos de la enseñanza y aprendizaje con los resultados de estos dos últimos.
Planificar la tarea se refiere al conjunto coherente de actividades que conducen a un resultado final que se puede observar y medir.

En la planificación de tareas habrá que determinar la tarea que los alumnos han de realizar, fijar las actividades componentes de la tarea y Secuenciar las actividades (fijar su progresión de la más sencilla a la más compleja).En una tarea es posible identificar una serie de elementos básicos:
-Finalidad o producto que se espera obtener con la tarea.

-Operaciones que deben realizarse.
-Recursos que se utilizarán.
-Condiciones organizativas de trabajo.
-Dificultades que deberán superarse.
-Tipos de agrupamientos en los diferentes momentos.

En condiciones iguales, una actividad es preferible a otra si:

-Permite a los alumnos tomar decisiones razonables respecto a cómo desarrollarla y ver las consecuencias de su elección.

-Atribuye al alumno un papel activo en su realización.
-Si exige al alumno una investigación de ideas, procesos intelectuales, sucesos... de orden personal o social y le estimula a comprometerse en la misma.
-Obliga a interactuar con la realidad.

-Puede ser realizada por alumnos de diversos niveles de capacidad y con intereses diferentes.

-Obliga a examinar en un contexto nuevo una idea, concepto... que ya conoce.

9.Obliga a reconsiderar y revisar sus esfuerzos iniciales.

10.Obliga a aplicar y dominar reglas significativas, normas o disciplinas.

11.Ofrece al alumno la posibilidad de planificar con otros, participar en su desarrollo y comparar los resultados obtenidos.
12.Resulta relevante para los propósitos e intereses explícitos de los alumnos.

Al elaborar las actividades se deben tener presentes supuestos como los siguientes:

Los aprendizajes parten de los conocimientos previos de los alumnos, son modificados por informaciones o planteamientos nuevos, y dan lugar, a su vez, a nuevas ideas o formulaciones. Por lo tanto, es necesario que existan distintos tipos de actividades que favorezcan estos procesos.

Las actividades deberán propiciar aprendizajes interactivos, que permitan establecer relaciones de comunicación entre el grupo.

ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN

Estas actividades nos proporcionan información de los conocimientos previos que los alumnos posean sobre funciones. Por ello antes de comenzar el tema es aconsejable la realización de dichas cuestiones para así poder determinar el punto de partida. Se responderá por escrito y de forma individual.

La fusión del hielo

1º La tabla adjunta recoge las observaciones sobre la temperatura de una barra de hielo desde el momento de sacarla del congelador hasta que transcurren 6 horas:

Analiza el fenómeno y construye la gráfica Temperatura-Tiempo

T ( ºC )

Tiempo (horas)

2.- En invierno, para derretir el hielo de las calles, se echa sal ya que de esta forma baja el punto de fusión. Sin embargo, antiguamente, cuando no había frigoríficos, para hacer helados se hacía la misma operación ( añadir sal al hielo ).

Observa la tabla siguiente, representa en una gráfica, compara con al anterior y tendrás explicada la aparente contradicción.

T ( ºC )

Tiempo (horas)

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