Aplicación a la mecánica de los fluidos

Redes de flujo

La red de flujo es un artificio usual para la determinación gráfica del esquema de líneas de corriente en el flujo irrotacional (Para entender el significado de rotacional de un campo vectorial
( rot
) tómese un disco arbitrariamente pequeño con centro en el punto “P” y con su eje en la dirección rot
en “P”.

“” que es la frontera del disco, y se considera

I = #
• dr = #
• ds =

# #

§ = integral de línea recorre el perímetro del circulo

^T = vector tangente

donde:
es la tangente unitaria a ””. Como “n” (la normal unitaria del disco), y el rotacional de
están en la misma dirección, n · rot
> 0

Y por lo tanto el irrotacional, I > 0. Promediando sobre la frontera del disco, el valor
·
es, por tanto, positivo, y esto indica que el campo en la vecindad del punto “P” tiene en promedio una componente rotacional dirigida en el sentido positivo de “”.

rot

P



El campo, por consiguiente, gira con respecto a un eje paralelo al rot
. Cuando rot
= 0 no hay rotación neta.

En mecánica de fluidos la anulación del rotacional de velocidad rot(v) implica que los elementos del fluido no están en un estado de rotación. Tales fluidos se llaman IRROTACIONALES). En el flujo bidimensional dentro de los límites rectilíneos paralelos la distribución de velocidades es uniforme, por lo que convencionalmente se espacian las líneas de corriente a igual distancia (no - ETA) como muestra la figura.

Líneas de corriente

no no n o

no

Líneas equipotenciales

Red de flujo de mallas cuadradas para un flujo entre limites rectilíneos paralelos

Entonces, pueden dibujarse otras líneas normales a las líneas de corriente y con la misma separación “no” con lo que se transforma una red de mallas cuadradas.

Estas líneas normales se llaman líneas equipotenciales.

La red de mallas cuadradas en una zona considerada de flujo uniforme, es la base para la construcción de la red de flujo en la zona subsiguiente de flujo no uniforme.

Se puede demostrar matemáticamente ( las ecuaciones básicas para el flujo bidimensional son

"2 + "2 = 0

"x2 "y2

y

"2 + "2 = 0

"x2 "y2

donde :

 = es la función potencial

 = es la función de flujo.

Estas 2 ecuaciones de Laplace junto con las condiciones de los límites definen la red de flujo para unas condiciones dadas ).

que, cualquiera que sea el perfil de los limites, la red de flujo siempre estará compuesta de cuadrados. Aun mas dadas cualesquiera condiciones de los límites y del espaciado inicial, solamente hay una solución para la red de flujo. Sin embargo, como la teoría presupone un número infinito de líneas de corriente y solo puede ser convenientemente representado un número finito de ellas, las mallas reales en la zona de flujo no uniforme son solo aproximadamente cuadradas. En la practica, esto significa que los lados pueden ser curvilíneos aunque los ángulos tienen que ser siempre rectos.

En el espacio de 3 dimensiones, los conjuntos de nivel “” se llaman superficies equipotenciales; En dos dimensiones se llaman Líneas Equipotenciales.

Si ““ representa la temperatura, la palabra equipotencial se remplazará por Isoterma; Si “” representa la presión se emplea la palabra Isobara.

Aplique el método de variables separables para resolver las ecuaciones básicas para el flujo bidimensional.

La solución de la ecuación diferencial parcial de 2do orden para la función potencial “”:

Establezcamos la llamada solución hipótesis que verificará a la ecuación diferencial parcial (I).

"2 + "2 = 0 ………I

"x2 "y2

( x, y ) = X(x) Y(y)

" = X`(x) Y(y) " = X(x) Y`(y)

"x "y

"2 = X``(x) Y(y) "2 = X(x) Y``(y)

"x2 "y2

“"2” “"2”

Reemplazando las expresiones "x2 y "y2 en la ecuación (I).

X``(x) Y(y) + X(x) Y``(y) = 0 ………(II)

Obsérvese que la ecuación (II) las variables no están separados.

Para hacer la separación de variables. Divídase la ecuación (II) por el producto X(x) Y(y)

X``(x) + Y``(y) = 0 ………(III)

X(x) Y(y)

Para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias cada miembro de la ecuación (III) debe de ser independiente; Es decir, el primero lo es de la variable “y” y el segundo de la variable “x”,

X``(x) = - Y``(y) ………(IV)

X(x) Y(y)

Como cada miembro de la ecuación (IV) es independiente estos pueden ser igualados a una constante “” para así darle solución a la ecuaciones diferenciales

X``(x) =  - Y``(y) = 

X(x) Y(y)

Si el flujo es estacionario, considérese  = 0

X``(x) = 0

X(x)

X``(x) = 0

m2 = 0

m1 = m2 = 0 Raíces reales iguales

X(x) = A + Bx

- Y``(y) = 0

Y(y)

Y``(y) = 0

m2 = 0

m3 = m4 = 0 Raíces reales iguales

Y(y) = C + Dy

Reemplazando estas soluciones en la solución hipótesis

( x, y ) = (A + Bx) (C + Dy) ……… ( V )

Esta ecuación representa el flujo estacionario en cualquier punto ( X, y )

Condiciones de frontera:

( 0, y ) = 0 Y ( L, y ) = 0

( 0, y ) = (A ) (C + Dy) = 0

" A = 0

Este valor de la constante A = 0 en la ecuación (V)

( x, y ) = (Bx) (C + Dy) ……… ( VI )

Sobre la otra condición de frontera

( L, y ) = 0

en la ecuación (VI) resulta

( L, y ) = BL (C + Dy) = 0

" BL = 0

Como las constantes “A” y “B” no pueden ser cero, sí:

A = 0, B " 0

Por lo que necesariamente de la igualdad “BL = 0” , “L = 0”

Con esto se demuestra que el flujo permanece estacionado.

La condición inicial de desplazamiento y de velocidad son:

( x, 0 ) = f(x)

" = g(x)

"y /x, 0

Impongamos esas condiciones iniciales a la ecuación ( VI )

( x, y ) = Bx (C + Dy) …………VI

( x, 0 ) = Bx (C ) = f(x)

" C = f(x)

Bx

Este valor de la constante “C” en la ecuación ( VI )

( x, y ) = Bx f(x) + Dy

Bx

= f(x) + Dn xy ……… ( VII )

Sobre la condición inicial de velocidad derive parcialmente a la ecuación (VII) con respecto a la variable “y”

" = Dn x

"y

" = Dn x = g(x)

"y /x, 0

" g(x) = x Dn

Ecuación de flujo

"2 + "2 = 0 ………( II )

"x2 "y2

( x, y ) = X (x) Y(y)

" = X`(x) Y(y) ; " = X (x) Y`(y)

"x "y

2 = X``(x) Y(y) ; "2 = X (x) Y``(y)

x2 "y2

X``(x) Y(y) + X (x) Y``(y) = 0 ........... ( III )

X``(x) + Y``(y) = 0 ......... (A)

X(x) Y(y)

X``(x) = - Y``(y)

X(x) Y(y)

X``(x) = 

X(x)

- Y``(y) = 

Y(y)

Flujo en movimiento “  < 0 ”, “  = -2 ”

X``(x) = -2 X(x)

X``(x) + X(x) = 0

m2 + 2 = 0

m2 = - 2

m = ± " - 2

m = ± i

X(x) = A cos(x) + B sen(x)

 = - 2

- Y``(y) = - 2

Y(y)

-Y(y) = -- 2 Y(y)

Y(y) -  Y(y) = 0

m2 - 2 = 0

m2 = 2

m = ± " 2

m = ± 

Y(y) = C ey + D e -y

Artificio matemático:

Sean:

C = C + D ;

2

D = C - D ;

2

Y(y) = C + D ey + C + D e -y

2 2

= ½ C ey + ½ D ey + ½ C e -y + ½ D e -y

= C ½ ey + ½ e -y + D ½ ey - ½e -y

= C cosh(y) + D senh(y)

• Y(y) = C cosh(y) + D senh(y)

Reemplazando “X(x)” y “Y(y)” en la solución hipótesis.

(x,y) = [ A cos(x) + B sen(x) ] [ C cosh(x) + D senh(y) ] ......... (w)

Ecuación que satisface a la función de flujo que representa físicamente el flujo en movimiento sobre las condiciones de frontera.

(0,y) = 0 ;

(L,y) = 0

(0,y) = [ A ] [ C cosh(x) + D senh(y) ]

• A = 0

(x,y) = [ B sen(x) ] [ C cosh(y) + D senh(y) ] = 0 ..........(H)

(L,y) = B sen(L) = 0

• sen(L) = 0

L = n

 = n

L

Frecuencia natural.

Se requieren frecuencias naturales.

Por tanto:

n = n ; n = 1, 2, 3, .........

L

La ecuación (H) como una suma infinita

(x,y) = [ B sen(n x) ] [ C cosh(n y) + D senh(n y) ]

= [ sen(n x) ] [ Cn cosh(n y) + Dn senh(n y) ]

= ........... ( G )

Ecuación que satisface a la función del flujo que representa físicamente la “n” frecuencias naturales libres del movimiento del flujo.

CONDICIONES INICIALES

Se determinara matemáticamente lo que físicamente ocurre con el flujo.

(x,0) = f(x) " = g(x)

"y /x, 0

Condición inicial de desplazamiento Condición inicial de velocidad

(x,0) =

(x,0) =

=Cn= f(x)

Los coeficientes “Cn” solo requieren un desarrollo senoidal para la función “f(x)” de medio rando en el intervalo (0,L)

(x,y) =

=

Las condiciones :

Son determinadas por un desarrollo senoidal de medio rango para as funciones “f(x)” en el intervalo (0,L)

Corriente potencial de un líquido o gas. Ecuación de continuidad.

Sea la corriente de un líquido en el interior de un volumen “Q” limitado por una superficie “” (también el volumen puede ser ilimitado. Sea  la densidad del líquido.

La velocidad del líquido representa en su forma vectorial

V = vx + vy+ vz

Donde “vx, vy, vz ” son las proyecciones del vector velocidad “v” en los ejes de coordenadas.

Entonces

.........I

Esta es la ecuación de continuidad de corriente del líquido compresible.

Si el líquido es incompresible, entonces = constante y la = 0 y la ecucion (I) se transforma la divergencia de la velocidad, es decir, div(v) = 0

En los problemas de filtración, se puede aceptar que

V = -k1 Grad (P)

donde P es la expresión y K1 es una constante, entonces la ecuación de Laplace para determinar la presión

Aplicación a la mecánica de suelos

Prueba de consolidación unidimensional de los suelos

(movimiento de partículas del suelo en dirección vertical).

El objeto fundamental de una prueba de consolidación unidimensional es determinar el decremento del volumen y la velocidad con que este decremento se produce, en una muestra de suelo, confinado lateralmente y sujeto a carga axial.

Carga axial

Muestra de suelo

Durante la prueba se aplica una serie de incrementos crecientes de carga axial y, por efecto de éstos, el agua tiende a salir de la muestra a través de piedras porosas en sus caras.

El cambio de volumen se mide con un micrómetro montado en un puente fijo y conectado a la placa de carga sobre la piedra porosa superior.

Para incremento de carga aplicada se miden los cambios volumétricos, usando intervalos apropiados para efectuar las mediciones. Los datos registrados conducen a la obtención de la llamada CURVA DE CONSOLIDACIÓN.

En la consolidación unidimensional, por lo tanto, el volumen de la masa del suelo disminuye, pero los desplazamientos horizontales de las partículas sólidas son nulas.

Realizando la prueba de consolidación unidimensional sobre los especimenes representativos del suelo (inalterado), se pueden calcular la magnitud y la velocidad de los asentamientos probables debido a las cargas aplicadas.

Las pruebas de compresión triaxial, compresión simple, proporcionan información sobre la resistencia al esfuerzo cortante de los suelos.

El grado de consolidación del estrato es solo función del factor tiempo “T”.

Consolidación de los suelos.

A una disminución de volumen, que tenga lugar en un lapso, se llama proceso de consolidación.

Frecuentemente ocurre que durante el proceso de consolidación la posición relativa de las partículas sólidas sobre un mismo plano horizontal permanece esencialmente la misma; así, el movimiento de las partículas de suelo puede ocurrir solo en dirección vertical; ésta es la consolidación unidimensional, por tanto, el volumen de la masa de suelo disminuye, pero los desplazamientos horizontales de las partículas sólidas son nulos.

Lecturas del

extensometro

(Escala natural)

curva de compresibilidad

Tiempos (Escala logarítmica )

Forma típica de la curva de consolidación en arcillas

Solución de la ecuación diferencial parcial (modelo matemático) de la consolidación unidimensional en suelos (flujo vertical).

Cv "2u = "u ......I.

"z2 "t

donde:

u = presión del agua

Cv = coeficiente de consolidación del suelo

H = altura

t = tiempo

z = profundida

de modo que se satisfagan las condiciones de frontera

u ( 0, t ) = 0 ; u ( 2H, t ) = 0 " t > 0

y la condición inicial u ( z, 0 ) = p , 0 < z < 2H.

= P2 - P1

se establece la llamada solución hipótesis que satisface a la ecuación (I), es decir, a la ecuación diferencial parcial de la consolidación unidimensional

u( z, t ) = Z(z) T (t) ..........II.

esta ecuación satisface a (I), llamada SOLUCIÓN HIPOTESIS:

"u = Z`(z) T(t) ; "u = Z(z) T`(t)

"z "t

"2u = Z``(z) T(t)

"z2

Al reemplazar las expresiones en (I), esta se reduce a 2 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y primer orden respectivamente.

Cv Z``(z) T(t) = Z(z) T`(t) .......III

Obsérvese que la ecuación (III) las variables no están separadas, por tanto divídase por el producto Z(z) T(t), así,

Cv Z``(z) = T`(t) .......IV

Z(z) T(t)

Como el coeficiente de consolidación “Cv” es función de los asentamientos del suelo, que estos se producen a traves del tiempo, entonces

Z``(z) = 1 T`(t) .......IV

Z(z) Cv T(t)

En la ecuación (V) los miembros son independientes, por lo tanto, para la solución de las ecuaciones diferenciales cada una de ellas iguálese con una constante .

Z``(z) =  1 T`(t) = 

Z(z) Cv T(t)

De la curva de consolidación de los suelos obtenida en el laboratorio, se escribe  = 

Z``(z) = 

Z(z)

Z``(z) -  Z(z) = 0

m2 -  = 0

" m2 = 

m = ± "  Raíces reales diferentes

por lo tanto la solución

Z(z) = A e"z + B e-"z

1 T`(t) = 

Cv T(t)

T(t) -  Cv T(t) = 0

m -  Cv = 0

m =  Cv Raíz real

T(t) = C e Cv t

Finalmente la solución hipótesis (II)

u ( z, t ) = [ A e"  z + B e-" z ] [ C e Cv t ] ........VI

Ecuación que representa la presión del agua “u” a cualquier profundidad “z” y en cualquier instante “t”.

Imponiendo las condiciones de frontera a la ecuación de la presión del agua (IV)

"" u ( 0, t ) = [ A + B ] C e Cv t = 0

A + B = 0

" B = -A

Este valor en la ecuación (VI)

u ( z, t ) = [ A e"  z - A e-" z ] [ C e Cv t ]

= A [ e"  z - e-" z ] [ C e Cv t ]

pero e"  z - e-" z = senh ( "  z )

2

u ( z, t ) = 2a senh ( "  z ) [ C e Cv t ] ......VII

""" u ( 2H, 0 ) = 2a senh ( "  z ) [ C e Cv t ] = 0

= 2a senh ( "  z ) = 0

" senh ( "  z ) = 0

2"  H = n

""  = n

2H

 = ± n22

4H2

La expresión senh ( "  2H ) se cumple si  = - n22 por lo tanto,

4H2

senh 2H " - n22 = 0

4H2

senh ( 2H i n ) = 0 , senh( i n )

2H

Se sabe que el seno hiperbólico de argumento imaginario es igual al seno natural del coeficiente del argumento imaginario, es decir “ sen(n) = 0”. Luego, el valor de “” calculado  = - n22 satisface a la ecuación senh(2H") = 0. 4H2

Finalmente sustituyendo el valor de “” en la ecuación

-n22

4H2 Cv t

u ( 2H, t ) = 2 A sen ( n z ) [ C e ] = 0

2H

-n22

4H2 Cv t

C = An sen ( n z ) e ………VIII

2H

Impongamos la condición inicial a la ecuación (VIII)

""" u ( z, t) = An senh ( n z ) = p

2H

De esta ecuación se observa que la suma de términos senoidales no puede dar una constante “p”.

Por lo tanto, la solución del problema de consolidación unidimensional.

u ( z, t ) = An senh ........IX

finalmente, los coeficientes Cn pueden obtenerse por el desarrollo senoidal de medio rango

Para t = 0, la ecuación (III) se reduce a

u = p = An senh ........IV

multiplicando ambos miembros de (IV) por senh e integrando entre “0” y 2H, se obtiene

.......V

luego,

y la segunda integral da para n"m.

pues “n” y “m” son enteros, y sen(k) es siempre nulo.

" para “n = m”, la integral ** resulta:

volviendo con estos resultados a la ecuación (V), se tiene

pues “Am H” es único término de la serie que permanece, siendo nulos todos los demás por ser ellos n"m.

Despejando:

En la expresión anterior se tiene “Am” resulta nula para “m” par, y solo las “Am” con “m” impar, subsisten, valiendo:

La solución (III) queda:

u ( z, t ) = Am senh

sustituyendo el valor de “Am” y haciendo “m = 2n + 1”, para no tomar en cuenta los términos pares que son nulos, se tiene finalmente:

u ( z, t ) = p sen

que es la solución buscada