Antecedentes Históricos

El primer experimento para tratar de determinar la carga del electrón fue llevado a cabo por Townsend a fines del siglo pasado, observando un proceso electrolítico. El experimento se basaba en algunas hipótesis, las cuales no eran del todo verdaderas. En consecuencia, el valor obtenido dista un 37,5% del valor actualmente aceptado.

Wilson mejoró la experiencia agregándole un campo eléctrico mediante placas paralelas, disminuyendo el error a 35,5%.

Estos dos experimentos utilizaban nubes de partículas suspendidas. No había forma de aislar una partícula individualmente para ser examinada en detalle.

Millikan, usando potenciales mucho mayores que los utilizados por Wilson, consiguió forzar a las gotas de agua a moverse en contra de la gravedad. Millikan pudo capturar una única gota y consiguió, liberándola y capturándola repetidas veces, llegar al valor de e con un error de 29,9%. Luego cambió las gotas de agua por partículas de aceite permitiendo períodos de observación más largos ya que las gotas no se evaporaban. De esta forma, consiguió calcular el valor de e con un 0,6%.

En la actualidad, el valor de la carga del electrón fue encontrado utilizando difracción de rayos X en cristales para determinar el número de Avogadro, el cual luego puede ser usado para obtener e (1,60217733 x 10-19 C).

Experiencia Realizada

La experiencia se basa en el planteo de la dinámica de la gota de aceite cargada en dos situaciones diferentes:

1. Caída libre en un fluido viscoso (aire)

Como se esquematiza en la figura, las fuerzas aplicadas sobre la gota son:
gravitatoria, de empuje (Q) y viscosa.

Considerando el peso y la fuerza de empuje:

Podemos definir un peso aparente W de la gota en el fluido, dado por la suma de (1) y (2):

Considerando ahora a la fuerza viscosa, podemos escribirla mediante la ley de Stokes de la mecánica de los fluidos de la siguiente forma:

Donde  es el coeficiente de viscosidad del aire y a el radio de la gota considerada esférica. Considerando relación entre masa, volumen y densidad, ésta última supuesta constante en la gota, llegamos a que la fuerza neta cumplirá la siguiente ecuación, de acuerdo a la segunda ley de Newton:

La resolución de esta ecuación diferencial en v, conduce a que, para un tiempo adecuado, la solución transitoria tienda a cero, subsistiendo la permanente que resulta una velocidad constante en el tiempo (velocidad límite):

Despejando el radio a obtenemos la siguiente expresión:

2. Bajo la acción de una Fuerza Electrostática

Las placas del capacitor están sometidas a una diferencia de potencial, por lo tanto surge un campo eléctrico que será E = V/d. De la interacción entre la carga y este campo, se manifiesta la fuerza electrostática:

Variando la diferencia de potencial, variamos en consecuencia la fuerza electrostática, pudiendo lograr una situación de reposo para la partícula. En esta condición, la fuerza viscosa es nula; por lo tanto, planteando el equilibrio de fuerzas:

Donde si reemplazamos a m por su expresión, donde  es la densidad; despejando q, obtenemos:

Procedimientos

Mediante el atomizador, se inyecta una nube de gotas de aceite dentro de la celda de Millikan. A través del microscopio se puede observar a las gotas, iluminadas por la lámpara, en su caída libre. Entonces se aplica una diferencia de potencial a la celda, generando un campo eléctrico que, en consecuencia, provoca que algunas partículas se precipiten y otras cambien su sentido de movimiento debido a las diferentes polaridades de éstas. Focalizando en una gota específica, se varía la tensión mediante el potenciómetro para intentar llevarla hasta un estado de reposo (equilibrio entre fuerza electrostática y gravitatoria. En este instante se registra la tensión indicada por el voltímetro. Luego súbitamente desactivamos el campo eléctrico, en consecuencia, la partícula iniciará un movimiento de caída libre. Auxiliados por una cuadrícula en el microscopio, medimos la distancia recorrida y, registrando el tiempo correspondiente en el cronómetro, podemos calcular la velocidad. Ésta velocidad es la límite.

De la caída libre obtenemos la velocidad límite y, mediante la ecuación (4), podemos calcular el radio de la partícula. Este dato se hace necesario para poder aplicar la ecuación (5) en el caso estático para poder calcular la carga de la gota.

Se repite la experiencia hasta conseguir un número adecuado de valores.

Se llevo a cabo la experiencia realizando 6 mediciones con gotas diferentes
obteniendo los valores expresados en la tabla 4.1. En la tabla 4.2 podemos ver los parámetros bajos los cuales asumimos que se desarrolló la experiencia.

Los errores relativos de los valores de las cargas calculadas han sido obtenidos
mediante la propagación de errores correspondiente, cuyos desarrollos se detallan en el primer ítem del apéndice.

En el gráfico 4.1 están representados los valores obtenidos con sus correspondientes barras de error. Con fines comparativos, se ha graficado la carga del electrón.

En este momento, debemos hacer las siguientes aclaraciones antes de seguir con
nuestro análisis:

Por lo tanto, si en algún punto de nuestro análisis, damos a entender que conocemos a donde queremos llegar, es porque en realidad estamos verificando y no descubriendo la carga del electrón.

Continuemos observando los datos del gráfico 4.1, podemos ver que los 4 primeros valores están dentro de lo que podríamos llamar una familia, escogidos por su semejanza en carga ya que, como partimos de la hipótesis de que ésta está cuantificada, los miembros deben ser múltiplos de un mismo N. Podemos ver que existe una intersección distinta de cero entre los intervalos de error de la familia (que llamaremos familia uno), por lo tanto parece ser válida nuestro supuesto.

Luego vemos otros dos valores que consideraremos que pertenecen a distintas familias por dos razones:

Asumamos que la familia uno corresponde a la carga mínima, por lo tanto será N1 = n. El valor característico de la segunda familia será un múltiplo entero de la que supusimos como mínima. Vemos que la mitad de este valor cae en la primer familia, por lo tanto N2 = 2 n. Análogamente para la familia tres, llegamos a que N3 = 3 n. Por el momento asumamos que n=1.

Siguiendo a esta línea de análisis, construimos la tabla 4.3. En ella se encuentran los valores de las cargas con sus respectivos errores, ordenados en forma creciente. Asimismo, se encuentra el N correspondiente. En la cuarta columna, se encuentra la carga dividida por el N, a fin de obtener los valores equivalentes a la primer familia. Se ha hecho lo mismo en la quinta columna para calcular el respectivo error.

Ahora tenemos 6 valores de una familia única, por lo tanto, promediándolos obtenemos el valor de la carga supuesta mínima: e = (1,67529 10-19 ± 1,03427 10-20) C, lo que representa un 6,17% de error
relativo.

En el gráfico 4.2, resumimos los valores de las columnas 4 y 5 de la tabla 4.3. Se agregó en verde el valor de la carga del electrón, y en negro el intervalo de la carga supuesta mínima obtenida en el párrafo anterior.

Al carecer de un número importante de determinaciones, no podemos afirmar que la carga que nosotros supusimos como mínima, sea tal. Al cotejarla con el valor del electrón, verificamos que éste se encuentra dentro del intervalo del valor obtenido; por lo tanto, concluimos que la familia 1 correspondía a la carga del electrón.

Podemos ver que los valores resultan muy erráticos. Esto, sumado al hecho de haber tomado solo 6 determinaciones, genera un error estadístico relevante.

Otros factores de error son, además de los sistemáticos, los accidentales con un peso importante. Nos encontramos con una gran dificultad en apreciar realmente el momento en que la partícula se encontraba en reposo y el momento en que atravesaba una línea de la cuadrícula por el poco contraste observado. En la tabla 5.1 se ven detallados los valores de los errores, donde x es el que corresponde a un octavo de la unidad de la cuadrícula.

Es una práctica difícil de realizar y de analizar. Obtuvimos un valor de e' = 1,67529 10-19 C con un error de 6,17%. No pudimos determinar que es la carga mínima absoluta, pero comparándolo con el valor de la carga del electrón: e = 1,6021733 10-19 C, concluimos que en realidad lo es, ya que el intervalo de error de nuestro valor lo incluye. Pudimos verificar el carácter cuántico de la carga al observar la periodicidad de los valores.

Para finalizar, hemos alcanzado parcialmente el objetivo propuesto pero hemos afianzado y profundizado nuestros conocimientos sobre la experiencia de la gota de aceite de Millikan.