Funciones de filtrado. Normalización de funciones de transferencia

1. Notación utilizada.

F(s) Función de transferencia real.

Fn(sn) Función de transferencia normalizada.

Wn Pulsación de normalización.

Sn Operador de laplace normalizado.

u Pulsación normalizada

2. Introducción.

Un filtro es un sistema selectivo en frecuencia destinado a la eliminación definida de una determinada banda de componentes del espectro de la señal de entrada, El filtro lleva a cabo la separación de una gana de componentes, las comprendidas en su banda pasante (BP) del resto, pertenecientes a su banda atenuada (BA). Esta ficha define las funciones de filtrado y los procesos de normalización de sus funciones de transferencia.

3. Funciones de filtrado.

Según la gama de frecuencias de la banda pasante existen cuatro funciones de filtrado. La figura F2. 1.1 ilustra la representación de módulo en función de la frecuencia de las funciones dc filtrado ideales.

Función pasa-bajo (PL). Cuya banda pasante se extiende hasta una frecuencia determinada (propia, característica o de corte).

Función pasa-alto (PII). Su banda pasante comprende todas las frecuencias superiores a una determinada (propia, característica o de corte).

Función pasa-banda (PB). Con banda pasante comprendida entre dos frecuencias determinadas (de corte) y caracterizada por la frecuencia media de ambas (central, propia o característica).

Función corte de banda (CH). Su banda atenuada está situada entre dos frecuencias concretas ( de corte) y definida por la frecuencia media entre ambas (central, propia o característica).

Función pasa-todo (FT). Se trata de una función de carácter singular pues su banda pasante comprende a toda frecuencia. Se destina a la modificación de fase de las componentes del espectro de la señal.

El grado del denominador de la función de transferencia del filtro, orden de la ecuación diferencial en el campo temporal, es también el orden del filtro. A efectos de notación simplificada, un filtro se define por las siglas desu función de filtrado a las que se pospone un subíndice que corresponde al orden del filtro (Por ejemplo: PL3 filtro pasa-bajo de tercer orden, CB6 filtro corte de banda de sexto orden),

4. Normalización de funciones de transferencia.

En la síntesis de filtros es frecuente el recurso de la normalización con objeto de reducir el numero de parámetros y acceder a curvas o tablas Universales, En su sentido más amplio, la normalización, dc funciones de transferencia Incluye los procesos de normalización en frecuencia y en módulo.

4.1. Normalización en pulsación o frecuencia.

La pulsación normalizada o reducida (a un valor determinado Wn) es una variable adimensional de la forma u = W

Wn

Habitualmente, la pulsación de normalización Wn es la de corte de la BP, en el caso de funciones PI y PH, o la central, caso de filtros PB y CB.

4.1.1.Paso de transmitan cía real a normalizada.

Se normaliza a una pulsación Wn una función de transferencia F(s) sustituyendo S por Wn Sn observándose

En régimen permanente armónico la transmitan cía isocroma normalizada es

Paso de transmitan cía normalizada a real.

En el proceso contrario se tiene:

4.2. Normalización en módulo.

La FT está normalizada en módulo cuando éste abarca el margen comprendido entre O y 1. En consecuencia, la normalización se consigue dividiendo la transmitan cía real por el valor máximo (del módulo, que debe ser calculado a la frecuencia que corresponda.

5. Comentarios.

1. En el plano de Bode, la normalización en frecuencia equivale a una traslación del eje de ordenadas en log Wn décadas pues la variable independiente pasa a ser

Pulsación y frecuencia normalizadas son iguales puesto que se verifica efectivamente

Filtros de primer y segundo orden

1.Notación utilizada.

Factor de amortiguamiento.

Ganancia a frecuencia muy baja.

Ganancia a frecuencia muy alta.

Ganancia a la pulsación central (Wc)

Función de transferencia (FT).

Función de módulo o ganancia de la Ft G(W)=IF(jW)I.

Factor Q, de calidad o de mérito (2aQ=l )

Pulsación central en filtros PB y CB

Pulsación que hace máximo al modulo.

Pulsación propia o característica.

Pulsaciones limite de la banda pasante (3dB)

Ancho de banda a 3db

Constante de tiempo

2.Descripción.

La función de transferencia de un filtro es siempre cociente de dos polinomios de manera que el grado del denominador, que define el orden del filtro es superior o igual al numerador.

F(s) = N(s) (F2.2.1)

D(s)

La función de modulo corresponde al módulo de la transmitancia isócrona anterior

Las raíces de numerador y denominador son ceros y polos, respectivamente, de la función de transferencia. La ecuación característica del filtro resulta de anular el denominador, D(s)=O, y no tiene raíces nulas. La factorización de la ecuación característica da lugar a un término de primer orden por cada polo real o a uno de segundo orden por cada par de polos complejo-conjugados. En consecuencia, toda función de transferencia puede ser dispuesta en producto de términos de primer y segundo orden.

Un término de primer orden está completamente definido con un solo parámetro, pulsación propia o bien constante de tiempo La tabla F2.2 resume las funciones de transferencia reales y normalizadas de los filtros que pueden ser generados por términos de este tipo.

Un término de segundo orden debe definirse por dos parámetros. Aunque existe una pluralidad de juegos según sea la función de filtrado, habitualmente son t (o bien Wo) y a (o bien Q) La tabla F2.2.2 muestra las funciones de transferencia reales y normalizadas de filtros que pueden ser generados con términos de segundo orden.

Transformadores de filtro y cambios de escala

1.Notación utilizada.

Frecuencia normalizada de filtro PL.

Frecuencia normalizada de filtro PH.

Frecuencia normalizada de filtro PB.

Frecuencia normalizada de filtro CB.

2.Introducción.

La FT de un filtro se obtiene a partir de tablas estándar de filtros PL normalizados, pues es posible la conversión a cualquier otro tipo de función de filtrado normalizada por aplicación de la transformación adecuada. El proyecto definitivo se logra utilizando métodos que permiten [i] el ajuste a la frecuencia (s) de corte deseada (s) y [ii] el valor de los componentes para adaptarlos a los disponibles en el mercado. En esta ficha, se describen las herramientas de base para el proyecto un filtro, pasivo o activo.

3.Transformación de funciones de filtrado.

Existen transformaciones entre funciones de filtrado normalizadas desde la pasa-bajo y cualquiera de las restantes, con exclusión de la pasa-todo. El proceso se basa en la existencia dc una relación entre operadores capaz de convertir cualquier función de filtrado en una PL equivalente. La tabla F2,3.l expone la transformaciones (segunda fila), las pulsaciones normalizadas a las que las dos Funciones presentan el mismo modulo de sus funciones de transferencia (tercera fila) y la consecuente conversión de componentes pasivos (cuarta a sexta filas)

4.1. De impedancia.

Si se aplica un factor de escala (k1) a la impedancia de todos los componentes de un circuito, cualquier impedancia derivada de las mismas (por ejemplo las de entrada o salida) resulta afectada por dicho factor pero las relaciones de impedancia permanecen invariables. Como la función de transferencia del filtro es adimensional, el uso de un factor de impedancia permite modificar los valores nominales de los componentes del filtro sin alterar su transmitancia. La tabla F2.3.2 muestra la corrección a hacer a cada uno de los componentes pasivos.

4.2. De frecuencia.

Se logra cambiar la escala de frecuencias según un factor (kr) si se modifica la impedancia de todos los componentes del filtro con ese mismo factor; en ecala logarítmica produce una traslación en frecuencia de log Kf decadas. La modificación de los valores de los componentes pasivos se muestra en la tabla F2.3.3

5. Comentario.

A modo de resumen, se remarcan los tres núcleos que comprenden los procesos expuestos en esta ficha.

- La transformación reciproca entre funciones de filtrado o bien entre funciones de transferencia normalizadas.

- La conversión entre los componentes pasivos que integran los filtros

- El escalado en impedancia o frecuencia.

conjunto cerrado que permite el diseño completo de filtros pasivos. Como en filtros activos se excluye el empleo de bobinas, debe recurrirse a otros métodos de proyecto, objeto de las fichas F2.4 y F2.5.

Ejercicio de aplicación

Ejemplo E2.5

Transformar el filtro PL2 cuyo circuito representa la figura E2.5.1 a filtro PH2 manteniendo el valor de la resistencia del mismo­

Solucion.

La transmitancia y los parámetros del filtro de partida son

Aunque el proceso puede realizarse en una sola operación, se fracciona en los pasos expuestos a continuación para observar el efecto de los cambios de escala y transformaciones.

- Normalización del filtro PL2. Se pasa a filtro de pulsación propia unitaria por cambio de frecuencia (k1=104) y posterior cambio de impedancia (k1=1O3), figura E2.5.2a.

- Transformación del filtro. Se hace uso de la tabla F2.3. l obtenién­dose un filtro PH2, normalizado y con el mismo factor de amortigua­miento, figura E2.5.2b,

-Cambio de impedancia (k1=1O3) con objeto de restituir el valor de la resistencia de filtro, figura E2.5.2c.

- Cambio de la pulsación propia (k1=104) a su valor definitivo, figura E2.5.2l, Los parámetros del filtro pasa-alto resultante coinciden con los del de partida, expresiones (B2.5. la).

Estructuras para síntesis de filtros de Segundo orden

1.Introducción.

El filtro activo RC. figura F2.4.1 constituye la estructura general de los circuitos utilizados en este capítulo para el proyecto de filtros activos de segundo orden. Incorpora una fuente controlada de tensión controlada por tensión ( VCVS: voltaje-controled volltage source) de ganancia K y su función de transferencía corresponde a la expresión 12.4.1,

siendo Y = 1

Z

En los aparatos siguientes, se analiza las funciones de filtrado que pueden ser generadas por los distintos circuitos, con el supuesto de que cada rama incorpore un único componente pasivo (síntesis o generación directa).

2.EI circuito de Rauch.

Desde la estructura general, el circuito de Rauch, o de relimenta­cion múltiple se obtiene imponiendo las siguiente condiciones:

-Ganancia de la fuente de tensión negativa e infinita. La fuente está constituida por un A() en lazo abierto y enton­ces K es su ganancia diferencial.

-Admitancia Y6 nula.

El esquema se muestra en la figura F-2.4.2 y su función de transfe­rencia es

Permite la generación directa de filtros PL2, PH2 y PB2. En la tabla F2.4. l se encuentran circuitos, transmitancias y especificaciones de algunas soluciones.

3.El circuito de Sallen y Key.

Este sistema se obtiene a partir de la estructura general imponiendo las condiciones Y2=() e Y5=(), ver figura F2.4.3.

En principio, no hay restricción en cuanto al valor, incluido el signo, de K aunque se remarca la posible existencia de valores que provoquen la inestabilidad del circuito.

La función de transferencia viene dada por la formula F2.4.3.

Si K=1 , fuente constituida por seguidor de tensión, se simplifica a

La tabla F2.4.2 expone los circuitos, funciones de transferencia y especificaciones de algunos de los filtros sintetizados con esta estructura.

Estructura para síntesis de filtros activos de segundo orden

Los tipos de filtros bajo generación directa dependen del valor y del signo de la relación K de la fuente controlada.

• Si K es positiva se puede sintetizar etapas PL y PH

• Si K es negativa, permite la síntesis de etapas LP , PH y PB .

4. Factores de sensibilidad.

El efecto de la tolerancia y derivas de los componentes sobre los parámetros del filtro se cuantifica a través de los factores o coeficientes de sensibilidad. Genéricamente, el coeficiente de sensibilidad de una magnitud (Y) respecto de otra (X) se define como cociente de sus variaciones relativas y se representa de la forma:

Si la magnitud es dependiente de un vector X= {X1, X2,.....Xn} entonces la máxima desviación relativa es aproximadamente:

Obviamente, en la medida que sea factible, debe proyectarse de manera que los coeficientes de sensibilidad de los parámetros del filtro adopten calores mínimos

Ejemplo E2.6

Proyectar un filtro PB2 en estructura de Rauch con las siguientes especificaciones:

• Pulsación central Wc= 1000 (rad/s)

• Modulo de la ganancia a Wc Ac =22.

• Factor Q=15

Determinar las desviaciones absurdas de los parámetros del filtro si la tolerancia de los componentes seleccionados es el 1% para la resistencia y 5% para los condensadores.

Solución

Se elige el primer esquema de filtro PB2 de la tabla F2.4.1.Como existen cinco incógnitas (R1, R2, R5, R3, R4) y solo tres relaciones entre ellas (de los datos Ac, W0,Aw) se dispone de dos grados de libertad.

Imponiendo que los dos condensadores sean iguales (C3=C4=C), la fusión de transferencia y especificaciones pasan a ser

De las ecuaciones e2.6.1 a se infiere:

La ecuación para el calculo de R2 evidencia que el circuito elegido tiene solución cuando se verifique Q20,5 Ac, condición satisfecha en el presente ejemplo.

Se procede al proyecto del filtro.

Se elige el valor de capacidad C= 1(uF)

Se calculan los valores de las tres resistencias mediante las ecuaciones E2.6.2.

Las especificaciones nominales del filtro proyectado son:

La figura E2.6.1 representa gráficamente el modulo de la respuesta frecuencial del filtro cuando los componentes adoptan sus valores nominales

Ejercicio de aplicación

La variación relativa de las especificaciones del filtro se determina por aplicación de la fórmula F2.4.5, designado por a la tolerancia de resistencias y condensadores, respectivamente.

Las desviaciones absolutas y los valores totales de las especificaciones, son:

Comentarios.

El lector habrá observado que en la deducción de los factores de sensibilidad sobre la pulsación propia no se ha empleado la expresión E2.6.2 utilizada para el proyecto del filtro. Es evidente que aunque los dos condensadores sean de idéntico valor nominal se trata de dos componentes distintos y la tolerancia o desviación de cada uno de ellos juega un papel independiente.

El análisis de las variaciones mediante los factores de sensibilidad es aproximado si bien, desde el punto de vista práctico, suministra un grado de precisión suficiente. Los calores exactos que se encuentran son de:

para el diseño de filtros de segundo orden basados en las estructuras de Rauch y Sallen - Key, mediante las tablas expuestas en la presente ficha resumen, puede analizarse el programa “P205” relativo al problema P2.5

Funciones de aproximación

Notación utilizada

Coeficiente de ondulación en BP

Factor de ondulación en BP

Función de transferencia normalizada

Función de modulo

Función de aproximación normalizada

Pulsación normalizada

Introducción

La transición entre las bandas pasante y atenuada del filtro pasa -bajo ideal es discontinua y su aproximación matemática requeriría una función de transferencia con denominador de grado infinito. El filtro real presenta una respuesta que se aproxima tanto mas a la ideal cuanto mayor sea su orden. Se establece así un dilema entre los requisitos de aproximación a la función ideal y numero de etapas del circuito, proporcional a su complejidad y precio. En el presente resumen se exponen dos de las aproximaciones polinómicas mas usadas, las de butterworth y Tchebytchev.

En el apendice 3 situado al final del libro se encuentran tablas que contienen polos y denominadores de las funciones de transferencia de hasta orden 13 de los tipos filtros generados con ambas funciones de aproximación.

Función de aproximación de Butterworth.

La función de Butterworth impone que el mayor numero posible de derivadas de la función del modulo en el origen ( las primeras 2n-1 derivadas para un filtro pasa - bajo de orden n son nulas en u=0 ) dando lugar a una repuesta monótona en laa banda pasante. Las funciones de aproximación y de modulo, responden a las siguientes ecuaciones:

Siendo n el grado del polinomio de Butterworth igual también al orden del filtro. Dos grados característicos de la función de modulo en la banda pasante son los valores unitarios (0 dB) a la frecuencia mas baja y de 1 (-3 dB) a la frecuencia unidad, ambos independientes del orden del filtro. En lo que respecta a la banda atenuada, se obtiene una pendiente a frecuencia alta de -20n (dB/déc) para un filtro de orden n.

La figura F2.5.1 muestra la representación gráfica de la función del modo, en planos separados para las bandas pasante y atenuada, de los ocho primeros filtros pasa- bajo normalizados de Butterworth

Función de aproximación de Tchebytchev

Las funciones de aproximación y de modulo de los filtros de Tchebytchev, se determina por las expresiones:

En las que Tn(u) es el polinomio de orden n de Tchebychev y 000 el coeficiente de ondulación en la banda pasante -constante para un filtro determinado. Los polinomios de Tchebychev se generan por la siguiente ecuación de recurrencia.

Con:

El orden del polinomio de Tchebychev es también el orden del filtro.

4.1 Función del módulo en la banda pasante.

La banda pasante se caracteriza por los siguientes resultados:

Ganancia frecuencia baja:

La función tiene un numero conjunto de máximos y mínimos con módulos de ganancia de 1 respectivamente-que coinciden con el orden del filtro. Los puntos

de máximo o mínimo están situadas en los lugares cuyas pulsaciones verifican alguna de las ecuaciones F2.5.6

En consecuencia, el módulo presenta una ondulación que es habitualmente expresada por el factor de ondulación debido por

A la frecuencia de corte, y parra cualquier orden del filtro, se tiene

La figura F2.5.2 muestra la representación gráfica de la función de módulo en la banda pasante referida al factor de ondulación de filtro de órdenes comprendidos entre 1 y 8.

4.1 Función de modulo de banda atenuada.

La función atenuada se caracteriza por una pendiente asintomático de 20n (dB/ déc) para el filtro de orden n. La ganancia a frecuencia elevad se determina por la siguiente aproximación