OSCILACIONES FORZADAS

INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Si un sistema oscilante se deja balancear libremente, en un momento dado deja de oscilar, a este movimiento se denomina amortiguado. Sin embargo, un sistema puede tener una fuerza exterior aplicada a él que tiene su propia frecuencia y entonces tenemos una oscilación forzada.

Una manera de suministrar energía a un sistema formado por un objeto que cuelga de un muelle vertical es mover el punto del soporte hacia arriba y hacia abajo, con un movimiento armónico simple de frecuencia ð.

Al principio el movimiento es complicado, debido a que la frecuencia externa es diferente de la frecuencia natural del sistema (ððð, que es la que tendría un oscilador si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor. Pero finalmente alcanzará un estado estacionario en el que el sistema oscila con la misma frecuencia de la fuerza externa impulsora (ð ðððð y con amplitud constante y, por tanto, con energía constante también. En el estado estacionario la energía introducida en el sistema por la fuerza impulsora durante un ciclo es igual a la disipada en un ciclo debido al amortiguamiento. La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia.

Si la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, éste oscilará con una amplitud mucho mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora. Este efecto se conoce como resonancia. Cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador (ððððð, la energía absorbida por éste es máxima. Por ello, la frecuencia natural del sistema se denomina frecuencia de resonancia (ðR) del mismo.

Se denominan curvas de resonancia a la representación de la amplitud alcanzada por el oscilador en el estado estacionario en función de la frecuencia a la que es activado. Cuando el amortiguamiento es pequeño, el oscilador absorbe mucha más energía que la fuerza impulsora a la frecuencia de resonancia (o próxima a ella), lo cual no ocurre a cualquier otra frecuencia; en este caso, se dice que la resonancia es aguda, pues la curva de la anchura es estrecha. Cuando el amortiguamiento es grande, la curva de resonancia es ancha.

Al estudiar matemáticamente el oscilador forzado suponemos que, además de estar sometido a una fuerza restauradora (Fx = - kx, donde k es la constante del muelle) y a una fuerza de amortiguamiento (Fd = - bv, donde b es una constante y como esta fuerza se opone a la dirección del movimiento, realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía mecánica del sistema disminuya), está sujeto a una fuerza externa (fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo:

Fext = F0 cos(ð t)

en donde ð es la frecuencia angular de la fuerza, que generalmente no está relacionada con la frecuencia angular natural del sistema ð0:

ð0 = 2ð f0 = " (k /m)

La segunda ley de Newton aplicada a un objeto de masa m sujeto a una fuerza amortiguadora - bv y a una fuerza externa F0 cos (ð t), nos da:

" F = ma = m(dv / dt) - kx - bv + F0 cos (ð t)

es decir,

m(d2x / dt2) + b(dx / dt) + m(ð0)2x = F0 cos (ð t)

en donde hemos utilizado k = m(ð0)2 y (dv / dt) = (d2x / dt2).

La solución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado (- kx - bv). Las constantes de esta ecuación dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido un tiempo, esta parte de la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que puede escribirse en la forma:

x = A cos (ð t -  )

donde el signo negativo de la fase en la ecuación anterior se ha introducido para que la constante de fase ð sea positiva, la frecuencia angula ð es la misma que la fuerza impulsora y la amplitud A y la constante de fase ð vienen dadas por:

A = F0 / [" (m2((ð0)2 - ð 2)2 + b2 ð 2]

Tg ð ð bð ð ðm((ð0)2 - ð 2)]

La solución estacionaria no depende de las condiciones iniciales. Cuando la frecuencia impulsora ð es mucho menor que la frecuencia natural ð0, ð " ð como puede verse en la última ecuación. En la resonancia, ð = ð / 2. Cuando ð es mucho mayor que ð0, ð " ð. Cuanto menor es el amortiguamiento, más rápida es la transición entre los estados de fase y oposición de fase.

La velocidad del objeto en estado estacionario se obtiene derivando x respecto a t:

v = dx / dt = - Að sen (ð t -  )

En la resonancia la velocidad está en fase con la fuerza impulsora:

v = -Að sen (ð t - (ð / 2)) = + A cos (ð t)

Así pues, en la resonancia, el objeto siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, para que se consiguiese el máximo aporte de energía. La velocidad es máxima para ððððð

EXPERIMENTO

En el montaje experimental la salida del generador de potencia (que es la máquina encargada de producir energía eléctrica) AC (U") se conecta a la entrada superior del motor (sólo se utiliza el oscilador forzado), mientras que la salida DC(U_) proporciona la corriente de la bobina situada bajo el oscilador, leyéndose en el amperímetro (aparato que mide la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un circuito) la intensidad de la corriente suministrada IB = 0'2 A, realizando los pasos siguientes:

El valor de la frecuencia de resonancia corresponde al valor de la frecuencia donde la amplitud alcanza el máximo, es decir en R = 0.526 s-1. La resonancia es aguda, puesto que la anchura del pico de la curva de resonancia, , es estrecha; dicha curva viene dada por la mitad del máximo de amplitud y la frecuencia 0.

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